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rakete007
Anmeldungsdatum: 01.12.2023
Beiträge: 20
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 rakete007 Verfasst am: 11. Mai 2024 09:15 Titel: Drehimpulserhaltung zur Vereinfachung einer DGL |
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Wir haben ein Teilchen mit Masse m gegeben, dass einer Kraft F=-kr unterliegt. Wir sollen zeigen, dass der Drehimpuls erhalten ist, was ich bereits getan habe.
Nun sollen wir diese Tatsache dazu benutzen, eine DGL erster Ordnung zu erhalten, die r(t) und dr/dt enthält.
Leider habe ich etwas Schwierigkeiten, auf diese DGL zu kommen. Normalerweise stelle ich die immer mit F=ma auf, aber dann bekommt man ja sofort eine DGL zweiter Ordnung.
Dann habe ich probiert F=dp/dt zu benutzen, aber mit der Drehimpulserhaltung gilt ja, dass die Ableitung des Impulses, also dp/dt=0 ist (?), und dann bekomme ich eine DGL "nullter" Ordnung.
Wie soll man hier genau die Drehimpulserhaltung benutzen? Ich stehe etwas auf dem Schlauch.
Vielen Dank und LG  |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5916
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| Myon Verfasst am: 11. Mai 2024 11:06 Titel: |
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Du könntest einmal die Energieerhaltung unter Verwendung von Polarkoordinaten hinschreiben. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5079
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| DrStupid Verfasst am: 11. Mai 2024 14:03 Titel: Re: Drehimpulserhaltung zur Vereinfachung einer DGL |
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| rakete007 hat Folgendes geschrieben: | | aber mit der Drehimpulserhaltung gilt ja, dass die Ableitung des Impulses, also dp/dt=0 ist (?) |
Nein, mit der Drehimpulserhaltung ist die Ableitung des Drehimpulses Null. Ich vermute mal, dass Du genau diesen Umstand ausnutzen sollst. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18296
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| TomS Verfasst am: 11. Mai 2024 14:31 Titel: Re: Drehimpulserhaltung zur Vereinfachung einer DGL |
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| rakete007 hat Folgendes geschrieben: | | Wir haben ein Teilchen mit Masse m gegeben, dass einer Kraft F=-kr unterliegt. |
Ich vermute, du meinst für Vektoren F und r die Kraft
und die potentielle Energie
d.h. einen 3-dim. harmonischen Oszillator mit Rotationssymmetrie.
Damit gelten mit
die Erhaltungssätze
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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rakete007
Anmeldungsdatum: 01.12.2023
Beiträge: 20
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| rakete007 Verfasst am: 11. Mai 2024 15:35 Titel: |
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Ja, die potentielle Energie mussten wir in der Teilaufgabe davor bestimmen.
Die Sätze sind mir klar, aber wie hängen diese jetzt mit der DGL zusammen?
Die einzige Idee die ich hatte, war aus F=dp/dt den Impuls p(t) zu bestimmen,
und dann r(t) aus dr/dt=p/m zu bekommen. Da wir aber ja auch r(t) in der DGL stehen haben sollen ist der Ansatz wohl falsch und Erhaltungssätze benutzt habe ich da auch nicht.
Ich stehe komplett auf dem Schlauch  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18296
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| TomS Verfasst am: 11. Mai 2024 16:03 Titel: |
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Tipp, wie das in einer Dimension funktioniert:
Die zweite Gleichung löst du nach p auf
)
Dann noch die Wurzel ziehen und für p die erste Gleichung verwenden.
In drei Dimensionen hast du jedoch drei Koordinaten. Aufgrund der Drehimpulserhaltung liegt ein ebenes Problem vor, d.h. du kannst Polarkoordinaten in der xy-Ebene nutzen. Mittels Drehimpulserhaltung eliminierst du analog die Ableitung des Winkels nach der Zeit.
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rakete007
Anmeldungsdatum: 01.12.2023
Beiträge: 20
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| rakete007 Verfasst am: 11. Mai 2024 16:26 Titel: |
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Achso, jetzt ist es mir klar. Das probiere ich jetzt mal. Dankeschön!
Eine Frage noch, wieso funktioniert das in mehreren Dimensionen nicht so wie in einer? Wenn ich jetzt zum Beispiel erstmal die obigen Gleichungen nach p auflöse, kommt dann nicht einfach  } ) raus? Ich verstehe nicht ganz, wieso man das noch in Polarkoordinaten umwandeln muss  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18296
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| TomS Verfasst am: 11. Mai 2024 16:44 Titel: |
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Du kannst nicht aus einer Energie (rechts) die Wurzel ziehen um daraus einen Impulsvektor zu erhalten.
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rakete007
Anmeldungsdatum: 01.12.2023
Beiträge: 20
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| rakete007 Verfasst am: 11. Mai 2024 17:23 Titel: |
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Verstehe. Ist dann der Impulsvektor  ) in Polarkoordinaten? Das ist aber ja auch wieder ein Vektor für v..
Edit: Fallen die Einheitsvektoren evtl durch das quadrieren weg? |
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rakete007
Anmeldungsdatum: 01.12.2023
Beiträge: 20
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| rakete007 Verfasst am: 11. Mai 2024 17:43 Titel: |
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Okay, die die gleichnamigen Einheitsvektoren werden zu eins und die, die orthogonal sind fallen beim multiplizieren weg. Zusätzlich wird die Ableitung von dem Term mit E auch null.
Am Ende erhalte ich nun für die DGL  , was man nun zur DGL  umschreiben kann. Stimmt das so? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18296
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| TomS Verfasst am: 11. Mai 2024 17:59 Titel: |
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Was ist mit der Ableitung von phi passiert?
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rakete007
Anmeldungsdatum: 01.12.2023
Beiträge: 20
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| rakete007 Verfasst am: 11. Mai 2024 18:04 Titel: |
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Ich dachte die sei null, weil ja die Drehbewegung gleich bleibt? Das Teilchen rotiert ja auf einer festen Ebene, die sich mit der Zeit nicht ändert. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5916
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| Myon Verfasst am: 11. Mai 2024 18:27 Titel: |
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Aber quadriere doch einmal den obigen Vektor p, wie Du ihn oben geschrieben hast. |
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rakete007
Anmeldungsdatum: 01.12.2023
Beiträge: 20
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| rakete007 Verfasst am: 11. Mai 2024 18:38 Titel: |
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)^2 = m^2\dot{r}^2\vec{e_{r}}^2+2m^2r\dot{r}\dot{\phi}\vec{e_{r}}\vec{e_{\phi}}+m^2r^2\dot{phi}^2\vec{e_{\phi}}^2 )
Die Einheitsvektoren im ersten Term werden zu eins, die im zweiten Term zu null, die im Dritten wieder zu eins. Ich hatte vorhin auch das m^2 im letzten Term vergessen. Aber was passiert jetzt mit  ? Ich dachte ja, dass das einfach auch zu null wird  [/i] |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5916
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| Myon Verfasst am: 11. Mai 2024 18:44 Titel: |
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Der letzte Summand ist nicht null. Du kannst ihn durch den Drehimpuls (und m und r) ausdrücken. |
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rakete007
Anmeldungsdatum: 01.12.2023
Beiträge: 20
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| rakete007 Verfasst am: 11. Mai 2024 19:03 Titel: |
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In Polarkoordinaten ist der Drehimpuls  , also ist der letzte Summand  , oder?
Aber was ist  in diesem Zusammenhang überhaupt? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5916
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| Myon Verfasst am: 11. Mai 2024 19:13 Titel: |
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Ja, für den Drehimpuls gilt
Somit lässt sich der 3. Summand aus p^2 schreiben als
| Zitat: | | Aber was ist in diesem Zusammenhang überhaupt? |
Hmm. Wie meinst Du das? Dieser Term kommt vom Drehimpuls, den die Masse m zu Beginn hat. Dieser Drehimpuls ändert sich nicht unter der Einwirkung der gegebenen Kraft. Er tritt in der Differentialgleichung als Konstante auf, genauso wie die Energie E. |
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rakete007
Anmeldungsdatum: 01.12.2023
Beiträge: 20
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| rakete007 Verfasst am: 11. Mai 2024 21:24 Titel: |
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Alles klar, vielen Dank!
Ich habe für p jetzt irgendwie zwei Terme raus: =m^2r^2+\frac{L^2}{r^2} )
Welchen nehme ich für die DGL? Ich habe es mit hinterem Term ausprobiert, aber die Ableitung davon ergibt einen ellenlangen Term zweiter Ordnung, also muss doch etwas nicht stimmen. |
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rakete007
Anmeldungsdatum: 01.12.2023
Beiträge: 20
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| rakete007 Verfasst am: 12. Mai 2024 08:17 Titel: |
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Über Nacht ist mir noch etwas eingefallen: macht es nicht mehr Sinn, die Formel einfach nach der usprünglichen Formel für den Impuls,  umzustellen?
Dann erhält man -\frac{L^2}{r^2}} ) .
Ist das nun die richtige Formel für p? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5916
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| Myon Verfasst am: 12. Mai 2024 08:57 Titel: |
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| rakete007 hat Folgendes geschrieben: | umzustellen?
Dann erhält man . |
Diese Gleichung wäre nicht richtig, denn
Gesucht ist ja eine Differentialgleichung für r(t). Geht man aus von
)
und setzt p^2 und V(r) ein
+\frac{1}{2}kr^2)
und dann noch L^2:
Nun kann man noch  auf eine Seite bringen und die Wurzel ziehen. |
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rakete007
Anmeldungsdatum: 01.12.2023
Beiträge: 20
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| rakete007 Verfasst am: 12. Mai 2024 09:06 Titel: |
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Ich dachte die ganze Zeit ich suche nach einem Ausdruck für p, mit dem ich dann durch den Ansatz  die DGL aufstellen kann.
Ich wusste garnicht, dass man das auch mittels der Energie machen kann, fehlt dann nicht der Ausdruck für die Kraft? Oder ist die einfach in der potentiellen Energie enthalten? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5916
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| Myon Verfasst am: 12. Mai 2024 10:21 Titel: |
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Die Kraft steckt in der potentiellen Energie.
Gesucht ist ja eine Differentialgleichung 1. Ordnung für r(t). Ich denke schon, dass es so gemeint ist. Herleitung entweder über die Energie. Oder man geht aus von
und führt Polarkoordinaten ein (Betrachtung in einer Ebene, senkrecht zum konstanten Drehimpulsvektor genügt):
Für die e_r-Komponente erhält man (skalare Multiplikation mit e_r)
=-kr)
oder
Multiplikation mit  führt auf
oder
=0)
Integriert man das, erhält man die Energie als Integrationskonstante. |
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