Physikerboard.de :: Thema-Überblick - Differentialgleichung Wärmeübergang Luft zu Sensor

Emiliowitsch

Meine Frage:
Wähle auf Basis eigener Recherche einen industriell verfügbaren Temperatursensor aus. Modelliere den Wärmeübergang auf den Sensor aus der Umgebungsluft mithilfe einer Differentialgleichung 1. Ordnung und stelle das zeitliche Verhalten des Sensorsystems auf Basis der Sprungantwort und Impulsantwort eines PT1-Systems für jeweils ein selbst gewähltes Szenario dar. Hinweise zur Thermodynamik: Der Widerstand kann als perfekter Zylinder angenommen werden. Von Interesse ist die Temperatur in seinem Kern. Der Wärmestrom q(t) ist nach dem Fourier'schen Gesetz definiert als:

Hierbei bezeichnen Tu(t) die Umgebungstemperatur, Tr(t) die Kerntemperatur des Widerstands, A seine Außenfläche, r seinen Radius und lambda die materialabhängige Wärmeleitfähigkeit.Die Temperatur des Widerstands sowie der Wärmestrom hängen wie folgt zusammen:

(a und b stehen hier nur weil ich nicht wusste wie ich sie im Formeleditor leer lassen kann) Cp,r ist die spezifische Wärmekapazität und hängt vom Material des Widerstands ab.Die beiden Gleichungen können zu einer DGL 1. Ordnung für theta_r(t) kombiniert werden.Gewählt Pt100: A=28,717mm^2,r=0,625mm, h=11,7mm lambda=71W/mK, Cp,r=130 J/kgK

Meine Ideen:
Ich weiß nicht so ganz wie ich anfangen soll... Mein erster Lösungsansatz war über das Newtonsche Abkühlungsgesetz

erstmal überhaupt eine zeitabhängige Funktion für die Kerntemperatur zu finden. Aber irgendwie scheint mir das alles nicht zu passen, außerdem weiß ich nicht wie ich von da weiter machen soll... Als zweites wollte ich die zweite Gleichung nach q(t) umstellen um das für q(t), in der ersten Gleichung, einsetzen zu können. Das hat geklappt und ich hab folgende DGL rausbekommen:

. Hier stehe ich auch vor dem Problem das ich nicht weiß wie ich hier weiterkommen soll... Ich bin für jede Hilfe unglaublich dankbar! Stehe total auf dem Schlauch und will wissen was hier Sache ist. Ich hoffe die Gleichungen sind gut lesbar :/