 Verfasst am: 23. Apr 2024 11:09 Titel: B-Feld aus Messung der Lorentz-Kraft in D Dimensionen |
|
| Ich bin über ein anderes Problem auf diese Fragestellung gestoßen.
Aufgabe: Zu bestimmen sind alle Komponenten eines homogenen magnetischen Feldes B in D Dimensionen, mittels möglichst wenigen Messungen der Lorentzkraft. Die Lorentzkraft F in D Dimensionen ist gegeben durch wobei i,k=1 ... D. B entspricht dem räumlichen Anteil des antisymmetrischen elektromagnetischen Feldstärketensors *). Für die Messungen geht man wie folgt vor: (1) Für die erste Messung präpariert man Damit folgt (2) ... (n) Für die zweite, dritte, ... n-te Messung präpariert man und erhält Damit können in D Dimensionen mittels D-1 Messungen alle Komponenten des magnetischen Feldes bestimmt werden. Beobachtung: Wählt man für die Präparation der Messungen zwei oder mehr nicht-verschwindende Geschwindigkeitskomponenten, so wird die Situation unübersichtlicher. Man kann für D=4 durch Ausprobieren zeigen, dass für zwei Präparationen mit jeweils zwei nicht-verschwindenden Geschwindigkeiten entweder offensichtlich zu wenig Gleichungen resultieren, oder speziell für nicht-verschwindende Geschwindigkeiten (1,2) und (3,4) das Gleichungssystem wiederum nicht maximalen Rang hat; ich kann das aber nicht allgemein zeigen. Daraus resultiert die Frage: Wie beweist (oder widerlegt) man die allgemeine Vermutung, dass für bei keiner Wahl der Geschwindigkeiten das Gleichungssystem für die Komponenten des B-Feldes maximalen Rang hat? **) M.a.W. wie zeigt (oder widerlegt) man, dass immer D-1 Messungen zur Bestimmung des B-Feldes notwendig sind? ______ *) B ist antisymmetrisch, d.h. Das führt in D Dimension auf unabhängige Komponenten von B. Man kann B schreiben als Dabei läuft der Doppelindex A = (mn) über alle Paare m ungleich n; ik bezeichnet die Indizes der Matrizen t; b bezeichnet die N unabhängigen Komponenten von B. Für A=(mn) gilt Die Matrizen t entsprechen den Generatoren der Rotationsgruppe SO(D) in D Dimensionen. **) mittels (*) kann man das Gleichungssystem umformulieren zu |
|
