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TomS	Verfasst am: 20. Nov 2024 22:25    Titel: Re: Was bedeutet die Nichtexistenz von Grundzuständen? Corbi hat Folgendes geschrieben: Ich frage das, weil viele Autoren in der mathematischen Quantenmechanik großen Wert darauf legen, die Existenz eines Grundzustands für ein bestimmtes Modell zu beweisen. Aber ich verstehe nicht, warum das so wichtig ist. Welche Theoreme verwenden denn dieses Ergebnis? Ich meine, es gibt ja ein paar triviale Beispiele, also Potentiale, in denen kein Grundzustand als normierbarer Eigenzustand existiert: das freie Teilchen, ein leicht anziehendes Potential ohne gebundenen Zustand, eine Potentialstufe …
Corbi	Verfasst am: 20. Nov 2024 16:36    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Klingt interessant. Hast du ein physikalisches Beispiel? Seien A und B selbstadjungierte Operatoren auf den Hilberträumen H und G, dann gilt stets sowie wendet man das aufs Spin-Boson-Modell an, dann sieht man, dass das Spektrum des Freien Boson-Hamiltonians + Interaktionsterm ein kontinuierliches nach unten beschränktes Spektrum ist. Das Spektrum des Spin-Teilchens ist dagegen {+1,-1} und diese sind Eigenwerte. Der Eigenwert +1 ist dann ins kontinuierliche Spektrum eingebettet. Beim Eigenwert -1 hängt es dann davon ab ob man masselose oder massebehaftete Bosonen betrachtet, ob der Eigenwert am Rand des kontinuierlichen Spektrums ist oder ob eine Energielücke entsteht. Zitat: Also zum Beispiel das Spektrum für das freie Teilchen über der reellen Zahlengerade und dem Hilbertraum L2. genau.
TomS	Verfasst am: 20. Nov 2024 15:56    Titel: Corbi hat Folgendes geschrieben: Eigenwerte können auch ins kontinuierliche Spektrum eingebettet sein und das passiert auch in physikalisch relevanten Modellen. Klingt interessant. Hast du ein physikalisches Beispiel? Corbi hat Folgendes geschrieben: mit "niedrigste Energie jedoch kein Grundzustand" meine ich dass das Spektrum nach unten beschränkt ist aber das Minimum des Spektrums kein Eigenwert ist, also kein zur niedrigsten Energie gehörender Eigenzustand existiert. Diese niedrigster Energie habe ich mit E_g bezeichnet. Also zum Beispiel das Spektrum für das freie Teilchen über der reellen Zahlengerade und dem Hilbertraum L2.
Corbi	Verfasst am: 20. Nov 2024 15:42    Titel: Eigenwerte können auch ins kontinuierliche Spektrum eingebettet sein und das passiert auch in physikalisch relevanten Modellen. mit "niedrigste Energie jedoch kein Grundzustand" meine ich dass das Spektrum nach unten beschränkt ist aber das minimum des Spektrums kein Eigenwert ist, also kein zur niedrigsten Energie gehörender Eigenzustand existiert. Diese niedrigster Energie habe ich mit E_g bezeichnet. Ohne Grundzustand währe es möglich, das System im Wert E_g zu messen, jedoch kurz darauf bei ein anderen Energie vorzufinden. Ist E_g dagegen ein Eigenwert dann verbleibt das System stets bei dieser Energie.
TomS	Verfasst am: 20. Nov 2024 15:32    Titel: Corbi hat Folgendes geschrieben: TomS hat Folgendes geschrieben: Der physikalische Unterschied für mich ist lediglich, dass im erstgenannten Fall eine Energielücke vorliegt. Das muss ja nichtmal sein. Der Eigenwert kann auch ohne Lücke am unteren Ende des kontinuierlichen Spektrums liegen. Liegt der Wert im kontinuierlichen Spektrum, ist es kein Eigenwert. Oder? Corbi hat Folgendes geschrieben: Existiert dagegen kein Grundzustand so bleibt das System selbst bei niedrigster Energie nicht stabil. Was meinst du mit "niedrigste Energie jedoch kein Grundzustand"? Wenn kein Grundzustand existiert, d.h. wenn das Spektrum nach unten unbeschränkt ist, dann gibt es keine niedrigste Energie. Ja, das ist der wesentliche Grund, warum man auf Hamilton-Operatoren besteht, deren Spektrum nach unten beschränkt ist. EDIT: Was ich mir gemerkt habe – kann falsch sein – ist folgendes: Das Spektrum eines selbstadjungierten Operators ist reell. Es zerfällt in Punkt- und kontinuierliches Spektrum; das Restspektrum ist leer. In der Quantenmechanik fordert man, dass das Spektrum von Hamiltonoperatoren nach unten beschränkt ist.
Corbi	Verfasst am: 20. Nov 2024 15:13    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Der physikalische Unterschied für mich ist lediglich, dass im erstgenannten Fall eine Energielücke vorliegt. Das muss ja nichtmal sein. Der Eigenwert kann auch ohne Lücke am unteren Ende des kontinuierlichen Spektrums liegen. Ich dachte jetzt eher an soetwas wie: Wenn ein Grundzustand ist und dies der Anfangswert der Zeitentwicklung ist, dann ist das System zum Zeitpunkt t im Zustand . Ist das System also einmal im Grundzustand, so verharrt es dort. Existiert dagegen kein Grundzustand so bleibt das System selbst bei niedrigster Energie nicht zwangsläufig stabil.
TomS	Verfasst am: 20. Nov 2024 14:59    Titel: Der mathematische Unterschied ist ja klar. Entweder handelt es sich bei E=0 um einen Eigenwert im Punktspektrum, oder um einen Wert im kontinuierlichen Spektrum. Der physikalische Unterschied für mich ist lediglich, dass im erstgenannten Fall eine Energielücke vorliegt. Sorry, mehr sehe ich da nicht. Mathematische Physik ist aber auch nicht mein Fachgebiet. Für mich war der von dir genannte Beweis der Existenz eines Grundzustandes immer gleichbedeutend mit dem Beweis, dass das Spektrum nach unten beschränkt ist – egal, ob wir dann von Punkt- oder kontinuierlichem Spektrum reden.
Corbi	Verfasst am: 20. Nov 2024 12:44    Titel: Was bedeutet die Nichtexistenz von Grundzuständen? Was bedeutet es physikalisch, wenn ein quantenmechanisches System keinen Grundzustand hat? Ich spreche also von einem Hamiltonoperator H sodass das Spektrum σ(H) nach unten beschränkt ist. Was ist der physikalische Unterschied, wenn H einen Eigenzustand am unteren Ende des Spektrums hat, im Vergleich dazu, dass es keinen solchen Eigenzustand gibt? Ich frage das, weil viele Autoren in der mathematischen Quantenmechanik großen Wert darauf legen, die Existenz eines Grundzustands für ein bestimmtes Modell zu beweisen. Aber ich verstehe nicht, warum das so wichtig ist.

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