Beweis für die Bianchi-Identitäten

zwei_phi · Gast

Meine Frage:
Die Bianchi-Identitäten waren wohl der Schlüssel für A. Einstein um, vom Riemannschen-Krümmungs-Tensor ausgehend, einen mit dem Energie-Impuls-Tensor kompatiblen Tensor (dem Einstein-Tensor)zu finden und damit die Feldgleichungen zu formulieren.
Mir ist der Beweis bekannt, wie man aus den Bianchi-Identitäten den Einstein-Tensor herleitet, der dann zum Energie-Impuls-Tensor kompatibel ist. (beide Tensoren symmetrisch, beide eine allgemeine Divergenz-Bedingung erfüllend, der Einstein-Tensor zweiter Stufe enthält nur die Krümmung der Raumzeit betreffende Eigenschaften)
Aber ich finde keinen Beweis für die Bianchi-Identitäten.

Meine Ideen:
Googlen (leider ohne Erfolg)

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Eine ausführliche Diskussion der Bianchi-Identitäten gibt es in Misner et al., Gravitation. Dem Thema ist dort ein ganzes Kapitel gewidmet. Dort würde ich zuerst mal nachschauen.

Ansonsten findest du Beweise eigentlich in jedem Buch über die Grundlagen der Differentialgeometrie. Eine Standardreferenz ist Kobayashi, Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Dort werden die Identitäten in voller Allgemeinheit bewiesen. Falls du dich auf die Allgemeine Relativitätstheorie konzentrieren willst, ist das Buch also vielleicht nicht ganz, was du suchst. Es ist auch sehr anspruchsvoll und nicht als Einführung geeignet. Vielleicht solltest du etwas zu deinen Vorkenntnissen sagen oder welche Art von Darstellung dir vorschwebt.

zwei_phi · Gast

Ich meine einen Beweis der Bianchi-Identitäten im "Physiker-Speech":

Und damit meine ich, dass der Beweis über die Komponenten der beteiligten Tensoren geführt wird und nicht über die Tensoren selbst.

Ist ein solcher Beweis schon in deinem zitierten Misner et al., "Gravitation" enthalten?

PS: Höre gerade eine VL für Tensoranalysis für Physiker. Beim Übergang zu nicht-euklidischen Vektorräumen
ändert sich an den für den euklidischen R^3 zuvor eingeführten Komponentengleichungen für Tensoren und deren Rechenregeln gar nichts.
Bei konkreten Rechnungen entscheiden allein die Komponenten des verwendeten Metriktensors über das Ergebnis der Rechnung.
In der VL gerechnetes Beispiel:
Krümmung k eines Großkreises mit dem Radius r bzgl. des euklidischen R^3: k = 1/r
Krümmung k eines Großkreises mit dem Radius r bzgl. einer Kugeloberfläche mit dem Radius r: k = 0

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

zwei_phi · Gast

Vielen Dank für die wertvollen Hinweise und Literaturangaben.

Die von mir besuchte VL zur "Einführung in die Tensoranalysis" für Physiker bezieht sich zu 95%
auf den euklidischen Vektorraum R^3. Es werden die kovariante Ableitung und Christoffel-Symbole eingeführt,
um den Hörer auch bei einem beliebig gewählten Koordinatensystem in die Lage zu versetzen,
sich selbst grad, div und rot auszurechnen, statt eine Formelsammlung bemühen zu müssen, die
ja überwiegend nur Formeln für die "Mainstream"-Koordinaten liefert wie Kugel- und Zylinderkoordianten.
Eine tolle Zielsetzung: Bei den meisten Vektoranalysis-Einführungen für Physiker werden nicht einmal die
Christoffel-Symbole eingeführt.

Da der Professor sich nach der Erfüllung der Pflicht noch ein paar VL-Stunden bis zum VL-Ende freigekämpft hatte,
führte er kurzerhand den gekrümmten Riemann-Raum in einer nicht-strengen Form ein: Für diesen Raum gibt es keine Koordinaten,
s. d. die Komponenten des Metriktensors konstant sind.

Mein Beispiel sollte illustrieren, wie weit man mit dieser nicht-strengen Einführung immerhin noch rein rechnerisch in gekrümmten Räumen kommt.

Aber ich merke, dass ich zu einem vollständigen Verständnis gekrümmter Räume nur durch einen Besuch
einer VL zur Differentialgeometrie bei den Mathematikern vordringen kann.