 Verfasst am: 28. Okt 2007 11:11 Titel: |
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| Ok, habe mal das Linienintegral für den zweiten Weg berechnet. Habe folgendes gemacht: Insgesamt würde sich als 11 ergeben. richtig ? |
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| Verfasst am: 27. Okt 2007 17:40 Titel: |
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| ok, d.h. ich muss auch in dem zweiten beispiel genauso wie im ersten eine parametrisierung vornehmen. Gut, vllt ist es jetzt klarer... Danke nochmal |
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| Verfasst am: 27. Okt 2007 16:56 Titel: |
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| Da muss ich dich leider enttäuschen, da stimmt was nicht. x-Richtung: ======== Die Parametrisierung lautet x(t)=t, x'(t)=1 y(t)=1, y'(t)=0 (!!!) 1 <= t <= 2 Einsetzen in y-Richtung: ======== Läuft analog; das kriegst du sicher selbst hin. Was die Rotation (0; 0; 2) und die Wegabhängigkeit angeht, hast du natürlich recht. Der Vollständigkeit halber: Man kann die Wegabhängigkeit auch mit der "Integrabilitätsbedingung" prüfen: Das Integral gilt. Im Raum ( cst |
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| Verfasst am: 27. Okt 2007 10:14 Titel: |
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| juhu ^^ Das freut mich ! Dies war aber eigentlich nur ein Teil der Aufgabe. Es sollte eigentlich das Linienintegral über folgenden Weg berechnet werden: 1: von Punkt a (1,1) nach (2,1) und schließlich von (2,1) nach Punkt b (2,2). Dazu habe ich mir folgendes gedacht (schon bevor ich das hier gepostet habe): Ich teile das Wegintegral auf, sodass ich das Integral in x-richtung berechne und schließlich in y-richtung. Die Summe ergibt dann das gesamte Wegintegral. X-Richtung: y=const=1 Also wird das Integral zu: In y-Richtung: x=const=2 Also wird das Integral zu: Die Summe der Wegintegrale wäre dann Ich habe dann noch die Rotation des Feldes ausgerechnet (hab das ebenfalls zum ersten mal gemacht). Es ergab sich ein Vektor (0,0,2), was ja bedeuten würde, dass das Feld nicht konservativ ist.. Von daher würde es ja zumindest stimmen, dass bei den verschienen Wegen unterschiedliche Wegintegrale herauskommen. Vorrausgesetzt, dass ich das alles richtig gemacht habe...  |
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| Verfasst am: 27. Okt 2007 04:14 Titel: |
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 lg Christian |
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| Verfasst am: 26. Okt 2007 23:52 Titel: |
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so richtig ? |
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| Verfasst am: 26. Okt 2007 23:36 Titel: |
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| Super ! Ich glaube ich habe es "verstanden". Vielen dank für deine Hilfe! Gruß Holger |
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| Verfasst am: 26. Okt 2007 23:25 Titel: |
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| Ich wüßte jetzt nicht, wie das anders als über diese Aufteilung gehen sollte. Jedenfalls kann man beide Integrale immer zu einem zusammenfassen, da Grenzen und Integrationsvariable ja gleich sind. [ed:] Die Integrale einzeln geben eigentlich nichts weiter an, nur ihre Summe ist dann das gesuchte Wegintegral. Es sind jedenfalls keine Komponenten eines Vektors -- das kann ja auch gar nicht sein, da im Ausgangsintegral ein Skalarprodukt steht: also kommt zum Schluss auch ein Skalar heraus. cst |
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| Verfasst am: 26. Okt 2007 23:11 Titel: |
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| Ok, das konnte ich nachvollziehen. In deiner vorgehensweise teilst du das Weginteral in zwei teile auf. Ist das notwendig ? Oder kann ich das ganze auch in Vektorschreibweise mit einer Matrix hinschreiben ? Was geben mir deine einzelnen beiden integrale nun an ? Sind das die komponenten eines Vektors ? Wie komme ich dann auf das "Gesamte" Wegintegral ? |
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| Verfasst am: 26. Okt 2007 22:42 Titel: |
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| Wenn du "die x-e durch irgendwas mit t's ersetzt", musst du auch dx richtig ersetzen. Das ist die typische "Integration durch Substitution". Wenn du z.B. das Integral berechnen willst, spricht ja nichts dagegen, 2x+1 = z zu substituieren. Das ergibt lässt sich aber noch nicht ordentlich berechnen wegen dem dx. Durch ableiten kriegst du aus und daraus durch umstellen nach dx: Einsetzen ins Integral: [ed:] Und nochmall allgemein in Kurzform: cst |
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| Verfasst am: 26. Okt 2007 22:26 Titel: |
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Vielen Dank für dein Bemühen, ich glaube ich habe eine sollch ausführliche Darstellung gebraucht, und mir ist die methode schon um einiges klarer. Was ich jetzt noch nicht ganz verstehe, ist die sache, wie jetzt auf einmal die Ableitung x'(t) und y'(t) ins spiel kommen. Kannst du das vllt nochmal ausführlich zeigen ? |
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| Verfasst am: 26. Okt 2007 22:12 Titel: |
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| Na, du musst den Integrationsweg (die Kurve) ja irgendwie mathematisch beschreiben -- entweder explizit oder mit Parameter. Mit Parameter: ========= Schau dir mal die Gleichungen x=t y=t 1 <= t <= 2 an. Setzt man für t 1 ein, kommt für x und y jeweils 1 raus --> man erhält den Kurvenpunkt (1; 1). Setzt man t = 1,5 ein --> Kurvenpunkt (1,5; 1,5). t=2 ---> (2; 2) usw. Und durchläuft t alle Zahlen von 1 bis 2 kommen halt unendlich viele zusammenhängende Punkte raus -- eben eine Kurve. (Hier als Spezialfall eine Gerade). t heißt dann Parameter. Du setzt dann in deine Integrale die Parameterdarstellung x(t) und y(t) ein und darfst die Ableitung x'(t) bzw y'(t) nicht vergessen. x(t) = t, x'(t) = 1 y(t) = t, y'(t) = 1. Einsetzen in Ohne Parameter: =========== Manchmal, so wie hier, geht es auch ohne Parameter. Dann brauchst du die mathematische Darstellung des Intgrationsweges in der Form y=f(x). Das ist hier speziell y=x (Die Gerade durch (1;1) und (2; 2)). Dann ist d.h. für y musst du die Kurvendarstellung y=f(x) einsetzen und das Integral läuft von der x-Koordinate von A zur x-Koordinate von B. A und B sind die Punkte, durch die der Integrationsweg verläuft. Das andere Integral: d.h., du musst zusätzlich die Ableitung von y nach x einfügen. In unserem Beispiel: Klarer? cst |
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| Verfasst am: 26. Okt 2007 21:39 Titel: |
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| Hm, ich dachte das sei oben klar geworden, dass ich das eben genau nicht so richtig weiss. Vllt liegt es daran, dass ich das ganze nicht verstehe. Könntest du mir denn erklären, was eine Parametrisierung ist, und weshalb man die überhaupt vorzunehmen hat ? |
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| Verfasst am: 26. Okt 2007 21:26 Titel: |
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| Ja, x'(t) ist die Ableitung von x nach t. Und ja, das Integrale ist in zwei aufgteilt. Aber du weißt, was eine Parametrisierung ist? cst |
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| Verfasst am: 26. Okt 2007 20:56 Titel: |
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| Danke erstmal für deine Antwort, leider hat es mir nicht so viel gebracht.. Ab der Sache mit der Parametrisierung verstehe ich es nicht mehr. Ist mit dem x'(t) die Ableitung nach t gemeint ? Teilst du das Kurvenintegral in X und Y richtung auf ? |
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| Verfasst am: 26. Okt 2007 20:44 Titel: |
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| Ja, das ist falsch, denn Zuerst führst du das Skalarprodukt aus: Dann brauchst du eine Parameterdarstellung (x=x(t), y=y(t)) deines Integrationsweges. Für die Gerade durch (1;1) und (2;2) wäre das einfach x = t y = t 1 <= t <= 2. Dann gilt allgemein speziell wäre dein erstes Integral also [edit: war falsch:] lg cst |
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| Verfasst am: 26. Okt 2007 18:02 Titel: Frage zu Linienintegralen über ein Vektorfeld |
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| Hallo ! Ich habe einige Fragen zu Linienintegralen. Es handelt sich also um ein Integral der Form: Wobei Bei dem Kurvenintegral betrachte ich also das Vektorfeld an auf der Kurve und integriere über dessen Werte, richtig ? Naja, jetzt ergibt sich mein Problem, dass ich nicht so recht weiss, wie ich das ganze praktisch anwende. Angenommen wir haben ein Vektorfeld Und ich möchte das Linienintegral entlang einer Geraden von (1,1) nach (2,2) berechnen. Wie mache ich das ? Mein Integral sieht ja dann so aus: Ich habe aber noch nicht recht verstanden wie ich dieses Integral jetzt berechnen kann. Ich weiss, dass man eine Parametrisierung, für den Weg wählen muss, wobei ich es gut fände, wenn mir jemand erklären würde, weshalb ich eine solche parametrisierung zu wählen habe, und wie diese aussehen sollte.. Ist es falsch wenn ich Dann hätte ich ja mal das Skalarprodukt der beiden Vektoren (1,1) und v. |
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