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ushiro
Anmeldungsdatum: 14.07.2008
Beiträge: 5
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 ushiro Verfasst am: 14. März 2012 17:04 Titel: Überlagerung & Verschränkung von Zuständen |
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Hallo!
Ich habe eine Frage bezüglich der genauen Bedeutungen von Begriffen wie "in-kohärente Überlagerung" und "Verschränkung" von Zuständen.
Einen reinen Zustand nenne ich einen Zustand, der eine Lösung der Schrödinger-Gleichung ist \rangle) .
Ein solcher Zustand kann in seine Basisvektoren zerlegt werden:
\rangle = \sum_n c_n |\psi_n (t) \rangle )
Beispielsweise ist dann
 \rangle = c_1|\psi_1\rangle + c_2 |\psi_2\rangle )
die kohärente Überlagerung der Zustände 1 und 2, wobei  die Wahrscheinlichkeit angibt das System im Zustand  zu finden.
Eine inkohärente Überlagerung bedeutet, dass ein Ensemble Systemen vorliegt, die statistisch verteilt in verschiedenen Zuständen vorliegen. Eine adäquate Beschreibung gelingt im Dichtematrix-Formalismus.
Erste Frage: Ist es soweit richtig, wie ich es verstanden habe?
Weiter: Setze ich ein System aus zwei Systemen zusammen, so ergibt sich die Gesamtwellenfunktion als direktes Produkt der beiden Einzelwellenfunktionen. Der Zustand ist wieder rein, falls er sich genau als so ein Produkt zweier Wellenfunktionen schreiben lässt, andernfalls verschränkt.
Beispielsweise ist der Zustand
<br />
)
ein verschränkter.
Zweite Frage: Wieso eigentlich? Wenn ich System A mit Basisvektoren { } und System B mit Basisvektoren { }, dann lässt sich jeder Vektor der Einzelsysteme A, B doch als Linearkombination der beiden einzelnen schreiben. Nehme ich das direkte Produkt von zwei solchen Vektoren, dann wäre es nach dem oben gesagten ein reiner Zustand (da als Produkt schreibbar). Entwickele ich beide, so ergibt sich
Mit
und
ergäbe sich doch genau der oben genannte, verschränkte Zustand, obwohl es vorher aussah wie ein reiner?
Diese Konfusion zeigt, dass ich etwas an den Definitionen noch nicht verstanden habe :-) Für Entwirrung wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18016
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| TomS Verfasst am: 14. März 2012 22:51 Titel: |
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Zur ersten Frage: ja, ich denke, das hast du soweit verstanden. Schreiben wir den Dichteoperator als
So bezeichnet p_n die klassische Wahrscheinlichkeit, das System in einem Quantenzustand n anzutreffen. Den Erwartungwert einer Observablen A findet man gemäß
 = \sum_n p_n\,\langle n|A|n\rangle = \sum_n p_n\,\langle A \rangle_n)
und damit sieht man klar die beiden Erwartungswerte, nämlich einmal den quantenmechanischen im Zustand n sowie den statistischen über den Dichteoperator.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18016
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| TomS Verfasst am: 14. März 2012 23:03 Titel: |
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Zur zweiten Frage: das Gegenteil von rein ist nicht verschränkt, sondern gemischt, nämlich im Sinne eines Dichteoperators.
Ein Zustand heißt rein, wenn der Dichteoperator ein Projektor ist, also wenn
Betrachtet man orthonormierte Zustände n (i.A. muss dies für die Konstruktion des Dichteoperators nicht gelten) dann gilt für den o.g. Dichteoperator
^2 = \sum_n p_n^2\,|n\rangle\langle n|)
Dies kann aber nur wieder gleich dem ursprünglichen Dichteoperator sein, wenn für alle n gilt
und dies ist für Wahrscheinlichkeiten in [0,1] nur möglich wenn genau ein p gleich 1 ist und damit alle anderen gleich 0. D.h. in dieser Basis ist dann
Und natürlich kann dieser eine Zustand auch ein verschränkter sein!
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semoi
Anmeldungsdatum: 20.12.2011
Beiträge: 82
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| semoi Verfasst am: 14. März 2012 23:47 Titel: |
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1) Was ist gefragt?
Ich denke ushiro spricht nicht über ein Gemisch sondern meint verschrängte Zustände (entangled states). Korrekt?
2) verschrängte Zustände
Man kann nicht jeden Zustand durch einen Produktzustand darstellen, denn nehmen wir
}_{i,j} |\psi>_A |\psi>_B)
so ist dieser Zustand nur dann separable, falls
}_{i,j}=c^{(A)}_i c^{(B)}_j)
gilt. Andernfalls ist der Zustand verschränkt, z.B.
 .
3) Verschiedene Arten der Verschränkung
Es gibt verschiedene Arten (?) der Verschränkung. Zwar kenne ich mich da nicht wirklich aus, aber die Stichwörter lauten z.B.: GHZ-state, W-state, cat-state.
Gruß,
Semoi |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18016
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| TomS Verfasst am: 15. März 2012 00:14 Titel: |
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"ergäbe sich doch genau der oben genannte, verschränkte Zustand, obwohl es vorher aussah wie ein reiner? "
daraus entnehme ich, dass rein als Gegenteil von verschränkt angenommen wird; das sehe ich anders, rein ist das Gegenteil von gemischt.
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ushiro
Anmeldungsdatum: 14.07.2008
Beiträge: 5
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| ushiro Verfasst am: 15. März 2012 15:09 Titel: |
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Erstmal vielen Dank für die Antworten! Ich bin froh, dass mein Verständnis von rein und gemischt nicht falsch war :-)
Für mein "Gegen"-Beispiel habe ich vorhin gemerkt, dass ich die Wahl der Koeffizienten so gar nicht treffen kann, wenn man sie als Produkt schreibt: Ist nämlich  , dann kann nicht gleichzeitig  sein... Daher ist klar, dass es ein nicht-seperabler Zustand ist und damit verschränkt. Es ist aber ein reiner Zustand bezogen auf das Gesamtsystem, da er eine Linearkombination von Vektoren aus der Produktbasis ist, richtig?
Behauptung: Ist ein Zustand verschränkt, dann können die Ausgangsysteme A und B nicht beide rein sein.
Denn: Wären beide Ausgangsysteme rein, sodass
und
(Zerlegung in Basisvektoren), dann ist der Produktzustand  ja seperabel, also unverschränkt!
Wie passt das zusammen, wenn ich den verschränkten Zustand als rein ansehen kann, aber mindestens eins der Subsysteme nicht oder sehe ich etwas komplett falsch? |
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semoi
Anmeldungsdatum: 20.12.2011
Beiträge: 82
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| semoi Verfasst am: 15. März 2012 17:23 Titel: |
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Servus,
wie gesagt, ich bin kein Experte auf diesem Gebiet. Also betrachte das folgende kritisch.
Deine Behauptung, "Ist ein Zustand verschränkt, dann können die Ausgangsysteme A und B nicht beide rein sein. ", kann ich leider nicht nachvollziehen. Meines Erachtens ist da ein Denkfehler, weshalb ich hier ein Bsp. schreibe:
Betrachten wir den Zustand
)
so stellen wir fest ...
Schritt 1)  ist ein verschränkter Zustand
Das hast Du bereits nachgerechnet. Methode: Wir schreiben als Produktzustand und bestimmen die Koeffizienten. So erhalten wir die Bedingungen:
}_0 \cdot c^{(B)}_0 = 0)
}_0 \cdot c^{(B)}_1 = 1)
}_1 \cdot c^{(B)}_0 = 1)
Wegen Bedingung 1 muss ENTWEDER
}_0 = 0)
ODER
}_0 = 0)
Beides ist jedoch nicht erlaubt wegen Bedingung 2 und Bedingung 3. Wir erhalten also einen Widerspruch und schließen, dass sich nicht als Produktzustand schreiben läßt => es ist ein verschränkter Zustand.
Schritt 2) ist ein reiner Zustand
Wie TomS bereits schrieb, müssen wir prüfen, ob der Dichteoperator die Relationen  und  erfüllt. Das ist aber einfach, denn wir haben
und somit
weil
Schritt 3) Im Allg. beschreiben die reduzierte Dichteoperatoren keine reinen Zustände
Unter reduziertem Dichteoperatoren verstehe ich
}=Tr\{\rho\}_B) und }=Tr\{\rho\}_A) , wobei das Gesamtsystem durch }) beschrieben wird.
... to be continued (maybe).
Falls es Dir jedoch bereits klar ist, dann schreibe mir das. Bitte schicke mir Deine E-Mailadresse als PN, dann schicke ich Dir meine eingescannte Rechnung.
Gruß,
Semoi
Zuletzt bearbeitet von semoi am 15. März 2012 20:17, insgesamt einmal bearbeitet |
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ushiro
Anmeldungsdatum: 14.07.2008
Beiträge: 5
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| ushiro Verfasst am: 15. März 2012 18:27 Titel: |
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Hallo Semoi,
danke für deine Antwort. Genau Schritte 1 und 2 sind klar. Schritt 3 ist glaube ich genau der Knackpunkt. Was bedeutet der reduzierte Dichteoperator und welche Rolle spielt er für den verschränkten Zustand?
Viele Grüße |
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D2
Anmeldungsdatum: 10.01.2012
Beiträge: 1723
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