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isi1
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 isi1 Verfasst am: 14. Feb 2010 16:38 Titel: Tiefenerder berechnen |
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Hier hätte ich eine Frage, an der wir uns im Ingenieurforum die Zähne ausbeißen: | Tessa hat Folgendes geschrieben: | Hi Fachleute!
Wir sollen den Widerstand eines Tiefenerders bestimmen (mit Ableitung der Formel).
Gegeben ist kappa, eine kreisrunde Platte mit Radius r=2m, die waagrecht in h=8m Tiefe vergraben ist.
Sie ist mit einer isolierten Leitung angeschlossen.
Bei einer Kugel in großer Tiefe könnte ich es: R=1/(4 pi kappa r).
Schwieriger ist es schon, wenn sie nur in 8m Tiefe ist, denn dann hat die Begrenzung einen Einfluss. Näherungsweise würde ich die Oberfläche der Platte benutzen. Aber exakt?
Wäre sehr nett, wenn sich einer der Gurus hier das man ansehen könnte. |
Bisher haben wir nur:
| Zitat: | Wegen der Äquivalenz zwischen Kapazität und Leitwert, Tessa,
könnte man die Formeln für Kondensatoren verwenden.
Aus Meinke/Gundlach: Kapazität einer dünnen kreisförmigen Scheibe im freien Raum:
 mit k=0,635 für die
Analog:
Die Formel für die Kugel sieht genau so aus, nur ist der Faktor k = 1 |
Aber das beantwortet nicht die Frage.
Hier im Forum habt ihr excellente Physiker, deshalb meine Hoffnung, dass ihr helfen könnt.
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 15. Feb 2010 10:48 Titel: |
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Hmmm...
Ich wüsste momentan nicht, wie man das exakt berechnet. Es geht vielleicht, ist aber eine Randwertaufgabe, die nicht ganz einfach ist.
Der Ansatz über die Kapazität einer Kreisscheibe erscheint mir (momentan noch) wenig nützlich, denn diese Formel setzt ja voraus, dass die Kreisscheibe in einem unbegrenzten homogenen Medium liegt, so wie es für die von Dir angesprochene Kugel der Fall ist...Ein wenig tendiere ich gedanklich in Richtung einer "Spiegelladung", welche allerdings gleich geladen sein müsste, um die Randbedingung an der Grenzfläche zu erfüllen (Normalkomponente von j = 0). Und dann kommt noch dazu, dass keine homogene Stromdichteverteilung an der Platte vorliegt (im Ladungsbild: keine homogene Flächenladung). Scheint etwas schwierig zu sein...verzichtet man auf letzere Einschränkung, so kann man aber die Integration für das Potenzial leicht durchführen.
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schnudl
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| schnudl Verfasst am: 15. Feb 2010 21:53 Titel: |
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also ich komme (nach einigem Grübeln) auf
)
R ... Radius der Scheibe
D/2 ... Tiefe unter Grund
 ... spez. Leitwert
Hier liegt aber die oben bereits erwähnte Annahme zugrunde, dass die zweiseitige Flächenstromdichte auf der Platte (genauer: das  ) konstant ist. Näherungsweise ist das sicher OK. Es ist äquivalent zur Annahme, dass die Ladungsdichte auf einer Kondensatorplatte konstant ist - daran hat man sich ja schon gewöhnt und es stimmt denke ich recht gut.
@isi: Hast du das Ergebnis? Ich möchte nicht einen Rechenweg posten, der Unsinn ist...Jedenfalls habe ich mit einem "Spiegelerder" gerechnet, wie ich schon oben sagte.
Motivierend beim Ergebnis ist jedenfalls, dass der Widerstand des Erders an der Oberfläche doppelt so gross ist, wie der ganz tief eingegrabene (Halbkugel/Vollkugel). Kann das auch stimmen? 100% sicher bin ich mir nicht...
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schnudl
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| schnudl Verfasst am: 16. Feb 2010 13:58 Titel: |
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laut einem Tabellenwerk das ich zufällig gefunden habe ist mein Ergebnis um éinen Faktor  zu klein. Ich kann momentan den Fehler nicht finden und zweifle schon langsam an den Ausgangsprämissen. Die Analogie zwischen Elektrostatik und der Berechnung eines Stromfeldes wird auch immer schwammiger, je mehr ich darüber nachdenke...
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isi1
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| isi1 Verfasst am: 16. Feb 2010 17:15 Titel: |
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Nein, Schnudl, erst mal danke für die Antwort. Leider haben wir keine Lösung, obwohl wir es im Ingenieurforum zu mehreren versucht haben. Das Spiegeln mit mit einer Platte mit einem gleichen konstanten Oberflächenpotential ist sicher exakt richtig, die Analogie zur Elektrostatik ist auch 100% Konsens.
Die konstante Stromdichte wird nicht zutreffen, genau wie analog die konstante Ladungsdichte nicht zutrifft (wegen Influenz), das funktioniert nur bei Isolatoren mit konstanter Ladungsdichte.
Konstant ist bei der Metallplatte das Potential auf der Platte.
Deine Formel stimmt schon recht gut mit dem Lehrbuch für Hochfrequenztechnik von Meinke/Gundlach überein, wenn man die Tiefe stark wachsen lässt:
Schnudl:  ...das k wäre 0,5
Meinke:  ---das k ist 0,635
Tabellenwerk:  ---das k ist 1/(2pi)=0,159
Könntest Du bitte - falls das einfach geht - Deine Mathematik für konstantes Oberflächenpotential modifizieren?
Ich versuchte (bisher ohne Erfolg) das elliptische Potential so zu modifizieren, dass ein abgeplattetes Rotationsellipsoid entsteht mit der Höhe Null. Ähnlich hat Sommefeld das abgeleitet für den Staberder - nur eben das verlängerte Rotationsellipsoid, nicht das abgeplattete.
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Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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schnudl
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| schnudl Verfasst am: 17. Feb 2010 08:45 Titel: |
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| Zitat: | | Könntest Du bitte - falls das einfach geht - Deine Mathematik für konstantes Oberflächenpotential modifizieren? |
ich bin gerade dran. Was besseres hab ich ja nicht zu tun...
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schnudl
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schnudl
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| schnudl Verfasst am: 17. Feb 2010 20:26 Titel: |
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@isi:
Hast du diese Arbeit von Sommerfeld als pdf?
Wäre nett wenn du sie mir zukommen lassen könntest...
PS: Sommerfeld machte übrigens auch Pionierarbeit bei der Theorie der Antennen...
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isi1
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| isi1 Verfasst am: 17. Feb 2010 20:41 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | Ich habe jetzt etwas raus, was mit meinem Tabellenwerk übereinstimmt:
 = \frac{\rho}{4 \pi R} \left(\pi - \arctan{\frac{D}{R}} \right))
D= (unendlich tief eingegraben):
 = \frac{\rho}{8 R})
D=0 (an der Oberfläche)
 = \frac{\rho}{4 R})
Für die Quelldichteverteilung einer einzelnen Platte, auf der konstantes Potenzial herrscht, habe ich herausbekommen:
 = \frac{I}{2 R \pi } \cdot \frac{1}{\sqrt{R^2-r^2}})
Das entstehende Potenzial entlang der Mittenachse weicht in der Nähe der Platte stark von der homogenen Stromdichteverteilung ab (siehe Bild). |
Du bist einfach phantastisch, Schnudl.
Haben wir die Chance, das nachzuvollziehen - bei unseren mathematischen Möglichkeiten?
Wenn ja, könntest Du einen Hinweis geben, wie das zu rechnen ist?
| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | Steht im Meinke die Herleitung drin? Mich würde es brennend interessieren wie die drauf kommen... Jedenfalls ist die Abweichung zu diesem Wert im Meinke nur minimal. Aber wo kommen die 0,2% Unterschied her? |
Das dürfte meine Umrechnung gewesen sein. In einer etwas älteren Auflage von
 http://ecx.images-amazon.com/images/I/41jw%2BG1ovUL._BO2,204,203,200_PIsitb-sticker-arrow-click,TopRight,35,-76_AA240_SH20_OU03_.jpg
steht nur (ohne Ableitung):
Ich habe umgerechnet:
 --- das k ist 0,634521
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isi1
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| isi1 Verfasst am: 17. Feb 2010 20:44 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | @isi:
Hast du diese Arbeit von Sommerfeld als pdf?
Wäre nett wenn du sie mir zukommen lassen könntest...
PS: Sommerfeld machte übrigens auch Pionierarbeit bei der Theorie der Antennen... |
Ich versuche es im Netz zu finden, Schnudl,
es heißt Sommerfeld: Vorlesungen über theoretische Physik III, Elektrodynamik
Ich versuche es zu finden und schreibe Dir den Link.
Falls nicht, melde ich mich per PN.
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schnudl
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| schnudl Verfasst am: 17. Feb 2010 20:53 Titel: |
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Mein Umrechnungsfaktor ist
Du hast angegeben
???
Also ist ein Unterschied zum Buch da - wenn auch nur ein sehr kleiner.
Ich habe aus der Stromdichteverteilung das Potenzial an der einen Platte im Bezug auf "unendlich" (an der Symmetrieachse) ausgerechnet. Für die Spiegelplatte muss man das um D verschobene Potenzial addieren.
Das Potenzial habe ich über die Greensche Funktion
 = \frac{\rho}{4 \pi } \int_V \dd V \frac{\dot \sigma(r')}{|r-r'|})
bestimmt. Es wird letztlich ein simples Flächenintegral von 0...R.
Ich kann morgen den Rechenweg im Detail posten - ist aber nicht schwierig und man hat nur einfache Integrale. Die Stromdichteverteilung habe ich mit einem Ansatz bestimmt, bei dem für r=R eine Singularität der Ordnung n entsteht (Spitzeneffekt). Dann habe ich das n zu n=1/2 bestimmt. Ist nicht sehr elegant, hat aber funktioniert. Das kostete mich die meiste (Arbeits)Zeit...
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isi1
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 17. Feb 2010 21:04 Titel: |
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danke !
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 21. Feb 2010 19:51 Titel: |
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Nach drei Tagen des Herumprobierens gebe ich nun mit folgenden Erkenntnissen auf:
Trotz der scheinbaren Trivialität ist das Problem der geladenen Kreisplatte erst 1884 (also gute 20 Jahre nach der Aufstellung der Maxwell'schen Gleichungen) von Thomson(=Lord Kelvin) gelöst worden. Die Mathematik für solche gemischten Randwertaufgaben ist denke ich recht aufwendig und erfordert tiefere Einsicht in die Theorie der dualen Integralgleichungen. Selbst im Jackson, den ich über alles schätze, wird das Problem als sehr komplex dargestellt und bloss auf die Arbeiten von H.Weber verwiesen. 1945 (!!!) war das Plattenproblem scheinbar immer noch ein Thema, wie das Paper von Copson zeigt:
http://journals.cambridge.org/action/displayFulltext?type=1&fid=3082180&jid=PEM&volumeId=8&issueId=01&aid=3082172
Ich glaube man muss als Unterliga-Physiker nicht traurig sein, wenn man auf das nicht selbst gekommen ist...
Der erste Ansatz von Thomson (der zwar korrekt ist, jedoch etwas gekünstelt und unmathematisch wirkt) findet sich gut erklärt hier:
http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/ellipsoid.pdf
Der Ansatz von isi im anderen Forum geht auch in diese Richtung. Sie war denke ich (im Ansatz) nicht weit von der Lösung entfernt...
Ob es eine Löung für die parallelen Platten gibt, habe ich nicht herausgefunden.
Für das Problem des Kondensators aus zwei kreisförmigen Platten gibt es offenbar eine Lösung, die erst 2009 (!!!) gefunden wurde. Leider hilft das hier nicht weiter:
http://ceta.mit.edu/pier/pier97/21.09092503.pdf
Ich glaube wir können ganz froh sein, wenigstens eine analytische Näherung für die gestellte Frage zu besitzen...
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lampe16
Anmeldungsdatum: 21.03.2010
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| lampe16 Verfasst am: 21. März 2010 18:38 Titel: Tiefenerder berechnen |
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@ Antwort-Poster dieses Threads,
ich bin nicht sicher, ob ich den Ansatz richtig verstanden habe. Deshalb die Frage, ob die folgende Kurzfassung stimmt:
:) Potential bei Kreisscheibe in Ebene  mit eingeprägtem Potenzial  im homogenen Raum mit 
=\varphi _1(x,y,z-h)+\varphi _1(x,y,z+h):) Potenzial der Spiegelungsanordnung
 Strom, der aus einer Elektrode quillt
 gesuchter Erderwiderstand
Ist das so i.O.?
Gruß, lampe16
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 21. März 2010 18:51 Titel: |
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ja, genau so haben wir es betrachtet!
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lampe16
Anmeldungsdatum: 21.03.2010
Beiträge: 319
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| lampe16 Verfasst am: 14. Dez 2010 18:54 Titel: |
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@schnudl
Danke für die Antwort!
Mir ist gerade aufgefallen, dass mein Feedback und Dank noch ausstand; und das war einfach einige Quartale lang schlechtes Benehmen. Pardon!
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