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Nachricht |
| index_razor |
 Verfasst am: 15. Jan 2023 09:04 Titel: Re: Partielle Ableitung vs. Totale Ableitung |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Das "totale Differential" von  ist wiederum nichts anderes als die gewöhnliche Ableitung von H, in diesem Fall auch "Gradient"  genannt. (Man kann noch zwischen Vektor (Gradient) und Kovektor (Differential) unterscheiden, aber da wir vom  reden, bringt das nicht viel.) |
Im einfachsten Falle kann man auch vom totalen Differential einer Funktion f(x,y,z,..) sprechen, wenn gilt:
 = \alpha_x \, dx + \alpha_y \, dy + \alpha_z \, dz + ...)
mit
}{\partial x} \,, \alpha_y = \frac{\partial f(x,y,z,..)}{\partial y} \,, \alpha_z = \frac{\partial f(x,y,z,..)}{\partial z} \,, ..) |
Ja, das ist genau der Fall, von dem wir gerade sprachen. Das Differential von f an der Stelle x ist ein Kovektor, d.h. eine lineare Abbildung  : \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}) mit der Eigenschaft
 = f(x) + \dd f(x)(\vec{v}) + O(\|\vec{v}\|^2)\qquad\text{(A)})
Der Gradient definiert genau dieselbe lineare Abbildung mittels Skalarprodukt  im 
(\vec{v}) = \vec{\nabla} f(x)\cdot\vec{v}.)
Die Eigenschaft (A) bedeutet, daß ) die Funktion f an der Stelle x linear approximiert, was genau die definierende Eigenschaft der Ableitung ist, d.h.
 = \text{Ableitung von f an der Stelle x},)
und im Fall der Existenz dieser Ableitung gilt auch
(\vec{e}_i) = \frac{\partial f(x)}{\partial x_i},)
was auf deine Formel für führt. |
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| Qubit |
| Verfasst am: 14. Jan 2023 22:47 Titel: Re: Partielle Ableitung vs. Totale Ableitung |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Das "totale Differential" von ist wiederum nichts anderes als die gewöhnliche Ableitung von H, in diesem Fall auch "Gradient" genannt. (Man kann noch zwischen Vektor (Gradient) und Kovektor (Differential) unterscheiden, aber da wir vom reden, bringt das nicht viel.) |
Im einfachsten Falle kann man auch vom totalen Differential einer Funktion f(x,y,z,..) sprechen, wenn gilt:
mit
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| index_razor |
| Verfasst am: 14. Jan 2023 14:09 Titel: Re: Partielle Ableitung vs. Totale Ableitung |
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| Ich hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | Die Transformation von G auf kartesische Koordinaten, , g(x,y,z), h(x,y,z))) hat aber nicht diese Form, d.h. es ist keine Funktion  , sondern eine Funktion mehrerer Variablen : \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}) . |
Das ist doch dann genau ein Fall für das totale Differential. |
Ja, aber ich denke das ist nicht worum es in der Frage geht. Dort geht es vermutlich um die Anwendung der Kettenregel auf die partielle Ableitung der Funktion ) nach x.
Das "totale Differential" von ist wiederum nichts anderes als die gewöhnliche Ableitung von H, in diesem Fall auch "Gradient" genannt. (Man kann noch zwischen Vektor (Gradient) und Kovektor (Differential) unterscheiden, aber da wir vom reden, bringt das nicht viel.) Tatsächlich sind alle diese "totalen" Ableitungen nur gewöhnliche Ableitungen einer Verkettung von Funktionen mittels Kettenregel ausgeschrieben. Das ist also eher ein Sprechweise, als ein fundamentales Konzept. (Das fundamentale Konzept ist die gewöhnliche Ableitung.)
Die partielle Ableitung ist hingegen eine spezielle Form der Richtungsableitung
 = \lim_{t\to 0}\frac{1}{t}(F(x+\vec{n}t) - F(x)),)
und der Unterschied zwischen gewöhnlicher Ableitung und Richtungsableitung ist der einzige, auf den es m.E. hier ankommt. (Es könnte z.B. die Größe  im Ausgangsbeitrag definiert sein, ohne daß die Ableitung existiert.) |
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| Ich |
| Verfasst am: 14. Jan 2023 11:31 Titel: Re: Partielle Ableitung vs. Totale Ableitung |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Die Transformation von G auf kartesische Koordinaten, hat aber nicht diese Form, d.h. es ist keine Funktion , sondern eine Funktion mehrerer Variablen . |
Das ist doch dann genau ein Fall für das totale Differential. |
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| index_razor |
| Verfasst am: 14. Jan 2023 09:52 Titel: Re: Partielle Ableitung vs. Totale Ableitung |
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| Telefonmann hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | G hängt vermutlich über  und  auch noch von y und z ab. |
Genau: Um diesen allgemeinen Fall zu berücksichtigen, wird die partielle Ableitung auf die totale Ableitung von G angewendet. |
Ich verstehe zwar nicht, was das bedeuten soll. Aber ich denke, es gibt hier keine totale Ableitung von G. Unter der "totalen" Ableitung versteht man, denke ich, normalerweise die gewöhnliche Ableitung einer Verkettung
 = F(f(t), t)\qquad [F: \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n]) ,
d.h.
, t_0) \stackrel{\text{def}}{=} \lim_{t\to 0}\frac{1}{t}(H(t_0+t) - H(t_0))=H'(t_0).)
Die Transformation von G auf kartesische Koordinaten, hat aber nicht diese Form, d.h. es ist keine Funktion , sondern eine Funktion mehrerer Variablen . |
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| Telefonmann |
| Verfasst am: 13. Jan 2023 14:27 Titel: Re: Partielle Ableitung vs. Totale Ableitung |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | G hängt vermutlich über und auch noch von y und z ab. |
Genau: Um diesen allgemeinen Fall zu berücksichtigen, wird die partielle Ableitung auf die totale Ableitung von G angewendet. |
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| index_razor |
| Verfasst am: 13. Jan 2023 14:18 Titel: Re: Partielle Ableitung vs. Totale Ableitung |
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| Ich hat Folgendes geschrieben: | | Tob23 hat Folgendes geschrieben: |
Aber wenn man beispielsweise eine andere Funktion G in Abhängigkeit von Kugelkoordinaten hat gilt ja:
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G hängt vermutlich über und auch noch von y und z ab. Deshalb wird man üblicherweise für die Ableitung der Verkettung nach x auch das Symbol  verwenden. Welches Symbol man für die Ableitung verwendet, ist hier aber vermutlich nicht das eigentliche Problem, sondern, daß das "G" auf der rechten Seite eine andere Funktion bezeichnet, als das "G" auf der linken Seite. Mit der partiellen Ableitung nach r ist die Ableitung der Funktion
)
bei fixen  gemeint. (Für die partiellen Ableitung nach  gilt sinngemäß dasselbe.) Die partielle Ableitung nach x bezieht sich hingegen auf die Funktion
 = G(f(x,y,z), g(x,y,z), h(x,y,z)))
mit  = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}) etc. Und korrekt lautet die Formel
was nichts anderes als ein Spezialfall der Kettenregel ist. Nun gibt es natürlich keinen Grund anzunehmen, daß H (im Gegensatz zu G) nicht "explizit" von x abhängt. |
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| Telefonmann |
| Verfasst am: 13. Jan 2023 13:32 Titel: Re: Partielle Ableitung vs. Totale Ableitung |
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| Tob23 hat Folgendes geschrieben: | Aber nach der Logik von oben müsste diese partielle Ableitung doch einfach Null sein, da G nicht explizit von x abhängt sondern nur über die Verkettungen bzw. hat man hier doch quasi dann die totale Ableitung nach x vorliegen?
Wo ist mein Denkfehler? |
Die fragliche Formel ist das Transformationsgesetz der partiellen Ableitungen.
Nimm ein Beispiel für G wo alle partiellen Ableitungen existieren und berechne sämtliche Ableitungen. Dann kannst die fragliche Formel überprüfen. |
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| Ich |
| Verfasst am: 13. Jan 2023 13:26 Titel: Re: Partielle Ableitung vs. Totale Ableitung |
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| Tob23 hat Folgendes geschrieben: |
Aber wenn man beispielsweise eine andere Funktion G in Abhängigkeit von Kugelkoordinaten hat gilt ja:
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EDIT: Überschneidung mit Dr. Stupid |
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| DrStupid |
| Verfasst am: 13. Jan 2023 13:04 Titel: Re: Partielle Ableitung vs. Totale Ableitung |
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| Tob23 hat Folgendes geschrieben: | Aber wenn man beispielsweise eine andere Funktion G in Abhängigkeit von Kugelkoordinaten hat gilt ja:
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Sicher? Das sieht mir eher nach der Ableitung
mit
aus. |
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| Tob23 |
| Verfasst am: 13. Jan 2023 09:31 Titel: Partielle Ableitung vs. Totale Ableitung |
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Meine Frage:
Hallo,
ich habe gerade ein Logikproblem mit partiellen bzw. totalen Ableitungen:
Sei ,p(t),t) )
Dann gilt ja:
Somit ist  wenn F nicht explizit von t abhängt.
Aber wenn man beispielsweise eine andere Funktion G in Abhängigkeit von Kugelkoordinaten hat gilt ja:
Aber nach der Logik von oben müsste diese partielle Ableitung doch einfach Null sein, da G nicht explizit von x abhängt sondern nur über die Verkettungen bzw. hat man hier doch quasi dann die totale Ableitung nach x vorliegen?
Wo ist mein Denkfehler?
Danke für die Hilfe im voraus!
Viele Grüße
Meine Ideen:
Ich hatte mir überlegt, dass man erstmal allgemein F(a,b,c) hat, dann die totale Ableitung bildet und dann erst q,p,t einsetzt, dann steht ja dasselbe da, jedoch ist die Schreibweise  dann immernoch etwas problematisch... |
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