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Mach'sches Prinzip durch die ART bestätigt ?
 
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Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 103

Beitrag Corbi Verfasst am: 22. Jan 2020 18:37    Titel: Mach'sches Prinzip durch die ART bestätigt ? Antworten mit Zitat

Der Fließbach sieht das Mach'sche Prinzip durch die ART bestätigt aus folgendem Grund:
Die Schwarzschildmetrik:


gilt ganz Allgemein als Vakuum-Lösung einer isotropen Massenverteilung. Das heißt sie gilt auch innerhalb einer sphärischen Massenverteilung(damit meine ich natürlich im Vakuum innerhalb einer sphärischen Massenverteilung.) Befindet sich nun am Punkt r=0 keine Masse dann wird die Schwarzschildmetrik zur Minkowski-Metrik.
Daraus folgt: Ein System in dem die äußeren Massen isotrop erscheinen ist ein Inertialsystem. Genau das hat ja Mach gefordert, nämlich dass die großen Massen um uns herum die Inertialsysteme festlegen.

Ich verstehe jetzt nur nicht ganz, warum aus einem relativ dazu rotierenden oder linear-beschleunigten Bezugssystem die Massenverteilung nicht mehr isotrop erscheint. Ich würde das gerne formal untersuchen, bin mir aber nicht ganz im klaren darüber wie die Koordinatentransformation in die beschleunigten Bezugssysteme aussehen müsste.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12085

Beitrag TomS Verfasst am: 22. Jan 2020 23:03    Titel: Antworten mit Zitat

Das ist Torstens Privatmeinung ...

Insbs. geht es nicht um Inertialsysteme sondern um Trägheit allgemein, und darum, dass diese von anderen Massen verursacht würde. Die ART verletzt das Machsche Prinzip insofern, dass Raumzeiten ohne Massen zumindest mathematisch existieren können, und dass in diesen Raumzeiten ebenfalls Trägheitskräfte existieren.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 103

Beitrag Corbi Verfasst am: 23. Jan 2020 01:00    Titel: Antworten mit Zitat

ok.
Mich würde es trotzdem interessieren ob man zeigen kann, dass eine isotrope Massenverteilung im beschleunigten Bezugssystem nicht isotrop erscheint. hast du da eine Idee wie man vorgehen könnte ?

Mein Ansatz wäre den Energie-Impuls-Tensor
in ein rotierendes Bezugssystem transformieren. Aber was wäre denn die "richtige" Transformation dafür ?

Noch eine andere Frage:

Bei der Recherche bin ich dann auf das Ehrenfest'sche Paradoxon gestoßen. Dem Wikipedia-Artikel ist zu entnehmen, dass im rotierenden Bezugssystem die Geometrie nicht euklidisch ist. Wie kann das sein? Die Wahl des Bezugssystems kann doch nicht die Geometrie des Raums verändern
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 1295

Beitrag index_razor Verfasst am: 23. Jan 2020 12:34    Titel: Antworten mit Zitat

Die Frage zum Machschen Prinzip wurde in einem anderen thread auch schon mal mit Verweis auf Fließbach gestellt. Ich kenne das Buch zwar nicht und bin deshalb nicht sicher was Fließbach genau meint, aber dem Machschen Prinzip kann in der Formulierung der Feldgleichungen als Anfangswertproblem eine präzise Interpretation gegeben werden.

Wenn die Massenverteilung des Universums die lokalen Inertialsysteme bestimmt, dann bestimmt sie natürlich auch die Trägheitsbewegung von Testkörpern. Ob die Formulierung des Machschen Prinzips auf "Trägheit" oder "Inertialsysteme" bezug nimmt, ist also eher Geschmackssache.


Corbi hat Folgendes geschrieben:
ok.
Mich würde es trotzdem interessieren ob man zeigen kann, dass eine isotrope Massenverteilung im beschleunigten Bezugssystem nicht isotrop erscheint. hast du da eine Idee wie man vorgehen könnte ?

Mein Ansatz wäre den Energie-Impuls-Tensor
in ein rotierendes Bezugssystem transformieren. Aber was wäre denn die "richtige" Transformation dafür ?


Würde die isotrope Verteilung nicht bereits für Lorentztransformationen aufhören isotrop zu sein? Insofern glaube ich nicht, daß das Kriterium stimmt.

Zitat:

Noch eine andere Frage:

Bei der Recherche bin ich dann auf das Ehrenfest'sche Paradoxon gestoßen. Dem Wikipedia-Artikel ist zu entnehmen, dass im rotierenden Bezugssystem die Geometrie nicht euklidisch ist. Wie kann das sein? Die Wahl des Bezugssystems kann doch nicht die Geometrie des Raums verändern


Doch. Man könnte den Raum als Menge der für einen bestimmten Beobachter gleichzeitigen Ereignisse definieren. Wendet man die Einsteinsche Synchronisierungsvorschrift auf die gekrümmte Weltlinie eines beschleunigten Beobachters an, dann ergibt sich im allgemeinen auch eine gekrümmte Hyperfläche von gleichzeitigen Ereignissen. Vielleicht kann man das für konstant beschleunigte Beobachter im Minkowskiraum sogar explizit berechnen. (Ich würde erwarten, daß dann eine irgendwie hyperbolisch gekrümmte Hyperfläche herauskommt.)

Ich glaube im Landau Lifschitz Band II steht auch etwas dazu. Sie berechnen die räumliche Metrik eines beschleunigten Beobachters in der Nähe seiner Weltlinie auf Basis der Einsteinsynchronisation. Die sieht jedenfalls nicht sehr euklidisch aus.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12085

Beitrag TomS Verfasst am: 23. Jan 2020 15:58    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
... aber dem Machschen Prinzip kann in der Formulierung der Feldgleichungen als Anfangswertproblem eine präzise Interpretation gegeben werden.

Es gibt mMn keine wirklich allgemein akzeptierte Formulierung. Auf welche genau beziehst du dich?


Diejenigen, die ich kenne, sind wohl nicht mit der ART vereinbar:

https://www.spektrum.de/lexikon/physik/machsches-prinzip/9262
https://www.spektrum.de/lexikon/astronomie/machsches-prinzip/284
https://www.einstein-online.info/explandict/machsches-prinzip/
https://www.britannica.com/science/Machs-principle

Hypothese, daß die Trägheitskräfte durch die Gesamtheit der im Universum vorhandenen Materie verursacht werden

Die Trägheit ist also nichts anderes als ein Phänomen, das aus der Wechselwirkung aller Körper im Universum zustande kommt ... Aus dem Machschen Prinzip folgt axiomatisch: Ohne Materie, keine Geometrie; in Körper im leeren Universum hat keine Trägheitseigenschaften

Mach stellte die Hypothese auf, Trägheitskräfte seien nicht auf ... den absoluten Raum zurückzuführen, sondern träten auf, wann immer ein Körper sich relativ zu den Hintergrundmassen im Universum (den fernen Fixsternen etwa) beschleunigt bewege ... In ihrer endgültigen Form respektiert Einsteins Theorie das Mach’sche Prinzip nicht – auch dort sind die Trägheitskräfte nicht alleine auf den Einfluss ferner Massen zurückzuführen.

Mach’s principle, in cosmology, hypothesis that the inertial forces experienced by a body in nonuniform motion are determined by the quantity and distribution of matter in the universe ... Einstein later abandoned the principle when it was realized that inertia is implicit in the geodesic equation of motion and need not depend on the existence of matter elsewhere in the universe.

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Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 103

Beitrag Corbi Verfasst am: 23. Jan 2020 20:22    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Würde die isotrope Verteilung nicht bereits für Lorentztransformationen aufhören isotrop zu sein? Insofern glaube ich nicht, daß das Kriterium stimmt.
das ist wohl wahr.


Zitat:
Doch. Man könnte den Raum als Menge der für einen bestimmten Beobachter gleichzeitigen Ereignisse definieren. Wendet man die Einsteinsche Synchronisierungsvorschrift auf die gekrümmte Weltlinie eines beschleunigten Beobachters an, dann ergibt sich im allgemeinen auch eine gekrümmte Hyperfläche von gleichzeitigen Ereignissen. Vielleicht kann man das für konstant beschleunigte Beobachter im Minkowskiraum sogar explizit berechnen. (Ich würde erwarten, daß dann eine irgendwie hyperbolisch gekrümmte Hyperfläche herauskommt.)


Ist die Relation zwischen dem Inertialsystem und dem beschleunigten System dann immernoch eine reine Koordinatentransformation oder ist etwas, sagen wir mal: "mehr physikalisches" ? So wie ich das bisher verstanden hatte beeinflusst die Koordinatenwahl ja nicht die Geometrie
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 1295

Beitrag index_razor Verfasst am: 24. Jan 2020 11:12    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
... aber dem Machschen Prinzip kann in der Formulierung der Feldgleichungen als Anfangswertproblem eine präzise Interpretation gegeben werden.

Es gibt mMn keine wirklich allgemein akzeptierte Formulierung. Auf welche genau beziehst du dich?


Der einzige Text, der den Zusammenhang, den ich meine, zumindest andeutet, ist der hinter dem zweiten link (https://www.spektrum.de/lexikon/astronomie/machsches-prinzip/284):

"Dieses Szenario kann man sich auch als Anfangswertproblem vorstellen: gegeben seien die Positionen und Bewegungszustände (Geschwindigkeitsvektoren) sämtlicher Körper im Universum zu einem bestimmten Zeitpunkt. Die Lösung des Anfangswertproblems liefert sämtliche Trägheitseigenschaften von Testteilchen zu allen Zeiten, sowohl in der Vergangenheit, als auch in der Zukunft. Das 'Universum' ist dabei eine geschlossene, raumartige Hyperfläche, also ein geschlossener 3D-Raum. Die Lösung des Anfangswertproblems, einer Bewegungsgleichung, liefert dann den 4D-Raum, die Raumzeit, in Vergangenheit und Zukunft."

Weniger plausibel sind aber die Aussagen am Ende dieses Textes. "Ohne Materie, keine Geometrie" scheint mir eine ziemlich sinnleere Behauptung zu sein. Auf jeden Fall folgt sie kaum "axiomatisch" aus dem Machschen Prinzip (zumindest nicht aus der Art der beschriebenen Anfangswertformulierung).

Eine exakte Ausformulierung des Anfangswertproblems ist schwierig. Aber eine interessante Illustration des Zusammenhangs zum Machschen Prinzip liefert eine Variante des Lense-Thirring-Effekts: eine rotierenden Massenschale erzeugt aus Sicht eines stationären Beobachters einen Coriolisterm in der Geodätengleichung eines Testteilchens im Inneren; so ähnlich wie wenn anstelle der Massenverteilung der Beobachter des Testteilchens rotieren würde. In diesem Sinne kann man also das auftreten einer Trägheitskraft mit der Relativbeschleunigung zur äußeren Massenverteilung in Beziehung setzen.

Näheres findet man wie immer im MTW, §21.12. (Auch wenn der Abschnitt wenig technische Details enthält, ist er faszinierend zu lesen.)

Zitat:

Diejenigen, die ich kenne, sind wohl nicht mit der ART vereinbar:


Warum nicht? Mit der Theorie selbst ist das schon konsistent, nur möglicherweise nicht mit jeder ihrer Lösungen. Ich bin nicht sicher, ob ein geschlossenen Universum tatsächlich notwendig ist. Auf die theoretische Möglichkeit eines vollkommen leeren Universum z.B. muß man ja nicht unbedingt viel Rücksicht nehmen. Der Minkowskiraum ist nur eine Näherung für hinreichend kleine und leere Bereiche der Raumzeit, die von einer Massenverteilung umgeben sind. Die Trägheitseigenschaften von Teilchen in diesem Bereich können, relativ unabhängig von dessen präziser Formulierung, auf jeden Fall im Einklang mit dem Machschen Prinzip sein.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 1295

Beitrag index_razor Verfasst am: 24. Jan 2020 11:27    Titel: Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:

Zitat:
Doch. Man könnte den Raum als Menge der für einen bestimmten Beobachter gleichzeitigen Ereignisse definieren. Wendet man die Einsteinsche Synchronisierungsvorschrift auf die gekrümmte Weltlinie eines beschleunigten Beobachters an, dann ergibt sich im allgemeinen auch eine gekrümmte Hyperfläche von gleichzeitigen Ereignissen. Vielleicht kann man das für konstant beschleunigte Beobachter im Minkowskiraum sogar explizit berechnen. (Ich würde erwarten, daß dann eine irgendwie hyperbolisch gekrümmte Hyperfläche herauskommt.)


Ist die Relation zwischen dem Inertialsystem und dem beschleunigten System dann immernoch eine reine Koordinatentransformation oder ist etwas, sagen wir mal: "mehr physikalisches" ? So wie ich das bisher verstanden hatte beeinflusst die Koordinatenwahl ja nicht die Geometrie


Es geht hier ja nur um die Geometrie einer 3dimensionalen Hyperfläche. Die muß zunächst mal geometrisch konstruiert werden. Die Konstruktion nach der Einsteinschen Uhrensynchronisation ist auf jeden Fall unabhängig von der Koordinatenwahl. Sie hängt allerdings natürlich von der Weltlinie des Beobachters ab. Gleichzeitig zu seinem Zeitpunkt t sind danach ja alle Ereignisse, die von Lichtstrahlen erreicht werden können, die bei t-a versendet und bei t+a wieder empfangen werden. Je nach der Dauer a, sendet bzw. empfängt der Beobachter die Strahlen aber in Phasen unterschiedlicher Relativgeschwindigkeiten. Deshalb muß diese Konstruktion nicht unbedingt eine flache Geometrie ergeben. Dies ist anders als z.B. für einen inertialen Beobachter, für den die Menge der gleichzeitigen Ereignisse einfach durch das orthogonale Komplement seiner (konstanten) Vierergeschwindigkeit gegeben ist, was folglich einen flachen Raum ergibt.


Zuletzt bearbeitet von index_razor am 25. Jan 2020 13:23, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12085

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Jan 2020 15:03    Titel: Antworten mit Zitat

@ index_razor: ich habe nun nicht die originalen Quellen studiert, aber die verkürzten Versionen im Sinne der Hypothese, dass Trägheit durch die Gesamtheit der im Universum vorhandenen Materie verursacht wird liest man häufig - uns sie ist, wie Einstein selbst erkannt hat, nicht mit der ART vereinbar, da bei nicht-geodätischer Bewegung auch im leeren Raum (Minkowski, Schwarzschild, Kerr, deSitter, ...) Trägheitskräfte auftreten.

Ansonsten gehe ich deinen Ansatz natürlich mit - es frag sich nur, wieviel das noch mit der ursprünglichen Intention von mach zu tun hat.

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index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 1295

Beitrag index_razor Verfasst am: 24. Jan 2020 16:07    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
@ index_razor: ich habe nun nicht die originalen Quellen studiert, aber die verkürzten Versionen im Sinne der Hypothese, dass Trägheit durch die Gesamtheit der im Universum vorhandenen Materie verursacht wird liest man häufig - uns sie ist, wie Einstein selbst erkannt hat, nicht mit der ART vereinbar, da bei nicht-geodätischer Bewegung auch im leeren Raum (Minkowski, Schwarzschild, Kerr, deSitter, ...) Trägheitskräfte auftreten.


Ich glaube der Punkt von Mach war eher die Frage aufzuwerfen, was Mutmaßungen über "Bewegung im leeren Raum" mit der naturwissenschaftlichen Beschreibung der Realität zu tun haben sollen.

Sicher macht die ART auch Aussagen über leere Raumzeiten. Aber diese Aussagen setzen nicht nur die Feldgleichungen selbst voraus, sondern eben auch sehr spezifische Anfangsbedingungen: z.B. einen verschwindenden Energie-Impulstensor auf einer flachen raumartigen Hyperfläche. Von diesem Standpunkt aus könnte man genauso gut sagen, daß das Machsche Prinzip nur mit diesen Anfangsbedingungen unvereinbar ist.

Eine Analogie: die Maxwellgleichungen erlauben Lösungen mit unendlicher Energie und machen sogar sehr spezifische Aussagen über sie. Von physikalischen Lösungen verlangen wir aber endliche Energie. Wir sagen deshalb aber nicht, daß das "Endliche-Energie-Prinzip" mit den Maxwellgleichungen nicht vereinbar ist, was auch gar nicht stimmt. Das Prinzip schließt nur bestimmte Lösungen aus, die die Feldgleichungen für sich genommen zulassen.

Zitat:

Ansonsten gehe ich deinen Ansatz natürlich mit - es frag sich nur, wieviel das noch mit der ursprünglichen Intention von mach zu tun hat.


Der Zusammenhang ist natürlich nur noch recht abstrakt. Im allgemeinen geht es um die Frage welcher Art der Einfluß der Massenverteilung im gesamten Universum auf die Trägheitseigeschaften von Testteilchen ist. Die Feldgleichungen sind quasi prädestiniert diese Frage zu beantworten. Vielleicht kann man das Machsche Prinzip so auffassen, daß es die erlaubten Möglichkeiten dieses Einflusses -- und damit die erlaubten Anfangsbedingungen -- einschränkt. (Das ist natürlich nur interessant, wenn man sich für kosmologische Lösungen interessiert.) Wenn ich das richtig verstanden habe, war das auch Einsteins eigene Ansicht. Zumindest habe ich mehrfach gelesen, daß Einstein auf Basis des Machschen Prinzips für ein geschlossenes Universum argumentiert hat. Das Argument dafür kenne ich aber nicht.

Generell wird man aber auf Basis der ART wenig diskutieren können, was mit der Zustimmung Machs einhergehen würde. Meines Wissens hat er bereits die Spezielle Relativitätstheorie nicht akzeptiert.
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