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Myon · Verfasst am: 20. Sep 2024 12:26 Titel:

Die statische Auslenkung erhält man aus dem Kräfte- und Momentengleichgewicht, also aus den Gleichungen

woraus die Federkraft im statischen Fall folgt

(Minuszeichen, da nach oben gerichtet). Die statische Auslenkung ist dann einfach

In der gestrigen Bewegungsgleichung war die statische Auslenkung bereits berücksichtigt, d.h. bei der statischen Auslenkung (Ruhelage) gilt x=0. Dann kann man die Frequenz direkt ablesen.

Vielleicht war die Frage nach der Bewegungsgleichung auch einfacher gemeint. Wenn der Punkt x=0 beliebig sein kann, ist die Bewegungsgleichung

Am einfachsten erhält man dies aus der Lagrange-Funktion

oder sonst aus den Gleichungen für die Translations- und Rotatiosbeschleunigung, indem man die Haftreibungskraft eliminiert.

Geht man in der vorletzten Gleichung über zur Koordinate

erhält man die Bewegungslgleichung im gestrigen Beitrag.

Die Frequenz zu bestimmen ohne die Bewegungsgleichung ist m.E. hier schwierig, da die "effektive Federkonstante" und die "effektive Masse" nicht ohne weiteres erkennbar sind.

Mathefix · Verfasst am: 20. Sep 2024 12:05 Titel:

Momentanpol = Berührungspunkt der Scheibe
S: Steiner

Lagrange

DGL

Gast12374 · Verfasst am: 20. Sep 2024 03:18 Titel:

Danke.

In der Aufgabe soll ich noch die statische Auslenkung der Feder berechnen und die Winkelgeschwindigkeit, Schwingungsdauer und Frequenz bestimmen.

Meine Frage wäre ob ich dafür jetzt die Bewegungsgleichung zwingend benötige oder ob
ich das auch ohne berechnen könnte.

Myon · Verfasst am: 19. Sep 2024 15:50 Titel:

Ich hab's mal durchgerechnet, und es ist etwas mühsamer als gedacht.

Wie gesagt, es kann z.B. die Auslenkug x der Scheibenachse aus der Ruhelage oder der Winkel phi der Drehung um den momentanen Drehpunkt in der Ruhelage (Berührungspunkt der Scheibe mit der Ebene) als Koordinate gewählt werden.

Mit x als Koordinate: Für die Federkraft im Ruhezustand erhält man

Damit wird die Federkraft, wenn bei x=0 Kräftegleichgewicht herrscht,

Die Haftreibungskraft ergbit sich aus der Gleichung für den Drehimpuls.

Zum Überprüfen: Als Bewegungsgleichung ergibt sich (Fehler vorbehalten)

woraus für die Frequenz folgt

Im letzten Schritt wurde das Trägheitsmoment einer Scheibe mit homogener Gewichtsverteilung eingesetzt. Die Bewegungsgleichung ist unabhängig vom Neigungswinkel der schiefen Ebene (was eigentlich auch klar ist, bei einem einfachen Federschwinger wäre es auch so).

Eine analoge Bewegungsgleichung ergibt sich für den Auslenkungswinkel:

Gast12374 · Verfasst am: 19. Sep 2024 15:19 Titel:

wäre das so richtig?

Myon · Verfasst am: 19. Sep 2024 08:42 Titel:

Für die Bewegungsgleichung werden die Kräfte benötigt, die in Abhängigkeit von einer Auslenkung x aus der Ruhelage auf die Scheibe wirken. Ich würde hier als Auslenkung den Abstand der Scheibenachse zur Ruhelage wählen, also der Lage, wo Kräftegleichgewicht herrscht.

Relevant sind nur die Kräfte in Bewegungsrichtung, also parallel zur Ebene. Dies sind (1) die entsprechende Komponente der Gewichtskraft, (2) die Federkraft und (3) die Haftreibungskraft.

(1) sollte klar sein.
(2) Die Federkraft in Abhängigkeit von x ausdrücken.
(3) Die Haftreibungskraft ergibt sich aus der Gleichung für eine Drehimpulsänderung

oder

(man muss hier etwas aufpassen mit den Vorzeichen; in der letzten Gleichung ist x>0 bei einer Auslenkung hangaufwärts, omega>0 bei einer Bewegung nach oben und FH>0, wenn die Haftreibungskraft hangaufwärts wirkt. Dies kann man natürlich anders wählen). Bitte die Gleichung prüfen!

Mit den drei Kräften lässt sich die Bewegungsgleichung

aufstellen, wobei auf der rechten Seite nur die Kräfte in Abhängigkeit von x, nicht aber der Beschleunging auftreten sollten (FH hängt von der Beschleunigung ab).

PS: Eine andere und wahrscheinlich einfachere Möglichkeit ist, den Winkel um die momentane Drehachse in der Gleichgewichtslage (Berührungspunkt der Scheibe mit der Ebene) als Koordinate zu wählen und dafür die Bewegungsgleichung aufzustellen. Dann sind nur die Drehmomente infolge der Gewichtskraft und infolge der Federkraft relevant. Natürlich muss dies auf die gleiche Schwingungsfrequenz führen.

Gast12374

Meine Frage:
Gegeben ist eine schiefe Ebene, auf der sich eine Scheibe der Masse m rollend bewegen kann. Diese Scheibe ist durch ein masseloses starres Seil mit einem Federsystem verbunden, dessen Masse vernachlässigt wird. Die Scheibe wird angestoßen und beginnt zu schwingen.

Gegeben:
g = 9,81 m/s², d = b/3 = 30 mm, c1 = 1 kN/m ,alpha = 10°, m = 25 kg, ks = 50 mm (federweg)

a)Leiten Sie die Bewegungsgleichung her.

Meine Ideen:
Ich weiß nicht wie ich das machen soll.