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TomS	Verfasst am: 26. Mai 2025 15:35    Titel: Hier drei Graphiken für die Wellenfunktion psi, sowie der x- bzw. p-Operator angewandt auf psi.
TomS	Verfasst am: 25. Mai 2025 15:04    Titel: Schauen wir uns nochmal meinen Ansatz an: TomS hat Folgendes geschrieben: Das hast du auch, nur sieht bei dir alles viel komplizierter aus. Ich integriere so, dass unmittelbar auftritt, weil ich weiß, dass x_0 der reelle Erwartungswert des Ortes ist. Wenn ich das mache, ist C automatisch unabhängig von x_0, weil ich später bei der Berechnung der Normierung über integriere, x_0 also eliminiert wird. Dadurch erhalte ich eine andere Integrationskonstante C, da natürlich ein Term auftritt. Aber das ist egal, den fasse ich mit C zusammen. C ist zunächst beliebig und wird später durch die Normierung bestimmt, warum soll ich das kompliziert zerlegen? Außerdem lasse ich die zwei Terme mit x_0 und p_0 getrennt, da p_0 der ebenfalls reelle Erwartungswert des Impulses ist, und ich keinen Sinn im Zusammenziehen von reellem x_0 und imaginärem ip_0 sehe. Wir haben also ein zunächst beliebiges, komplexes C, das später durch Normierung zu bestimmen ist. C ist beliebig, warum also so kompliziert hinschreiben? Nimm' einfach meinen Ansatz. Weiter: TomS hat Folgendes geschrieben: Zuletzt zur Normierung, die in g_0 bzw. C steckt: Es muss gelten Das bisher gesagte liefert für psi(x) bzw. f(x) den Exponenten g(x). Für das Betragsquadrat folgt der Exponent Zu berechnen ist also zunächst das Integral Anschließend löst man die Gleichung nach Re C auf; Im C ist beliebig und physikalisch irrelevant, kann also der Einfachheit halber Null gesetzt werden.
rakete007	Verfasst am: 25. Mai 2025 11:18    Titel: Okay, ich habe nun also die Wellenfunktion mittels quadratischer Ergänzung umgeschrieben zu . Hierbei ist , hierbei ist D die ursprüngliche Integrationskonstante. Nun verstehe ich nicht, wie ich das Normieren soll. Um das ganze komplex zu konjugieren müsste ich ja den Realteil des Exponenten bestimmen und würde dann wieder auf komplizierte Ausdrücke treffen. Wie soll ich also weiter vorgehen?
TomS	Verfasst am: 25. Mai 2025 06:51    Titel: Du machst es dir unnötig schwer. Blatt 1: Die einfachste Methode zur Trennung der Variablem habe ich vorgerechnet; bei mir alpha, bei dir lambda. Zuletzt solltest du eine quadratische Ergänzung vornehmen, bei mir ist das (x - a)^2. Das ändert nur die Normierung, die du aber ohnehin noch bestimmen musst; s.u. Blatt 2: Du solltest nicht alpha sondern 1/(i alpha) als a + ib schreiben; was du machst, ist nicht falsch, aber die Ausdrücke werden deutlich komplizierter. Die Einführung von u bringt nichts, insbs. fasst du reelle und imaginäre Terme zusammen, die du später wieder trennen musst; lasse die Terme getrennt. Zurück zur quadratischen Ergänzung: Die Lösung der DGL mittels des Integrals führt auf R,S und D sind bei dir ein komplizierte Ausdrücke in a,b,u usw. Wenn du nun das bestimmte Integral berechnest, um die Normierung zu finden, wird das, wie du siehst, sehr kompliziert. Schreibst du stattdessen so wird der Rest deutlich einfacher. Die noch unbekannte Normierung steckt in den Integrationstanten C bzw. D, und da kannst du RA^2 in D absorbieren. In der rechten Form ist das Integral unabhängig von A, was die Lösung erleichtert. Das, zusammen mit dem oben gesagten führt auf deutlich einfachere Ausdrücke.
rakete007	Verfasst am: 24. Mai 2025 09:44    Titel: Jetzt habe ich leider schon die Rechnung gemacht, bevor ich deine Antworten gesehen habe... naja, das ist dabei herausgekommen. [img] https://postimg.cc/ZW9ZFqZY [/img] [img] https://postimg.cc/75yRWYrn [/img] Das ist ja offensichtlich immer noch nicht besser. Vielleicht probiere ich es später noch einmal mit deinem Ansatz, aber so langsam kann ich die Aufgabe nicht mehr sehen
TomS	Verfasst am: 24. Mai 2025 07:37    Titel: Skizze des zweiten Weges mittels Trennung der Variablen: Dabei bezeichnet das g(x) dieselbe Funktion wie im zuvor genannten Ansatz. Die oben unbekannten Koeffizienten g_1, g_2 von g(x) treten nicht auf sondern werden direkt durch lambda festgelegt. Das entspricht dem o.g. Ansatz aus (1) für Im ersten Term folgt unmittelbar das zu erwartende ip_0x. Der zweite Term liefert die Gauß-Kurve, wieder mit -b für b > 0, andernfalls wäre die Wellenfunktion nicht normierbar. Die beiden Ansätze liefern also das selbe Ergebnis d.h. eine Funktionschar g(x) bzw. f(x), abhängig von noch freien Parametern. Zuletzt zur Normierung, die in g_0 bzw. C steckt: Es muss gelten Das bisher gesagte liefert für psi(x) bzw. f(x) den Exponenten g(x). Für das Betragsquadrat folgt der Exponent Man berechnet also das Integral und bestimmt den Realteil von C in Abhängigkeit von b. Ein Imaginärteil von C entspräche einfach einer beliebigen, konstanten Phase, die keine physikalische Relevanz hat. Ein möglicher Imaginärteil von lambda und damit ein nicht-verschwindendes beta ändert nichts an dieser Normierung. D.h. das Ergebnis ist eine Funktionenschar mit freien Parametern b > und beliebigem beta. Ich habe das gestern noch numerisch überprüft, ich stelle heute Abend ein paar Graphiken ein.
TomS	Verfasst am: 24. Mai 2025 06:43    Titel: Ich skizziere mal den Ansatz mit P(x) und g(x). ist ein Polynom vom Grad Eins, also muss g' ebenfalls vom Grad Eins, g demnach zweiten Grades sein: Einsetzen in die DGL liefert Das führt auf zwei Gleichungen Ich setze Aus der Gleichung (1) folgt Das setzt du jetzt in die zweite Gleichung ein und bestimmst die Koeffizienten getrennt für Real- und Imaginärteil. Aufgrund der Konstruktion weißt du, dass x_0 und p_0 reell sind. Die einfache Gauß-Form erhältst du für beta = 0, das würde ich mal als erstes anschauen.
TomS	Verfasst am: 23. Mai 2025 19:02    Titel: Ausnahmsweise mal mit Bild 😉 Du musst die Formel zeilenweise und ohne Umbruch einstellen. \\ geht, einfach "Enter" nicht, zumindest nicht in allen Browsern. Noch zwei etwas modifizierte Ansätze: 1. Statt dem Gauß-Paket folgende Überlegung: Die DGL umschreiben zu P(x) ist ein Polynom in x. Dann ist ein vernünftiger Ansatz, wobei g(x) ein unbekanntes Polynom ist. Differenzieren liefert Jetzt Einsetzen und Koeffizientenvergleich zwischen g' und P durchführen. 2. Ein etwas allgemeinerer Ansatz, der auch für nicht-polynomiale Funktionen P(x) funktionieren würde, wäre
rakete007	Verfasst am: 23. Mai 2025 18:50    Titel: Wie man zur DGL kommt weiß ich, das habe ich ja in meiner ursprünglichen frage schon gemacht. Wenn man die DGL löst, hat man ja noch alpha und den Vorfaktor- ich wüsste nicht, wie ich ohne Normierungsbedingung danach weiterkommen sollte. Außerdem habe ich gerade gesehen, dass ich ganz oben in meiner Rechnung vor dem p_0 das alpha vergessen habe... ich mache es nochmal neu. Kann ich dann auch einfach ein Bild von der Rechnung posten? Ich brauche ewig bis ich die ganzen Formeln abgetippt hätte und am Ende wird es nie richtig angezeigt...
TomS	Verfasst am: 23. Mai 2025 18:05    Titel: Die Formel glaube ich nicht. Die Normierung kommt eigtl. erst ganz zum Schluss. Wenn du meinst, keinen Gauß-Ansatz verwenden zu dürfen, dann funktioniert Trennung der Variablen, das hattest du ja oben schon begonnen. In dem Fall treten einige freie Parameter gar nicht erst auf. Wenn du den Gauß-Ansatz verwendest, dann musst du ihn in die DGL einsetzen. Dann erhältst du … = 0. Mittels dieser Gleichung werden die freien Parameter bis auf die Normierung bestimmt. Jetzt überleg' dir mal, welchen der beiden Wege du einschlagen möchtest. Ist dir der Weg zur DGL klar? Ich helfe gerne.
rakete007	Verfasst am: 23. Mai 2025 17:39    Titel: Hallo nochmal Das ein Gaußsches Wellenpaket herauskommen soll ist mir klar, allerdings denke ich nicht, dass wir quasi davon ausgehen dürfen und uns so die Wellenfunktion herleiten dürfen. Ich habe es nochmal neu gemacht und nun versucht, die Wellenfunktion zu normieren. Jetzt bin ich durch lösen des Gauss-Integrals auf folgende Formel gekommen: , wobei ich das alpha vom Anfang nun als geschrieben habe. Daraus erhält man, dass b positiv sein muss. Jetzt habe ich aber immer noch nur eine Gleichung für die drei Unbekannten C, a und b. Entschuldige, dass ich so auf dem Schlauch stehe, aber wie genau bestimme ich diese jetzt?
TomS	Verfasst am: 23. Mai 2025 12:26    Titel: Ich sehe gerade, dass meine Aussage "lambda muss imaginär sein" nicht so ohne weiteres klar ist. Tatsächlich kann man zunächst allgemein komplexes lambda annehmen. Komplexe Parameter sind mathematisch zunächst zulässig. Zwingend ist lediglich andernfalls wäre das Wellenpaket nicht normierbar. Ich denke, das ist die einzige mathematische Forderung, die man stellen muss. Darüberhinaus ist noch folgendes zu betrachten: in dieser Diskussion sind wir davon ausgegangen, dass x_0 und p_0 die Erwartungswerte der entsprechenden Operatoren sind. Es ist natürlich zu verifizieren, dass der o.g. Ansatz dies reproduziert, ansonsten wäre er inkonsistent. Für reelle a,b,k ist das offensichtlich klar, für komplexe nicht.
TomS	Verfasst am: 23. Mai 2025 11:36    Titel: Ich habe mir das nochmal angeschaut, meine bisherigen Ideen waren Käse - sorry. Ich rekapituliere nochmal. Die Schwarz'sche Ungleichung für zwei beliebige Hilbertraum-Vektoren, hier speziell besagt Daraus habt ihr die Unschärferelation abgeleitet. Gleichheit gilt genau dann, wenn beide Vektoren linear abhängig sind, also Dies entspricht der Eigenwertgleichung des Operators [...] zum Eigenwert Null, zuletzt ausgedrückt mittels Wellenfunktionen in der Ortsdarstellung. Die Vermutung ist, dass es sich um ein Gaußsches Wellenpaket handelt. Da eine DGL erster Ordnung vorliegt, wäre diese Lösung dann auch eindeutig. dabei enthält eine im Folgenden irrelevante Normierung und konstante Phase, und die Parameter wären zu bestimmen. Nun den einsetzen, einmal differenzieren, und die Terme nach zwei Kriterien betrachten: 1. konstante Terme und Terme linear in x müssen getrennt verschwinden 2. Real- und Imaginärteil müssen getrennt verschwinden. Aus dem in x linearen Term folgt ein Zusammenhang zwischen lambda und b; lambda muss imaginär sein; damit folgen Zusammenhänge zwischen k und p_0 sowie a und x_0.
rakete007	Verfasst am: 22. Mai 2025 14:55    Titel: Okay, das C kann ich dann durch Normierung bestimmen. Hier ist die Rechnung, wie das i zustandegekommen ist: Trotzdem verstehe ich nicht, was die quadratische Ergänzung bringen soll. Was hat das damit zu tun, dass in der Unschärferelation das Gleichheitszeichen gilt oder welche Bedingung ist damit erfüllt?
TomS	Verfasst am: 22. Mai 2025 14:43    Titel: C bzw. die Normierung musst du m.E. voraussetzen. Ohne das jetzt selbst berechnet zu haben: dein phi gefällt mir nicht. Zum einen solltest du die Klammer im Exponenten mittels quadratischer Ergänzung umschreiben können. Dann kannst du wohl eine auftretende Konstante mit den alpha zu einer zusammenfassen. Außerdem kannst du x_0 und p_0 zu einer Konstanten kombinieren. Aber zum zweiten kann dein alpha sicher nicht reell sein. Wie kommt das i vor dem alpha im Exponenten zustande?
rakete007	Verfasst am: 22. Mai 2025 14:16    Titel: Gleichheit der Unschärferelation Meine Frage: Hallo, ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe: Für ein minimales Wellenpaket gilt . Formulieren Sie die zwei Bedingungen für das Gleichheitszeichen. Bestimmen Sie hiermit eine Differentialgleichung für eine Wellenfunktion, die und als gegebene Parameter enthält. Bestimmen Sie deren Lösung. Meine Ideen: Nun bin ich leider nur auf eine Bedingung gekommen. In vorherigen Aufgabenteilung haben wir die Unschärferelation aus der Schwarzschen Ungleichung hergeleitet. Bei der Schwarzschen Ungleichung gilt Gleichheit, wenn die beiden Funktionen linear abhängig sind. Dies habe ich dann benutzt. Mit den Definitionen und erhält man für ein aus den komplexen Zahlen durch einsetzen der Definitionen: . Nach Trennung der Variablen, Integration und Auflösen nach der Wellenfunktioon erhält man Jetzt habe ich also noch zwei unbestimmte Konstanten, einmal die Integrationskonstante C und das alpha. Dafür bräuchte man wahrscheinlich die zweite Bedingung, aber die fällt mir leider nicht ein. Ich habe schon versucht durch die Bedingung das die Wellenfunktion quadratintegrabel sein muss etwas zu bestimmen, das klappt aber leider nicht. Es wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Vielen Dank!

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