 Verfasst am: 14. Aug 2024 02:54 Titel: |
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| Verfasst am: 14. Aug 2024 01:49 Titel: Elektrischer Schwingkreis |
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| Meine Frage: Ein Kondensator der Kapazität 119862 = 10 µF sei mit einer Ladung 119876_0 aufgeladen, so dass an seinen Kontakten eine Spannung 119880_0 = 119876_0/119862 herrscht. Schließt man nun den Kondensator über einen Widerstand 119877 = 10 ? kurz, so fließt nach dem Ohm?schen Gesetzt ein Strom 119894(119905) = 119906_119877(119905)/119877 = ? 120597Q(119905)/120597t , der den Kondensator entlädt und damit die den Strom verursachende Spannung 119906_C(119905) = 119876(119905)/119862 verringert. Bestimmen Sie aus 119906_119862 ? 119906_119877 = 0 die Differenzialgleichung für 119876(119905). Berechnen Sie durch Trennung der Variablen die Lösung, daraus auch die Lösung für 119906_119862(119905) und 119894(119905) und daraus die Zeit bis Ladung, Strom und Spannung auf 10% des Anfangswertes abgeklungen sind. Meine Ideen: Um die Differentialgleichung für \( Q(t) \) zu bestimmen, beginnen wir mit der gegebenen Gleichung \( u_C - u_R = 0 \). Da \( u_C(t) = \frac{Q(t)}{C} \) und \( u_R(t) = i(t) \cdot R \), können wir schreiben: \[ \frac{Q(t)}{C} - i(t) \cdot R = 0 \] Da \( i(t) = -\frac{dQ(t)}{dt} \), erhalten wir: \[ \frac{Q(t)}{C} + R \frac{dQ(t)}{dt} = 0 \] Dies ist die Differentialgleichung für \( Q(t) \). Um diese zu lösen, trennen wir die Variablen: \[ \frac{dQ(t)}{Q(t)} = -\frac{dt}{RC} \] Integrieren wir beide Seiten: \[ \int \frac{dQ(t)}{Q(t)} = -\int \frac{dt}{RC} \] Dies ergibt: \[ \ln|Q(t)| = -\frac{t}{RC} + \ln|Q_0| \] Durch Exponenzieren erhalten wir: \[ Q(t) = Q_0 e^{-\frac{t}{RC}} \] Da \( u_C(t) = \frac{Q(t)}{C} \), ergibt sich: \[ u_C(t) = \frac{Q_0}{C} e^{-\frac{t}{RC}} = U_0 e^{-\frac{t}{RC}} \] Und für den Strom \( i(t) \): \[ i(t) = -\frac{dQ(t)}{dt} = \frac{Q_0}{RC} e^{-\frac{t}{RC}} = \frac{U_0}{R} e^{-\frac{t}{RC}} \] Um die Zeit zu berechnen, bis Ladung, Strom und Spannung auf 10% des Anfangswertes abgeklungen sind, setzen wir \( Q(t) = 0.1 Q_0 \): \[ 0.1 Q_0 = Q_0 e^{-\frac{t}{RC}} \] Dies vereinfacht sich zu: \[ 0.1 = e^{-\frac{t}{RC}} \] Durch Logarithmieren erhalten wir: \[ \ln(0.1) = -\frac{t}{RC} \] \[ t = -RC \ln(0.1) \] Da \( \ln(0.1) = -\ln(10) \), ergibt sich: \[ t = RC \ln(10) \] Mit \( R = 10 \, \Omega \) und \( C = 10 \, \mu F \): \[ t = 10 \, \Omega \cdot 10 \times 10^{-6} \, F \cdot \ln(10) \] \[ t \approx 0.23 \, s \] Also dauert es etwa 0,23 Sekunden, bis Ladung, Strom und Spannung auf 10% des Anfangswertes abgeklungen sind. |
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