 Verfasst am: 08. Feb 2026 18:55 Titel: |
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| Ok, nun zur Quantisierung.
Wir stellen fest, dass für eine ebene Materiewelle mit Impuls p nach deBroglie gilt Dabei verwende ich hier und im folgenden die Konvention Damit haben wir für die Wellenzahl k Dies kann man auch unmittelbar für drei Dimensionen sowie relativistisch verallgemeinern; für letzteres erhalten wir und Damit gilt diese Beziehung für masselose und massebehaftete "Teilchen". Erstere können wir aber mit der nicht-relativistischen QM nicht behandeln, letztere zunächst nur in der n.-rel. Näherung. Die Hypothese der Materiewellen von deBroglie stammt aus der Zeit vor der QM, wurde jedoch erst nach deren Entwicklung experimentell bestätigt. Schrödinger kannte die Hypothese und hat seine berühmte Gleichung in diese Richtung konstruiert; er betrachtete dazu nochmals eine andere Formulierung der klassischen Mechanik als oben diskutiert, aber das brauchen wir hier nicht. Man stellt fest, dass der Differentialoperator aus der o.g. Welle gerade den Impuls herauspräpariert: Schrödinger hat letztlich den Impulsoperator in die Hamilton-Funktion H eingesetzt und den Hamilton-Operator erhalten. Dabei handelt es sich um eine spezielle Darstellung, die sogenannte Ortsdartstellung. Ganz allgemein besagt die sogenannte kanonische Quantisierung, dass man die Übersetzungsvorschrift der Operatoren so vornehmen muss, dass gilt. Zurück in der Ortsdarstellung findet man für den Kommutator der Operatoren, den man sich immer auf Funktionen angewandt denken muss wobei die anderen Terme mittels der Produktregel verschwinden. Heisenberg hatte das bereits in ähnlicher Form mühsam mittels unendlicher Matrizen herausgefunden (wobei er nicht wusste, dass es sich um solche handelt, da er Matrizen gar nicht kannte). Schrödinger hat später die Äquivalenz beider Darstelllungen gezeigt. So, das war der Einstieg in die n.-rel. QM eines "Teilchens" in einem Potential V(x). Wenn das klar ist, gehen wir wieder zurück zur Lagrange-Funktion, erweitern diese auf unendlich viele Teilchen und leiten daraus eine klassische Feldtheorie ab. Danach hüpfen wir wieder in die Quantemechanik und quantisieren die Feldtheorie. |
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| Verfasst am: 08. Feb 2026 13:02 Titel: |
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| Super, gerne mehr! | |
| Verfasst am: 08. Feb 2026 12:05 Titel: |
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| Starten wir mal mit der Lagrangeschen und Hamiltonschen Formulierung der klassischen Mechanik für das freie Teilchens in einer Dimension, also für einen Freiheitsgrad.
Für die Lagrange-Funktion eines Teilchens im Potential V gilt Die allgemeinen Euler-Lagrange-Gleichungen lauten Das liefert und entspricht gerade der Newtonschen Bewegungsgleichung ma - F = 0 mit F = -V'. Der Übergang zur Hamiltonschen Mechanik folgt mittels des zu x kanonisch konjugierten Impulses Letzteres gilt für dieses spezielle L jedoch nicht allgemein; Gegenbeispiel: Teilchen im Magnetfeld. Damit definiert man die Hamilton-Funktion wobei man zuletzt die Geschwindigkeit durch den Impuls ausdrückt; die spezielle Form gilt wieder für unser Beispiel. Die beiden Hamiltonschen Bewegungsgleichungen erster Ordnung (statt einer Euler-Lagrange-Gleichung zweiter Ordnung) lauten wobei die ersten Gleichheitszeichen wieder allgemein gelten, die zweiten für unseren Spezialfall. Für eine allgemeine Größe A(x,p) folgen die Hamiltonschen Bewungsgleichungen durch Anwendung der Kettenregel und Einsetzen zu wobei letzteres die Poisson-Klammer bezeichent und als Abkürzung aufzufassen ist. Ein Beispiel für A, und nicht ganz trivial für den Einsteig, wäre der Drehimpuls in drei Dimensionen Den 2-dim. Raum, der durch x und p aufgespannt wird (bzw. für mehrere Teilchen d.h. mehrere Freiheitsgrade) entsprechen mit Indizes, nennt man Phasenraum. Man kann die Bewegung eines Teilchens in diesem Phasenraum darstellen. Damit kann man nun z.B. den harmonischen Oszillator durchrechnen, um explizit zu sehen, dass alle drei Formulierungen (Newton, Langrange, Hamilton) äquivalent sind. Das ist nun dxer Startpunkt zum Übergang zuu Quantenmechanik und zur Schrödingergleichung. Dies folgt nicht zwingend oder automatisch, es geht eine spezielle Konstruktion nämlich die sogenannte kanonische Quantisierung ein, die man motivieren und fordern jedoch nicht beweisen kann (es gibt Fälle, in denen diese Konstruktion nicht funktioniert, z.B. die Chern–Simons-Theorie). Soweit erst mal. |
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| Verfasst am: 08. Feb 2026 08:20 Titel: Freiheitsgrade in der Quantenmechanik |
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| Meine Frage: Auf Vorschlag von TomS starte ich hier ein neues Thema, in welchem erläutert/diskutiert werden soll, wie man von endlichen Freiheitsgraden in der Quantenmechanik auf unendliche Freiheitsgrade in der Quantenfeldtheorie gelangt. Meine Ideen: Ich bin gespannt! |
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