 Verfasst am: 05. Sep 2022 09:42 Titel: |
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| Ich nenne mal eine konkrete
Vermutung: Gegeben sei die Wärmeleitungsgleichung in n Dimensionen mit einem Term f(x,t) als Wärmequelle, der genau für nicht verschwindet, und für den die Bedingung erfüllt ist. Zu zeigen ist, dass durch die Strategie des möglichst späten Heizens maximiert wird. Prinzipiell interessiert mich der allgemeine Fall inhomogener und anisotroper Medien, d.h. für positives a und eine positiv definite, symmetrische Matrix A, wobei beide Funktionen von Ort und Zeit sein können. |
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| Verfasst am: 04. Sep 2022 08:51 Titel: Verallgemeinerung von Newtonscher zur Wärmeleitung |
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| Für das Newtonsche Abkühlungsgesetzes mit
(T: Temperatur, h: Wärmeübergangskoeffizient, A: Oberfläche, C: Wärmekapazität, P: Heizleistung) kann man die Frage nach einer optimalen Heizstrategie stellen: ausgehend von einer bekannten Anfangstemperatur soll mit minimalem Energieaufwand zu einem bestimmten Zielzeitpunkt eine bestimmte Zieltemperatur erreicht werden. Äquivalent kann man bei vorgegebenem Energieaufwand nach der maximal erreichbaren Zieltemperatur fragen. Dazu betrachtet man die mittlere Leistung sowie die Schwankung um die mittlere Leistung Einsetzen in die Lösung der Differentialgleichung liefert für gegebene Gesamtenergie den zu optimierenden Term Aufgrund der Gewichtung im Integral wird dieses durch möglichst spätes Heizen optimiert, d.h. bei einer maximal möglichen Heizleistung durch Das selbe Ergebnis gilt auch für die Verallgemeinerung eines zeitabhängiges Wärmeübergangskoeffizienten und die Ersetzung aller Exponentialfunktionen in der o.g. Lösung. Frage: Lässt sich diese Fragestellungen auch für die Wärmeleitungsgleichung für homogene bzw. inhomogene Medien verallgemeinern, z.B. für eine mittlere Temperatur in einem bestimmten Volumen, und ist ein ähnliches Ergebnis wie möglichst spätes Heizen bekannt? Umgekehrt, für welche Phänomene gilt dieses Ergebnis nicht? Kennt jemand dazu Literatur? |
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