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Nachricht |
Quentin
Gast
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 Quentin Verfasst am: 31. Mai 2017 14:01 Titel: Welche Kraft hat ein Potential? |
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Meine Frage:
Hi,
gegeben habe ich eine Liste von Kräften, und ich soll angeben, ob es für diese Kräfte jeweils ein Potential gibt bzw. wie es lautet.
Deswegen wollte ich fragen: Was muss ich denn dafür genau überprüfen?
Meine Ideen:
Also wenn rot F = 0, dann kann es kein Potential geben. Aber man hat mir gesagt, selbst wenn rot F = 0, ist es noch nicht sicher, dass es ein Potential gibt. Wie findet man das dann heraus?
Stimmt es, dass das Potential das Integral über die Kraft ist?
Danke  |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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Quentin
Gast
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| Quentin Verfasst am: 31. Mai 2017 19:15 Titel: |
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Ganz verstanden habe ich es immer noch nicht.
Jede konservative Kraft hat ein Potential. Dieses ist dann von der Form 
Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn =0) und es auf einem "einfach zusammenhängenden Gebiet" definiert ist.
Nehmen wir z.B.  , mit  konstant.
Dann ist doch nicht erfüllt, weil (wenn man die Norm des Vektors als Wurzel ausschreibt und dann eben ableitet) die drei Komponenten bei der Rotation i.A. nicht verschwinden, oder?
Selbst wenn erfüllt wäre: Wie soll ich hier prüfen, ob das Kraftfeld auf einem "einfach zusammenhängenden Gebiet" definiert ist??
Bitte um Hilfe!![/latex] |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 31. Mai 2017 19:46 Titel: |
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Ja, bei deinem Beispiel ist  . Deshalb kann dieses Kraftfeld kein Potential haben.
Die Definition des Kraftfeldes könnte aber auf ganz  gelten. Und das wäre ein einfach zusammenhängendes Gebiet. |
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Quentin
Gast
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| Quentin Verfasst am: 31. Mai 2017 20:14 Titel: |
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ok, danke.
Wie ist es mit ) mit einer beliebigen Funktion  ?
Das hängt doch von f ab, oder? Und warum geht f von den R^3 nach R, wenn wir die Norm einsetzen (also ein Skalar)? |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 31. Mai 2017 20:41 Titel: |
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| Quentin hat Folgendes geschrieben: | | Das hängt doch von f ab, oder? |
Etwas erstaunlich, nein!
Die Rotation dieses Feldes ist Null unabhängig von f, Differenzierbar muss f natürlich sein.
| Zitat: | | Und warum geht f von den R^3 nach R, wenn wir die Norm einsetzen (also ein Skalar)? |
Die Frage verstehe ich nicht.  soll doch ein Vektorfeld sein. Und da  schon ein Vektor ist, kann der nur mit einem Skalar multipliziert werden. Das Vektorprodukt mit einem Vektor würde auch gehen, aber das muss man dann in der Notation kenntlich machen. |
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Quentin
Gast
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| Quentin Verfasst am: 31. Mai 2017 20:50 Titel: |
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So war's auch nicht gemeint: Ich meinte, warum das Urbild der R^3 ist, wenn wir doch mit der Norm ein Skalar in die Funktion einsetzen... |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 31. Mai 2017 21:01 Titel: |
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Da hatte ich dich nicht richtig verstanden.
) sollte eine Abbildung  sein. Da aber  schon eine Abbildung ist, ist f nur eine Abbildung  . |
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Quentin
Gast
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| Quentin Verfasst am: 31. Mai 2017 21:58 Titel: |
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Jetzt sehe ich auch, dass es verschwindet.
D.h. in diesem Fall gibt es ein Potential. Aber wie bestimmt man das jetzt? Nach der Def. ist doch  .
Aber ich sehe jetzt spontan nicht, wie das Potential dafür aussehen müsste. Und wie soll ich hier mit Integration weiterkommen?[/latex] |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 01. Jun 2017 00:13 Titel: |
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Gegeben ist
)
Betrachte doch einfach ein beliebiges Potential U(x), das nur vom Betrag x abhäng, um wende den Nabla-Operator an.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 01. Jun 2017 09:10 Titel: |
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| Quentin hat Folgendes geschrieben: | Jetzt sehe ich auch, dass es verschwindet.
D.h. in diesem Fall gibt es ein Potential. Aber wie bestimmt man das jetzt? Nach der Def. ist doch .
Aber ich sehe jetzt spontan nicht, wie das Potential dafür aussehen müsste. |
Der Vektorpfeil über U ist falsch. Das Potential ist eine skalare Funktion!.
Es sei ) mit  .
Um Verwechselungen mit der Kraft zu vermeiden, habe ich die Funktion f in g umbenannt. Es sei nun ) eine Stammfunktion von ) und ) eine Stammfunktion von , also =G(r)) und =g(r)) . Dann ist
=GG(r)-rG(r))
ein Potential des Kraftfeldes . |
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Quentin
Gast
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| Quentin Verfasst am: 01. Jun 2017 22:52 Titel: |
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Durch Nachrechnen mit dem Nabla-Operator kann ich es nachvollziehen. Aber wie bist du da drauf gekommen? |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 02. Jun 2017 09:15 Titel: |
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Man kann das ganz geradlinig herleiten. Es sei ) . Wenn das Kraftfeld ein Potential hat, muss für dieses gelten:
)
)
)
Aus den 3 Integralen lässt sich das Potential bestimmen. Wendet man das erste Integral auf dein Kraftfeld an, ergibt sich:
 dx = \int xg(r) \frac {dx}{dr}dr=\int xg(r) \frac {1}{\frac {dr}{dx}}dr=\int xg(r) \frac {1}{\frac {x}{r}}dr=\int rg(r)dr)
Das letzte Integral führt mit partieller Integration zu dem von mir genannten Potential. Bastelarbeit wegen der "variablen" Konstanten ist nicht erforderlich, da alle drei Integrale zu demselben Ergebnis führen. |
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