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ushi
Anmeldungsdatum: 10.11.2007
Beiträge: 111
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 ushi Verfasst am: 10. Dez 2007 15:03 Titel: Hauptachsentransformation |
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diesmal hab ich mir echt ein ei gelegt. ich erkenn nich mal meine wissenlücke (oder -loch). ich kriegs einfach nich hin.  ich werde jetzt auch nich alles hinschreiben, was ich schon probiert hab. ich fang einfach an und hoffe auf tips und gegebenenfalls links.
ich wil für die gegebene mittelpunktsfläche
eine hauptachsentransformation durchführen.
die geschichte in matrixform:
\underbrace {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}}_A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} -24)
stimmt das erstmal soweit?
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 10. Dez 2007 16:38 Titel: |
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Hallo ushi.
Die Flächengleichung und die Matrix passen nicht ganz zueinander. Magst Du das nachprüfen? Das Matrixelement -1 leitet sich aus dem Term -yz ab. Da fehlt jedoch ein Faktor zwei. Ist vielleicht nur ein Tippfehler?
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ushi
Anmeldungsdatum: 10.11.2007
Beiträge: 111
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| ushi Verfasst am: 10. Dez 2007 16:45 Titel: |
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ja. entschuldige. die gleichung heißt:
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 10. Dez 2007 16:53 Titel: |
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Meines Wissens geht es bei der Hauptachsentransformation (ich hab das mal in der Statistik benötigt) um das Finden einer unitären Matrix B, und einer Diagonalmatrix D sodass
Dies lässt sich relativ einfach durch die Eigenwerte beschreiben: Die Spalten von B sind die Eigenvektoren von A, und D hat die Eigenwerte zu diesen Eigenvektoren als Diagonalelemente. Man kann damit ziemlich schnell zeigen, dass die Gleichung erfüllt ist. Bei entarteten Eigenwerten bin ich mir nicht mehr so 100% sicher, aber es geht denke ich genauso.
Eigenvektoren bestimmt man mittels charakteristischer Gleichung.
PS: mit principal components wirst du mehr Glück beim googeln haben.
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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ushi
Anmeldungsdatum: 10.11.2007
Beiträge: 111
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| ushi Verfasst am: 10. Dez 2007 17:10 Titel: |
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genau bei den eigenwerten (-vektoren) liegen meine probleme.
ich hab nur zeug für 2x2 matrizen:
 & b \\ c & (d-\lambda ) \end{pmatrix} =(a-\lambda )(d-\lambda )-cb=\dots =0)
die quadratische gleichung kann man dann lösen. geht das genauso mit meiner 3x3 matrix?
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 10. Dez 2007 17:16 Titel: |
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Nicht genauso, aber ähnlich. Nachzulesen irgendwo unter wikipedia. Es kommt jedenfalls eine kubische Gleichung raus.
Oder du verwendest gleich Mathematika oder etwas ähnliches, um die Eigenvektoren zu bestimmen. Auch "R" kann dies hervorragend !
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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ushi
Anmeldungsdatum: 10.11.2007
Beiträge: 111
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| ushi Verfasst am: 10. Dez 2007 17:41 Titel: |
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also gut:
 =0)
 & 3 & 0 \\ 3 & (-2-\lambda ) & -1 \\ 0 & -1 & (-1-\lambda ) \end{vmatrix} =(1-\lambda )(-2-\lambda )(-1-\lambda )-(1-\lambda )-9(-1-\lambda )=0)
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 10. Dez 2007 17:53 Titel: |
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ja, kann ich nachvollziehen.
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pfnuesel
Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 248
Wohnort: Zürich
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| pfnuesel Verfasst am: 10. Dez 2007 22:12 Titel: |
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Hallo
Beim Matrix-Element  hast du einen Vorzeichenfehler. Wenn du den noch ausbesserst erhälst du ein charakteristisches Polynom, dessen Lösungen leicht zu erraten sind.
Edit I: Da war doch ausserdem noch was mit der Spur: Für eine  x -Matrix  gilt }=tr(A)) , wobei ) die Spur der Matrix bezeichnet und }) der Koeffizient des charakterischen Polynoms zu }) ist.
Da bin ich mir aber nicht mehr sicher. Kann das jemand bestätigen/verbessern?
Edit II: Okay, bis auf das Vorzeichen stimmt es. Wikipedia dazu:
| Zitat: | Schreibt man das charakteristische Polynom in der Form
 = \lambda^n - a_{1} \lambda^{n-1} + a_{2} \lambda^{n-2} \dots + (-1)^n a_n) ,
so ist stets  die Spur und  die Determinante von A. |
Was ich damit eigentlich sagen wollte: So kannst du kurz überprüfen, ob dein charakteristisches Polynom überhaupt möglich ist, die Spur deiner Matrix verschwindet nämlich, nicht aber dein , ergo muss was falsch sein.
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ushi
Anmeldungsdatum: 10.11.2007
Beiträge: 111
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| ushi Verfasst am: 11. Dez 2007 14:27 Titel: |
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ok danke. jetzt:
 & 3 & 0 \\ 3 & (-2-\lambda ) & -1 \\ 0 & -1 & (1-\lambda ) \end{vmatrix} =(1-\lambda )(-2-\lambda )(1-\lambda )-(1-\lambda )-9(1-\lambda )=0)
jetzt brauch ich noch die eigenvektoren. ich mach ein beispiel etwas ausführlicher. bei den andern beiden nur das ergebnis:
\cdot x=0)
\cdot x=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \\ 3 & -3 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot x=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} )
da komm ich auf folgendes gleichungssystem:
edit: bin ausversehen auf absenden statt vorschau gekommen. wird noch bearbeitet
edit2: fertig.
edit3: achso!!! der vektor is:
normiert:
is es hier eigentlich egal, ob positiv oder negativ. also kann ich den mit -1 multiplizieren und der stimmt trotzdem?
Zuletzt bearbeitet von ushi am 11. Dez 2007 16:25, insgesamt einmal bearbeitet |
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pfnuesel
Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 248
Wohnort: Zürich
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| pfnuesel Verfasst am: 11. Dez 2007 16:19 Titel: |
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Die Matrix auf Dreiecksform bringen bedeutet, mittels Äquivalenzumformungen die Matrix auf eine Gestalt bringen, so dass alle Elemente unterhalb (oder oberhalb) der Diagonalen verschwinden. So kannst du die Werte einfacher ablesen. Das ist aber gar nicht unbedingt nötig, den Eigenvektor kannst du ja jetzt direkt aus deinem Gleichungssystem ablesen.
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ushi
Anmeldungsdatum: 10.11.2007
Beiträge: 111
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| ushi Verfasst am: 11. Dez 2007 16:26 Titel: |
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entschuldige hab die antwort editiert, während du geschrieben hast. habs schon rausgefunden. stimmt das jetz so?
also alle lösungen:
stimmt das so??? 
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pfnuesel
Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 248
Wohnort: Zürich
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| pfnuesel Verfasst am: 11. Dez 2007 16:55 Titel: |
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Ja, das stimmt so. Der Eigenvektor muss meines Wissens aber nicht normiert sein, du kannst den Faktor vor dem Vektor also weglassen, sieht etwas schöner aus...
Ob du den Eigenvektor mit ) multiplizieren kannst? Nun, überleg mal, löst der mit multiplizierte Vektor das Gleichungssystem immer noch?
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ushi
Anmeldungsdatum: 10.11.2007
Beiträge: 111
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pfnuesel
Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 248
Wohnort: Zürich
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| pfnuesel Verfasst am: 14. Dez 2007 03:19 Titel: |
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Sorry für die späte Antwort. Irgendwie gehen bei mir neue Beiträge verloren...
Okay, ich habe deine Matrizen nicht im Detail geprüft, sieht aber gut aus.
Jetzt bist du beinahe fertig. Lass dich vom Beispiel bei Wikipedia nicht verwirren, da haben wir noch zusätzliche Terme erster Ordnung, die du in deinem Beispiel nicht hast...
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Michael3112
Gast
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| Michael3112 Verfasst am: 27. Jul 2011 12:49 Titel: |
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Normieren muss man
weil:
Wenn man nur die Matrix aus eigenvektoren nehmen würde, erhält man die ähnlichkeit: B^(-1)AB= E
Normiert man erhält man
B^(t)AB= Diag, wobei diag die Diagonalmatrix ist, mit den Eigenwerten auf der Diagonalen
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