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Qubit	Verfasst am: 11. Feb 2025 23:07    Titel: Re: Isomorphismus in den Dualraum, Indizierung Corbi hat Folgendes geschrieben: Qubit hat Folgendes geschrieben: Nein, der Isomorphismus bildet i.a. nicht Basisvektoren auf die Basisvektoren des Dualraums ab. Vektorraumisomorphismen bilden immer Basen auf Basen ab. In dem Sinne, dass die Bilder der Basisvektoren eine Basis bilden. Hier geht es aber um eine vorgegebene Basis im Dualraum. Oder übersehe ich was?
Corbi	Verfasst am: 11. Feb 2025 23:03    Titel: Re: Isomorphismus in den Dualraum, Indizierung Qubit hat Folgendes geschrieben: Nein, der Isomorphismus bildet i.a. nicht Basisvektoren auf die Basisvektoren des Dualraums ab. Vektorraumisomorphismen bilden immer Basen auf Basen ab. Denn lineare Unabhängigkeit ist erhalten unter einem Isomorphismus und da ein isomorphismus surjektiv ist, lässt sich auch jeder Vektor in der Bildmenge als Linearkombination des Bilds der ursprünglichen Basis schreiben.
Qubit	Verfasst am: 11. Feb 2025 22:41    Titel: Re: Isomorphismus in den Dualraum, Indizierung MatzeM hat Folgendes geschrieben: Wenn man z. B. mal annimmt, der Isomorphismus bildet auf ab, dann bedeutet Gleichung (1.53) ja auch Nein, der Isomorphismus bildet i.a. nicht Basisvektoren auf die Basisvektoren des Dualraums ab. Die Dualvektoren der Basisvektoren lassen sich aber in den Basisvektoren des Dualraums darstellen. Der Isomorphismus ist vielmehr mit Vektoren aus aus dem Vektorraum. <.> verstanden als Skalarprodukt (lineares Funktional), das dann durch das innere Produktt (.) im Vektorraum identifiziert wird. Mit als Dualvektor zum Vektor des Dualraums im Sinne dieses Isomorphismus stimmt dann so wieder die Notation.
MatzeM	Verfasst am: 07. Feb 2025 23:16    Titel: Isomorphismus in den Dualraum, Indizierung Meine Frage: Hallo zusammen, angehängt ist ein kleiner Ausschnitt aus Dirschmid: Tensoren und Felder, in dem es um die Definition des Metriktensors geht. Eigentlich ist das alles klar, bis auf die Schlussfolgerung (1.53). Wenn man z. B. mal annimmt, der Isomorphismus bildet auf ab, dann bedeutet Gleichung (1.53) ja auch Dann passen aber die Indizes nicht zusammen, oder überseh ich da etwas? Meine Ideen:

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