 Verfasst am: 11. März 2025 16:06 Titel: Adiabatischer Index und Druck |
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| Meine Frage:
Ich habe eine Frage zum adiabatischen Index oder eher Gamma Thermal. Es geht in erster Linie um den Druck und die Energiedichte. Für den Druck P verwende ich das folgende Integral: \begin{align} P = \frac{\gamma}{2\pi^2} \cdot \frac{1}{3} \int_{{\text{0}}}^{{\text{inf}}} dk \cdot \frac{k^4}{E(k)} \cdot \frac{1}{1 + e^{(E(k) - \mu) / T}} \end{align} und für die Energiedichte Epsilon: \begin{align} \epsilon = \frac{\gamma}{2\pi^2} \int_{{\text{0}}}^{{\text{inf}}} dk \, \frac{k^2 E(k)}{1 + e^{(E(k) - \mu) / T}} \end{align} \begin{align} E(k)= \sqrt{k^2+m^2} \end{align} Mein Gamma Thermal $\Gamma$ : \begin{align} \Gamma = \frac{P}{\epsilon} + 1 \end{align} wobei mein E(k): \begin{align} E(k)= \sqrt{k^2+m^2} \end{align} und mein Gamma thermal: \begin{align} \Gamma = \frac{P}{\epsilon} + 1 \end{align} Da ich Fermionen betrachte gilt, $ \ gamma = 2 $. Wenn ich richtig verstehe, sollte der adiabatische Index $ \ gamma $ im nicht relativistischen Fall bei 5/3 beginnen und dann im relativistischen Fall auf 4/3 fallen. In meinem Fall startet $ \ gamma $ jedoch bei etwa 1,02 und konvergiert in Richtung 4/3. Meine Ideen: Als Beispiel habe ich Elektronen mit einer Masse M = 0,511 MeV, einem chemischen Potential $ \ mu $ = 0,0001 MeV und einer Temperatur T = 0,01 MeV in Betracht gezogen. Dies ist offensichtlich nicht relativistisch, weil T << m In diesem Fall erhalte ich jedoch ca. ein Verhältnis P/$\epsilon$ = 0,02. Ich habe das Integral in Wolfram Alpha eingegeben, und es gibt mir ein Verhältnis von 0,02. Was übersuche ich oder mache ich falsch? |
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