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FAQ - kosmologische Rotverschiebung / alternative Herleitung
 
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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15736

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Dez 2021 08:41    Titel: FAQ - kosmologische Rotverschiebung / alternative Herleitung Antworten mit Zitat

Üblicherweise wird die kosmologische Rotverschiebung über die Zeitdilatation motiviert, oder man betrachtet Impuls bzw. Wellenzahlvektor entlang einer lichtartigen Geodäten. Letzteres entspricht der Näherung der geometrischen Optik, in der Geodäten als Normalen auf den Wellenfronten, d.h. Flächen identischer Phase erscheinen.

Prinzipiell ist die Berechnung der kosmologischen Rotverschiebung jedoch mittels direkter Lösung der Wellengleichung auf dem Hintergrund einer Metrik, die ein expandierendes Universum beschreibt, möglich. Dabei beschränke ich mich auf ein flaches Universum mit K = 0, da nur hier mit ebenen Wellen argumentiert werden kann.

Ausgangspunkt ist die Wellengleichung (Klein-Gordon-Gleichung) eines masselosen Skalarfeldes



steht für den 4-dim. Laplace-Beltrami-Operator, d.h. die Verallgemeinerung von auf gekrümmte Mannigfaltigkeiten. Für eine bekannte Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen folgt der Laplace-Beltrami-Operator aus der Metrik gemäß





Unter Verwendung der Friedmann-Robertson-Walker-Metrik





für ein homogenes und isotropes Universum sowie der adiabatischen Näherung reduziert sich dies auf



wobei für den von a(t) abhängigen Laplace-Beltrami-Operator auf einem für K = 0 je Zeit t flachen 3-Raum steht.

Die Expansion wird mittels des Skalenfaktors a(t) beschrieben. In der adiabatischen Näherung betrachtet man genügend kurze Zeiträume, innerhalb derer jeweils sehr viele Schwingungen stattfinden, jedoch der Skalenfaktor näherungsweise konstant bleibt, d.h.



Nun setzt man über diesen Zeitraum





und vergleicht Skalenfaktoren und Lösungen der Wellengleichung für zwei verschiedene Zeiträume.

Man definiert





und erhält für K = 0 ebene Wellen gemäß







Dies bedeutet, dass vermöge der Zeitabhängigkeit von a(t) ausgehend von einer Lösung mit



eine neue Lösung zu einem anderen Zeitpunkt mit



resultiert.

Zuletzt folgt die bekannte kosmologische Rotverschiebung direkt mittels Vergleich der Frequenzen



Eine kovariante Definition der Frequenz Omega als skalare Größe für einen Beobachter mit Vierergeschwindigkeit u folgt mittels



Dies gilt auch, wenn die o.g. adiabatische Näherung nicht exakt gültig ist, jedoch in der Umgebung der Messung in guter Näherung eine ebene Welle vorliegt.
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