 Verfasst am: 27. Dez 2023 14:37 Titel: |
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| Mich würde interessieren: kann man die Behauptung irgendwie so zeigen, wie im letzten Beitrag begonnen:
-für i=j ist die Relation klar wegen -für i ungleich j gilt (vgl. letzter Beitrag) Nun müsste man aber noch zeigen, dass daraus auch folgt. Geht das irgendwie? Was ich im letzten Beitrag dazu geschrieben habe, ist ja falsch. |
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| Verfasst am: 24. Dez 2023 09:18 Titel: |
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| Nachdem ich länger erfolglos versucht habe, die Behauptung zu zeigen (kenne mich aber nicht aus, nur mit etwas Herumprobieren), bezweifle ich auch etwas, dass dies mit nur diesen Voraussetzungen möglich ist.
Aber nun ist mir gerade Folgendes aufgefallen: für i ungleich j wäre Daraus würde folgen, dass Da alle sigma_i regulär sind, müsste auch der Antikommutator regulär sein. Die letzte Gleichung könnte also nur erfüllt sein wenn Der Fall i=j ist anderseits klar. Bestimmt ist aber irgendwo ein Fehler, ich sehe ihn aber momentan nicht. |
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| Verfasst am: 24. Dez 2023 08:38 Titel: Re: Antikommutaor der Paulimatrizen |
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Bist du dir sicher, dass dies die einzigen Voraussetzungen sind? Ich sehe keinen Weg, das ohne weitere Zutat zu zeigen. Es gibt andere Darstellungen der SU(2), in der die von dir zu zeigende Beziehung für den Antikommutator nicht gilt, insbs. die 3-dim. Darstellung für Spin=1, d.h. für die SO(3): https://en.wikipedia.org/wiki/3D_rotation_group Ganz allgemein ist wobei ich verwende, dass jede 2*2 Matrix als derartige Linearkombination mit noch unbekannten Koeffizienten x geschrieben werden kann. Anders formuliert, die Pauli-Matrizen bilden eine Basis über allen spurfreien Matrizen. Dann ist aber Da der Kommutator antisymmetrisch in i,k ist, legt er auch nur den antisymmetrischen Teil fest. D.h. es gilt Damit folgt zunächst wobei der symmetrische Teil nicht festgelegt ist und i.a. nicht verschwindet. In deinem Fall ist außerdem bekannt, dass d.h. (Achtung: keine Summe über i) Ich denke, das man den x°-Term hinbekommt, jedoch nicht den d-Term. Dieser verschwindet explizit nicht für höhere Darstellungen, d.h. Spin > 1/2, bzw. n*n-Matrizen mit n > 2. Damit ist m.E. klar, dass du n=2 ausnutzen musst, was natürlich Spin = 1/2 festlegt. Evtl. reicht das für einen Beweis; ich sehe es jedoch nicht. |
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| Verfasst am: 23. Dez 2023 17:13 Titel: Antikommutaor der Paulimatrizen |
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| Meine Frage: Bei meiner Aufgabe soll ohne die explizite Matrixdarstellung der Paulimatrizen, die folgende Relation bewiesen werden: Dabei ist bekannt: Meine Ideen: Ich habe zunächst zwei Fälle unterschieden: 1. 2. Für die 2. Eigenschaft habe ich bisher noch keinen Ansatz, allerdings vermute ich das man irgendwie zeigen kann, dass MFG |
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