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Gast0815	Verfasst am: 05. Dez 2022 09:16    Titel: Die Auswirkung ist, daß das Universum beständig abkühlt.
seppp	Verfasst am: 11. Nov 2022 11:51    Titel: Re: Energieerhaltung widerlegt? [quote="Superjochen"][b]Meine Frage:[/b] Hallo ihr lieben Physiker, ich habe eben auf YouTube ein Video gesehen, in dem behauptet wird, dass der Energieerhaltungssatz erwiesenermaßen falsch sei und die Energie zu einem Teil ins Nichts verpufft.Das Video selbst kann ich leider nicht als Gast posten, heißt aber: "Warum Energie doch zerstörbar ist". [b]Meine Ideen:[/b] Ich selbst habe eigentlich gedacht, dass man den Energieerhaltungssatz gar nicht auf das Universum anwenden kann, da Energie so in der ART nicht voll definiert ist. Stimmt das so noch, mit der Konsequenz, dass das Video Blödsinn ist oder ist mein letzter Stand zu dem Thema lang überholt? Danke für eure Mithilfe![/quote] Das Video ist Blödsinn! Nein, Scherz, ich hab's mangels Link gar nicht gesehen. Meinst du jetzt (oder das Video), dass ein Beweis (oder Hinweis) gefunden wurde, dass der Energieerhaltungssatz z.B hier auf Erden nicht oder nicht genau gelten würde? Welche konkreten Auswirkungen sollte das haben, bei der Betrachtung deines Teeheferls gefüllt mit heißem Tee? Wieviel Promille... Prozente verschwinden im Universum? Oder im Parallelteeheferluniversum?
index_razor	Verfasst am: 16. Apr 2022 11:11    Titel: P.S. Ich hat Folgendes geschrieben: Da hast du aber schnell geantwortet. Ich hatte das "natürlich nicht" ziemlich bald nach "nicht zwingend" editiert, weil mir deine Gleichung suspekt vorkam - sie ist zumindest in flacher Raumzeit falsch, dort muss die Energie für beliebig bewegte Beobachter erhalten sein. Sie ist dort nicht falsch. Für beliebig beschleunigte Beobachter gilt natürlich keine Energieerhaltung selbst in der flachen Raumzeit. (Selbst in Newtonscher Mechanik gilt keine Energieerhaltung für beschleunigte Beobachter.) Nochmal, hinreichend und notwendig für Energieerhaltung ist . Das hängt natürlich von den Eigenschaften des Feldes ab. Eine hinreichende Bedingung ist, daß ein Killingfeld ist (siehe Wald S.69 unten). Vielleicht hier nochmal eine detaillierte Rechnung. Ich verwende immer die Bezeichnung . Egal ob flach oder gekrümmt, der Energiestromdichtevektor relativ zu ist also Die Ableitung verschwindet, weil orthgonal zu steht und sich P in dieser Richtung nicht ändert (laut vorausgesetzter Homogenität). Nun gilt sowohl in der flachen, wie auch in der Robertson-Walker-Raumzeit die Bewegungsgleichung Für das Robertson-Walker-Universum ist dies die Friedmann-Gleichung, für die flache Raumzeit ist dies Gl. (4.2.12) bei Wald. Also bleibt mit der Expansionsrate des Beobachterfeldes.
index_razor	Verfasst am: 16. Apr 2022 08:29    Titel: Ich hat Folgendes geschrieben: index_razor hat Folgendes geschrieben: Nein. Lokale Energieerhaltung bedeutet, daß ein lokaler Erhaltungssatz gilt, also in jedem Ereignis. [...] Das alles steht genau so auch bei Wald. Und das ist exakt was "lokal erhalten" immer bedeutet, nicht nur für Energie, sondern auch für Impuls, elektrische Ladung etc.. Ja nein. Bei Wald steht auch: Wald, S.70 hat Folgendes geschrieben: Thus the argument fails that equation (4.3.6) implies strict energy conservation. Physically, this makes sense because the gravitational tidal forces can do work on the fluid and may increase or decrease its locally measured energy. However, if one considers a spacetime region of dimension small compared with radii of curvature, then, physically, the tidal forces can do little work and the energy of the fluid should be approximately conserved. But over this small spacetime region it is possible to find vector fields with , and thus equation (4.3.6) does yield approximate conservation of energy as measured by these observers. Thus, equation (4.3.6) may be interpreted as a local conservation of material energy over small regions of spacetime. On account of this interpretation, we expect equation (4.3.6) to hold for all matter and fields, not just for perfect fluids. Ich habe ja zugegeben, dass ich mich nicht immer optimal ausgedrückt hatte. Aber wenn du meine Beiträge nachliest, wirst du im Nachhinein feststellen, dass ich immer von genau dieser "local conservation of material energy over small regions of spacetime" gesprochen habe, inklusive der möglichen Vernachlässigbarkeit von Raumkrümmung und den nötigen ("möglichst") parallen Beobachtern. Ich weiß. Und ich habe das immer als irrelevant bezeichnet und als Begründung u.a. genau auf diesen Abschnitt verwiesen, den du jetzt selbst zitiert hast. Die ersten beiden Sätze in diesem Abschnitt drücken exakt aus, was ich die ganze Zeit behaupte. Gl. (4.3.6.) ist . Und diese impliziert tatsächlich eben noch keine lokale Energieerhaltung. Wie ich bereits schrieb, ist notwendig und hinreichend lediglich , was im Robertson-Walker-Universum nicht erfüllt ist. Wald nennt lediglich eine hinreichende Bedingung , und weist darauf hin, daß sie ebenfalls nicht erfüllt ist. (Habe ich weiter oben auch schon öfter getan.) Er sagt also eigentlich genau das, was ich auch sage. Nochmal zu Erinnerung wie diese Diskussion angefangen hat. Ich habe behauptet im Robertson-Walker-Universum gilt keine lokale Energieerhaltung. Meine Begründung dafür ist, daß die Divergenz des Energiestroms nicht verschwindet. Du hast diese Aussage als "zu stark" kritisiert. Und nun begründest du das offenbar damit, daß ich nicht deine Näherung verwende, die die nichtverschwindenden Terme vernachlässigt. Das ist absurd. Mir geht es ja gerade um die Einbeziehung der Krümmungseffekte des Gravitationsfeldes, insbesondere wenn die "gravitational tidal forces can do work on the fluid and may increase or decrease its locally measured energy." Zitat: Es ist also nicht so, dass bei lokaler Energieerhaltung nur deine Version gemeint sein kann, die meine findet man genauso bei Wald. Das sehe ich anders. Aber wenn du willst kannst du gern von "lokaler Erhaltung" sprechen, wenn die Quellendichte nur in bestimmten Ereignissen verschwindet. Das ist aber kein inhaltliches Argument gegen irgendeine meiner Behauptungen. Allerdings will ich auch nochmal auf den Kontext von Walds Aussage verweisen. Dort impliziert lokale Erhaltung einer 4er-Stromdichte die Erhaltung der zugehörigen Ladung. (Das wird vorher und im Anhang ausführlich mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes erläutert.) Das ist im Widerspruch zu deiner Auffassung. Unter einem Erhaltungssatz versteht man ja, daß sich eine Größe zeitlich nicht ändert, also . Bei lokalen Erhaltungsätzen der Form ist dieses Q das räumliche Integral über die Dichte relativ zum betrachteten Beobachterfeld, also Damit dieses Integral zu allen Zeiten gleich ist (bis auf höchstens den Anteil, der in der Zwischenzeit aus V(t) hinausgeströmt ist), reicht es nicht aus, daß die Divergenz von J an einem Ort verschwindet. Es muß normalerweise das Randintegral der Stromdichte über beliebige Vierervolumina verschwinden oder -- was äquivalent ist -- die Viererdivergenz muß überall null sein. Ich denke, daß das auch bei Wald genauso steht. Zitat: Und wenn ich noch einen Schritt weiter gehen darf: Ich kann nach wie vor deine ersten beiden Beiträge in diesem Thread nicht nachvollziehen. Da war Nils' Aussage, dass Energierhaltung für kleine Raumbereiche gut erfüllt ist, aber im Ganzen nicht definiert. Das ist ja genau das, was ich auch sage. Du widersprichst und sagst, dass man sehr wohl sagen könne, dass Energie verschwindet, anhand der Formel , aus der das ja sicher nicht folgt. Doch das folgt daraus. (Das Argument war an der Stelle noch nicht vollständig, ich habe erst später die Lücken gefüllt. Vielleicht ist das jetzt auch das Problem.) Wenn es keine räumliche Stromdichte gibt, dann darf sich die Dichte einer lokal erhaltenen Größe nicht mit der Zeit ändern. Das ist exakt was lokale Erhaltung bedeutet. Ich verweise nochmal auf meinen Beitrag weiter oben. Darin steht die Bilanzgleichung also müßte , falls wie im Falle mitbewegter Beobachter. Ich gebe aber zu, daß dieses Argument im expandierenden Universum nicht ganz korrekt ist, weil es normale Ableitungen und nicht die kovariante Ableitung verwendet. Man erhält so nicht die korrekte Quellendichte, die nur von , nicht von abhängt. (Es war aber auch eher als Heuristik gedacht.) Noch klarer -- und vor allem korrekter und "kovarianter" -- wird das aber, wenn man die Viererdivergenz des Energiestroms für diesen Fall berechnet. Die ist überall gleich, nämlich Sie verschwindet also nicht mal an irgendeinem Ort. Damit geht (relativ zu diesen Beobachtern) eindeutig Energie verloren und zwar überall. Für andere Beobachter mag zwar sein. Aber bis jetzt haben wir kein Beobachterfeld definiert, für das ein nichtverschwindender räumlicher Energiestrom verschwindende Quellendichte (überall oder nur in einem endlichen Gebiet) zur Folge hätte. Zitat: Und im zweiten Beitrag sagst du index_razor hat Folgendes geschrieben: Wenn sie irgendwohin ginge (z.B. in das Gravitationsfeld), dann würde man dieses "Irgendwo" einfach als weitere Energieform definieren und hätte wieder einen Erhaltungssatz für die Energie. Und das ist ja genau das, was passiert: Wie ja auch Wald schreibt, ist das Limit der lokalen Betrachtung, dass Gezeiten Arbeit verrichten können, die nicht korrekt bilanziert wird, weil die ART einfach keine gravitative Energie kennt. Genau deshalb taucht die Energie ja auch nicht woanders wieder auf. Die Strahlung verliert Energie und keine andere Größe erhält im Gegenzug dieselbe Menge an Energie. Das Gravitationsfeld nicht, weil es gar keine lokale Energiedichte besitzen kann. Also ist die Energiebilanz negativ. Zitat: Das ist auch die einzige Energie, die verschwindet, und die kann man lokal beliebig gut z.B. mit Einführung eines gravitativen Potentials auffangen. Ja, das ist die einzige Energie, die verschwindet. Aber sie verschwindet. Man kann sie nicht lokal "beliebig gut auffangen". Man kann nur die Terme, die ihr Verschwinden anzeigen, ignorieren, wenn man lediglich alles in erster Ordnung rechnet. Das ist zwar genau das was du tust. Aber es zeigt natürlich nicht, daß ein lokaler Erhaltungssatz gilt. Mein Argument benutzt absichtlich nicht deine Näherung. Es wird aber auch nicht durch eine Näherung widerlegt. Zitat: Auch global gibt es da Möglichkeiten, aber das sind natürlich Pseudotensoren, und von daher ist diese Energie nicht eindeutig definiert. Also meiner Meinung nach hast du da nicht richtig argumentiert. Ich habe extra nur von der Energie von Materie und Strahlung gesprochen, eben genau weil es keine tensoriellen Dichten für Energie und Impuls des Gravitationsfeldes gibt. Die ganze Bilanzgleichung inklusive des Integrals über die Dichte ergibt nur Sinn, wenn es sich um eine echte vektorielle Stromdichte handelt. (Ursprünglich war es ja sogar ein Kritikpunkt von dir, daß meine Behauptung "koordinatenabhängig" ist. Das ist zwar nicht der Fall, aber wenn du nun selbst Pseudotensoren als Argument einführen willst, dann gebe ich dir diesen Einwand gern zurück.) Zitat: Aber jetzt zur Frage: Ich verstehe nicht. Wir reden doch nicht davon, dass es da keinen Energiestrom gibt, sondern fragen, ob seine Divergenz Null ist. Und die kann man (siehe auch Wald) aufspalten in entlang des Beobachters und senkrecht dazu, und senkrecht dazu ist das, was in der Bilanzgleichung vorkommt. Vollkommen kompatibel mit deiner Formulierung derselben. Ich verstehe die Frage nicht. Was willst du aufspalten? Ja, wir reden davon ob die Divergenz des Stroms null ist oder nicht. Ich behaupte auch lediglich die ganze Zeit, daß sie nicht null ist. (Und zwar für alle bisher diskutierten Beobachter.) Zitat: Zitat: Aber wie dem auch sei: ein lokaler Erhaltungssatz ist keine Aussage, die sich auf einen bestimmten Ort bezieht. Es darf nirgendwo irgendwelche Quellen oder Senken der bilanzierten Größe geben, ansonsten ist sie nicht erhalten. Das ist schon recht, aber wenn man überall mit einem geeigneten Beobachterfeld hinschauen kann und im betrachteten Bereich dann eben weder Quellen noch Senken findet, dann hat's eben auch eine lokale Erhaltung der Energie. So ein Feld haben wir bisher aber nicht. Aber wenn es so eins gäbe, dann, ja, hätten wir in diesem Raumzeitbereich, in welchem , auch Energieerhaltung. (Es muß aber ein endlicher Bereich sein, sonst ist E(t) im allgemeinen nicht zeitlich konstant, selbst unter Berücksichtigung des Stroms aus dem endlichen Volumen heraus.) Zitat: index_razor hat Folgendes geschrieben: Ich hat Folgendes geschrieben: Wobei ich zugeben muss, dass ich noch nicht durch bin mit deiner Formel . variiert für v!=u doch i.A. linear mit dem Ort, das muss auch zur Divergenz beitragen. Ja, aber diese Abhängigkeit ist nur implizit über die Expansionsrate , die wie gesagt nicht unabhängig von ist. Beide gleichzeitig verschwinden zu lassen ist nicht so einfach, wenn es überhaupt geht. Nein, ich wollte nicht verschwinden lassen. Das ist aber nur der zeitartige Anteil der Divergenz in Richtung v, und der kommt auch nur von der sich ändernden Pekuliargeschwindigkeit des Beobachters. Was feht ist der raumartige, senkrechte Teil. Ich habe keine Ahnung wovon du redest. Nach meiner Rechnung ist die vollständige Viererdivergenz der Energiestromdichte relativ zum Beobachterfeld . Da fehlt kein "raumartiger" Anteil. Und wenn , dann ist für expansionsfreie Beobachter dort die Energie auch nicht erhalten. Zitat: Übrigens, du hast in deiner Formel schon den ganzen quellfreien Strom () rausgenommen, oder? Ich habe an irgendeiner Stelle die Friedmann-Gleichung eingesetzt, wenn es das ist, was du meinst.
Ich	Verfasst am: 15. Apr 2022 22:37    Titel: Schön, dass wir spät aber doch herausfinden, wo wir aneinander vorbeireden. index_razor hat Folgendes geschrieben: Nein. Lokale Energieerhaltung bedeutet, daß ein lokaler Erhaltungssatz gilt, also in jedem Ereignis. [...] Das alles steht genau so auch bei Wald. Und das ist exakt was "lokal erhalten" immer bedeutet, nicht nur für Energie, sondern auch für Impuls, elektrische Ladung etc.. Ja nein. Bei Wald steht auch: Wald, S.70 hat Folgendes geschrieben: Thus the argument fails that equation (4.3.6) implies strict energy conservation. Physically, this makes sense because the gravitational tidal forces can do work on the fluid and may increase or decrease its locally measured energy. However, if one considers a spacetime region of dimension small compared with radii of curvature, then, physically, the tidal forces can do little work and the energy of the fluid should be approximately conserved. But over this small spacetime region it is possible to find vector fields with , and thus equation (4.3.6) does yield approximate conservation of energy as measured by these observers. Thus, equation (4.3.6) may be interpreted as a local conservation of material energy over small regions of spacetime. On account of this interpretation, we expect equation (4.3.6) to hold for all matter and fields, not just for perfect fluids. Ich habe ja zugegeben, dass ich mich nicht immer optimal ausgedrückt hatte. Aber wenn du meine Beiträge nachliest, wirst du im Nachhinein feststellen, dass ich immer von genau dieser "local conservation of material energy over small regions of spacetime" gesprochen habe, inklusive der möglichen Vernachlässigbarkeit von Raumkrümmung und den nötigen ("möglichst") parallen Beobachtern. Es ist also nicht so, dass bei lokaler Energieerhaltung nur deine Version gemeint sein kann, die meine findet man genauso bei Wald. Also einfach aneinander vorbeigeredet, nicht nur ich etwas nicht verstanden. (Das möchte ich einfach zur Ehrenrettung hinzufügen.) Und wenn ich noch einen Schritt weiter gehen darf: Ich kann nach wie vor deine ersten beiden Beiträge in diesem Thread nicht nachvollziehen. Da war Nils' Aussage, dass Energierhaltung für kleine Raumbereiche gut erfüllt ist, aber im Ganzen nicht definiert. Das ist ja genau das, was ich auch sage. Du widersprichst und sagst, dass man sehr wohl sagen könne, dass Energie verschwindet, anhand der Formel , aus der das ja sicher nicht folgt. Und im zweiten Beitrag sagst du index_razor hat Folgendes geschrieben: Wenn sie irgendwohin ginge (z.B. in das Gravitationsfeld), dann würde man dieses "Irgendwo" einfach als weitere Energieform definieren und hätte wieder einen Erhaltungssatz für die Energie. Und das ist ja genau das, was passiert: Wie ja auch Wald schreibt, ist das Limit der lokalen Betrachtung, dass Gezeiten Arbeit verrichten können, die nicht korrekt bilanziert wird, weil die ART einfach keine gravitative Energie kennt. Das ist auch die einzige Energie, die verschwindet, und die kann man lokal beliebig gut z.B. mit Einführung eines gravitativen Potentials auffangen. Auch global gibt es da Möglichkeiten, aber das sind natürlich Pseudotensoren, und von daher ist diese Energie nicht eindeutig definiert. Also meiner Meinung nach hast du da nicht richtig argumentiert. Zitat: Ich hat Folgendes geschrieben: Dieser eine Ort ist ein beliebiges mitbewegtes Teilchen u0, und mein Beobachterfeld ist so gewählt, dass genau dort (und i.A. nur dort) gilt v=u. Am zu betrachtenden Ort ruht der "zentrale" Beobachter v0 also relativ zum mitbewegten Teilchen u0. Damit ist dort automatisch erfüllt, und für ein expansionsfreies Beobachterfeld verschwindet die Divergenz genau an diesem Ort, dort gilt also lokal Energieerhaltung. Woanders natürlich nicht, aber das ist ja auch nicht die Behauptung. Die Behauptung ist nur, dass man an jedem Ort ein im Ursprung ruhendes expansionsfreies Vektorfeld einführen kann, für das dann Energieerhaltung gilt. Das gilt analog für meine Rechnung: Die gilt für ein am interessierenden Ort mitbewegtes aber expansionsfreies Beobachterfeld. Das kann doch nicht ganz stimmen. An welcher Stelle soll denn in diesem Szenario ein nichtverschwindender räumlicher Energiestrom auftauchen, den du in deiner Bilanzgleichung verwendest? Den gibt es nur dort wo . Und hier behauptest du nun, solche Orte interessieren dich gar nicht. Da hast du aber schnell geantwortet. Ich hatte das "natürlich nicht" ziemlich bald nach "nicht zwingend" editiert, weil mir deine Gleichung suspekt vorkam - sie ist zumindest in flacher Raumzeit falsch, dort muss die Energie für beliebig bewegte Beobachter erhalten sein. Ich habe mit keinem Edit länger als eine halbe Stunde gewartet, glaube ich, aber vielleicht antwortest du auch in anderen Punkten nicht auf meine finale Version. Aber jetzt zur Frage: Ich verstehe nicht. Wir reden doch nicht davon, dass es da keinen Energiestrom gibt, sondern fragen, ob seine Divergenz Null ist. Und die kann man (siehe auch Wald) aufspalten in entlang des Beobachters und senkrecht dazu, und senkrecht dazu ist das, was in der Bilanzgleichung vorkommt. Vollkommen kompatibel mit deiner Formulierung derselben. Zitat: Aber wie dem auch sei: ein lokaler Erhaltungssatz ist keine Aussage, die sich auf einen bestimmten Ort bezieht. Es darf nirgendwo irgendwelche Quellen oder Senken der bilanzierten Größe geben, ansonsten ist sie nicht erhalten. Das ist schon recht, aber wenn man überall mit einem geeigneten Beobachterfeld hinschauen kann und im betrachteten Bereich dann eben weder Quellen noch Senken findet, dann hat's eben auch eine lokale Erhaltung der Energie. index_razor hat Folgendes geschrieben: Ich hat Folgendes geschrieben: Wobei ich zugeben muss, dass ich noch nicht durch bin mit deiner Formel . variiert für v!=u doch i.A. linear mit dem Ort, das muss auch zur Divergenz beitragen. Ja, aber diese Abhängigkeit ist nur implizit über die Expansionsrate , die wie gesagt nicht unabhängig von ist. Beide gleichzeitig verschwinden zu lassen ist nicht so einfach, wenn es überhaupt geht. Nein, ich wollte nicht verschwinden lassen. Das ist aber nur der zeitartige Anteil der Divergenz in Richtung v, und der kommt auch nur von der sich ändernden Pekuliargeschwindigkeit des Beobachters. Was feht ist der raumartige, senkrechte Teil. Ich hab da mal rumgerechnet und komme auf einen zusätlichen Term Hv. Wenn man dann unter die Lupe nimmt, dann stellt man fest, dass das genau dasselbe mit umgekehrten Vorzeichen ist, solange . Was für mich finalen Sinn ergibt: sind genau die von Wald erwähnten Gezeitenkräfte, die da abgehen, und in einem "freely coasting" Universum ist die Energie für alle v unbegrenzt lange erhalten. Übrigens, du hast in deiner Formel schon den ganzen quellfreien Strom () rausgenommen, oder?
index_razor	Verfasst am: 14. Apr 2022 12:55    Titel: Ich hat Folgendes geschrieben: index_razor hat Folgendes geschrieben: Zitat: Wir reden immer noch aneinander vorbei. Wie kann das eigentlich sein? Ich rede genau von dem Inhalt von Walds Kapiteln 4.2 und 4.3. Darauf hatten wir uns zuletzt verständigt. Ist daran noch etwas unklar? Nun, da steht viel drin, aber nicht genau das, was wir diskutieren. Von dem ich immer noch nicht weiß, was es ist. Ich finde da steht u.a. genau das drin, was wir hier diskutieren. Der Zusammenhang zwischen lokalen Erhaltungssätzen und den zugehörigen Erhaltungssgrößen (d.h. den räumlichen Integralen über die Dichten) ist dort in voller Allgemeinheit beschrieben. Die Energie ist nur ein Spezialfall davon. Aber auch auf diesen Spezialfall wird explizit eingegangen (ab S.69 letzter Abschnitt). Zitat: Ich versuche also stattdessen noch mal einen Hüftschuss, zu erraten, wo wir auseinandergehen: Du beschreibst lokale Energieerhaltung mathematisch als Divergenz der Energiestromdichte eines Beobachterfelds. Wenn ich nun behaupte, dass Energie lokal erhalten ist, dann meine ich damit nicht nur, dass die Divergenz eine lokal definierte Größe ist. Sondern ich meine, diese Divergenz lokal verschwindet, also an einem bestimmten, wenn auch frei wählbarem Ort. Würde sie an jedem Ort des Beobachterfelds verschwinden, dann wäre das globale Energieerhaltung. Nein. Lokale Energieerhaltung bedeutet, daß ein lokaler Erhaltungssatz gilt, also in jedem Ereignis. Daß die Divergenz nur in einem Ereignis oder auf einer Weltlinie (= an einem bestimmten Ort) verschwindet, bedeutet gar nichts. Nur wenn dieser lokale Erhaltungssatz in jedem Ereignis gilt, kann man einen erhaltenen Strom mittels Gaußschem Integralsatz zu einer Erhaltungsgröße integrieren. Das alles steht genau so auch bei Wald. Und das ist exakt was "lokal erhalten" immer bedeutet, nicht nur für Energie, sondern auch für Impuls, elektrische Ladung etc. Lokale Ladungserhaltung bedeutet z.B. nicht nur, daß entlang irgendeiner Weltlinie verschwindet, sondern daß es wirklich überall auf der gesamten Raumzeit verschwindet. Das ist für die Ladung auch tatsächlich unter allen Umständen in der ART der Fall. Für die Energie bedeutet lokale Erhaltung exakt dasselbe, nur ist im Gegensatz zur Ladung hier eben im allgemeinen kein lokaler Erhaltungssatz erfüllt. Zitat: Dieser eine Ort ist ein beliebiges mitbewegtes Teilchen u0, und mein Beobachterfeld ist so gewählt, dass genau dort (und i.A. nur dort) gilt v=u. Am zu betrachtenden Ort ruht der "zentrale" Beobachter v0 also relativ zum mitbewegten Teilchen u0. Damit ist dort automatisch erfüllt, und für ein expansionsfreies Beobachterfeld verschwindet die Divergenz genau an diesem Ort, dort gilt also lokal Energieerhaltung. Woanders natürlich nicht, aber das ist ja auch nicht die Behauptung. Die Behauptung ist nur, dass man an jedem Ort ein im Ursprung ruhendes expansionsfreies Vektorfeld einführen kann, für das dann Energieerhaltung gilt. Das gilt analog für meine Rechnung: Die gilt für ein am interessierenden Ort mitbewegtes aber expansionsfreies Beobachterfeld. Das kann doch nicht ganz stimmen. An welcher Stelle soll denn in diesem Szenario ein nichtverschwindender räumlicher Energiestrom auftauchen, den du in deiner Bilanzgleichung verwendest? Den gibt es nur dort wo . Und hier behauptest du nun, solche Orte interessieren dich gar nicht. Aber wie dem auch sei: ein lokaler Erhaltungssatz ist keine Aussage, die sich auf einen bestimmten Ort bezieht. Es darf nirgendwo irgendwelche Quellen oder Senken der bilanzierten Größe geben, ansonsten ist sie nicht erhalten. Zitat: Wobei ich zugeben muss, dass ich noch nicht durch bin mit deiner Formel . variiert für v!=u doch i.A. linear mit dem Ort, das muss auch zur Divergenz beitragen. Ja, aber diese Abhängigkeit ist nur implizit über die Expansionsrate , die wie gesagt nicht unabhängig von ist. Beide gleichzeitig verschwinden zu lassen ist nicht so einfach, wenn es überhaupt geht. Das Problem ist folgendes. Die Expansion von ( = Relativgeschwindigkeit zum Fluid) ist . Wenn , dann ist zumindest der Betrag von ebenfalls zeitunabhängig. Also kann sich an einem fixen Ort die Geschwindigkeit höchstens drehen, was schon mal ein etwas exotisches Beobachterfeld ist. Damit muß man die Zeitabhängigkeit von aber so einrichten, daß . Das bedeutet Der Term in der Mitte hängt nur über von t ab, also kann er höchstens zeitlich oszillieren. Damit sehe ich keine Möglichkeit wie diese Gleichung zu allen Zeiten erfüllt sein kann. Zitat: Was dann zumindest in Spezialfällen die Divergenz überall verschwinden lassen müsste (z.B. wieder mal bei expandierender Materie in flacher Raumzeit). Natürlich verschwindet in flacher Raumzeit die Divergenz von bezogen auf ein zeitartiges Killingfeld überall. Das haben wir ja jetzt schon mehrfach festgestellt. Nur folgt daraus überhaupt nichts über die Situation in dynamischen Raumzeiten, in denen es keine solchen Felder gibt. Wie gesagt notwendig und hinreichend für lokale Energieerhaltung (relativ zu ) ist , bzw. äquivalent .
Ich	Verfasst am: 14. Apr 2022 10:05    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: Zitat: Wir reden immer noch aneinander vorbei. Wie kann das eigentlich sein? Ich rede genau von dem Inhalt von Walds Kapiteln 4.2 und 4.3. Darauf hatten wir uns zuletzt verständigt. Ist daran noch etwas unklar? Nun, da steht viel drin, aber nicht genau das, was wir diskutieren. Von dem ich immer noch nicht weiß, was es ist. Ich versuche also stattdessen noch mal einen Hüftschuss, zu erraten, wo wir auseinandergehen: Du beschreibst lokale Energieerhaltung mathematisch als Divergenz der Energiestromdichte eines Beobachterfelds. Wenn ich nun behaupte, dass Energie lokal erhalten ist, dann meine ich damit nicht nur, dass die Divergenz eine lokal definierte Größe ist. Sondern ich meine, dass diese Divergenz lokal verschwindet, also an einem bestimmten, wenn auch frei wählbarem Ort. Würde sie an jedem Ort des Beobachterfelds verschwinden, dann wäre das für mich global. Dieser eine Ort ist ein beliebiges mitbewegtes Teilchen u0, und mein Beobachterfeld ist so gewählt, dass genau dort (und i.A. nur dort) gilt v=u. Am zu betrachtenden Ort ruht der "zentrale" Beobachter v0 also relativ zum mitbewegten Teilchen u0. Damit ist dort automatisch erfüllt, und für ein expansionsfreies Beobachterfeld verschwindet die Divergenz genau an diesem Ort, dort gilt also lokal Energieerhaltung. Woanders nicht zwingend, aber das ist ja auch nicht die Behauptung. Die Behauptung ist nur, dass man an jedem Ort ein im Ursprung ruhendes expansionsfreies Vektorfeld einführen kann, für das dann Energieerhaltung gilt. Das gilt analog für meine Rechnung: Die gilt für ein am interessierenden Ort mitbewegtes aber expansionsfreies Beobachterfeld. Wobei ich zugeben muss, dass ich noch nicht durch bin mit deiner Formel . variiert für v!=u doch i.A. linear mit dem Ort, das muss auch zur Divergenz beitragen. Was dann zumindest in Spezialfällen die Divergenz überall verschwinden lassen müsste (z.B. wieder mal bei expandierender Materie in flacher Raumzeit).
index_razor	Verfasst am: 14. Apr 2022 07:13    Titel: Ich hat Folgendes geschrieben: Wir reden immer noch aneinander vorbei. Ich frage am besten noch mal deine Grundaussage ab: Du hast behauptet, dass im expandierenden Universum lokal Energie verschwinde und verneint, dass das nur Ansichtssache sei. Richtig? Ich habe behauptet, daß für 1) mitbewegte Beobachter , 2) relativ zu diesen mit konstanter Geschwindigkeit bewegte Beobachter und zuletzt 3) für expansionsfreie Beobachter Energie verschwindet und daß diese drei Aussagen genauso wenig Ansichtssache sind, wie daß im flachen (oder statischen) Universum relativ zu Killing-Feldern die Energie erhalten ist oder wie die Aussage, daß das Robertson- Walker-Universum homogen und isotrop ist. Soll heißen: die Aussage bezieht sich im allgemeinen natürlich immer auf einen konkreten Beobachter. Aber sie gilt für alle "interessanten" Beobachter. Ich denke auch, daß es kein Beobachterfeld gibt, für welches im Robertson Walker-Universum Energie erhalten ist, weil für jedes beliebige Beobachterfeld gilt und ich glaube, daß nicht und gleichzeitig verschwinden können. Zumindest ist das aber für keines der bisher diskutierten Felder der Fall. Zitat: Meinst du damit, dass lokal also etwas vor sich geht, was nicht adäquat in Newtonscher Näherung (wenn wir diese noch um die gravitative Wirkung von Druck erweitern) beschrieben und verstanden werden kann? Ich meine mit allen diesen Aussagen: Die von den jeweiligen Beobachtern gemessene Vierer-Energie-Stromdichte besitzt nichtverschwindende Viererdivergenz . Das ist auch genau was es bedeutet, daß Energie nicht lokal erhalten ist. Zitat: Eine zweite Frage - aber die bitte zurückstellen, bis wir uns mal auf das verständigt haben, was der jeweils andere überhaupt sagen will. Das wäre index_razor hat Folgendes geschrieben: [EDIT: Ich denke nun verstanden zu haben, daß du zeigen wolltest, daß der Energiestrom gemessen von deinen Beobachtern näherungsweise gleich ist. Aber das wäre keine korrekte Bilanzgleichung selbst ohne Näherung.] Richtig, das zeige ich. Was ist daran nicht korrekt? Das ist nicht was du zeigen mußt. ist nicht die von diesen Beobachtern gemessene Energiedichte und die lokale Bilanzgleichung einer Erhaltungsgröße lautet . Dies ist also zu zeigen. (Für und und irgendein zeitartiges Feld .) P.S. Zitat: Wir reden immer noch aneinander vorbei. Wie kann das eigentlich sein? Ich rede genau von dem Inhalt von Walds Kapiteln 4.2 und 4.3. Darauf hatten wir uns zuletzt verständigt. Ist daran noch etwas unklar?
Ich	Verfasst am: 13. Apr 2022 21:39    Titel: Wir reden immer noch aneinander vorbei. Ich frage am besten noch mal deine Grundaussage ab: Du hast behauptet, dass im expandierenden Universum lokal Energie verschwinde und verneint, dass das nur Ansichtssache sei. Richtig? Meinst du damit, dass lokal also etwas vor sich geht, was nicht adäquat in Newtonscher Näherung (wenn wir diese noch um die gravitative Wirkung von Druck erweitern) beschrieben und verstanden werden kann? Nur dann wäre eine solche Aussage nämlich zu verteidigen, denke ich. Eine zweite Frage - aber die bitte zurückstellen, bis wir uns mal auf das verständigt haben, was der jeweils andere überhaupt sagen will. Das wäre index_razor hat Folgendes geschrieben: [EDIT: Ich denke nun verstanden zu haben, daß du zeigen wolltest, daß der Energiestrom gemessen von deinen Beobachtern näherungsweise gleich ist. Aber das wäre keine korrekte Bilanzgleichung selbst ohne Näherung.] Richtig, das zeige ich. Was ist daran nicht korrekt?
index_razor	Verfasst am: 31. März 2022 13:25    Titel: Ich hat Folgendes geschrieben: Wenn ich sage, dass lokal in Normalkoordinaten Energieerhaltung gilt dann meine ich: 1) Koordinatenunabhängig: Das Vektorfeld, für das man die Energiebilanz anschaut, ist parallel zur Vierergeschwindigkeit des Beobachters. Also nicht mitbewegt, sondern in erster Ordnung statisch: Aber genau für ein mitbewegtes Beobachterfeld ist die Energiestromdichte parallel zu seiner Vierergeschwindigkeit , nämlich (Genau deshalb heißt es ja "mitbewegt".) Und dieser Vektor ist definitiv nicht lokal erhalten.  Dies ist auch der Vektor, von dem ich die meiste Zeit gesprochen habe.  Hier stimmt also schon was nicht, zumindest in deiner geometrischen Anschauung. Zitat: 2) Für dieses Vektorfeld gilt in führender Ordnung, dass die Energie erhalten ist. Das heißt nicht notwendigerweise, dass der Quellterm exakt Null ist (das weiß ich ehrlich gesagt nicht), aber dass der Term verschwindet. Er taucht stattdessen in deiner Dreierformulierung auf der linken Seite im zweiten Term auf, so dass die Gleichung in erster Ordnung lautet: Diesen zweiten Term habe ich am "Fr März 25, 2022 5:53 pm" ausgerechnet. Diese Aussage gilt für alle FLRW-Raumzeiten. Ich verstehe leider absolut nicht, was das bedeuten soll oder mit deiner oder meiner Rechnung zu tun hat.  Entweder ist der Quellterm exakt null oder er verschwindet nicht. (Hast du dich da verschrieben?) [EDIT: Ich denke nun verstanden zu haben, daß du zeigen wolltest, daß der Energiestrom gemessen von deinen Beobachtern näherungsweise gleich ist. Aber das wäre keine korrekte Bilanzgleichung selbst ohne Näherung.] Und es geht auch nicht um "führende Ordnungen".  Alles was nur bis erster Ordnung gilt, hat keinerlei Implikation für die Diskussion.  Energieverlust kann man erst erwarten, sobald sich Gezeitenkräfte bemerkbar machen und Arbeit an der Materie leisten, also frühestens ab Ordnung 2.  (siehe auch Walds Bemerkungen auf S. 70 oben). In erster Ordnung kannst du immer hintransformieren und alles sieht aus wie in der  flachen Raumzeit.   Das folgt einfach aus dem Äquivalenzprinzip. Da es dir anscheinend hauptsächlich um die Abhängigkeit der Energiebilanz von der Expansion des Beobachterfeldes geht, schlage ich folgende Überlegung vor. Für ein beliebiges Feld von Beobachtern lautet die zu gehörige Energiestromdichte mit der Divergenz wobei die Expansionsrate des Beobachterfelds ist. Hieran sieht man schon, daß die Energie der Galaxien (P=0) nur für , also erhalten sein kann. (Man muß ein bißchen vorsichtig mit dieser Gleichung sein, weil und nicht unabhängig sind.) Das paßt genau zu meiner früheren Aussage, daß die Energie von Staub für mitbewegte Beobachter exakt erhalten ist. Für dein Beobachterfeld kann dies aber nicht exakt stimmen. Zitat: Ein Spezialfall ist ein expandierendes Strahlungsgas mit verschwindender Dichte. Das hast du an meinem Beispiel anscheinend missverstanden. Dort kriegst du für mitbewegte Beobachter deinen Quellterm, also verschwindende Energie, obwohl die Raumzeit flach ist. Ich hatte das nicht mißverstanden.  Ich hatte nur der Behauptung widersprochen, daß die Anwendung meines Arguments auf deine Gegenbeispiele dort Nichterhaltung der Energie implizieren würde.  Das ist nicht nur falsch, sondern das Gegenteil stimmt.  Meine Behauptung war: nur in statischen Raumzeiten -- die alle deine Gegenbeispiele umfassen -- ist Energieerhaltung garantiert, nämlich durch die Existenz eines zeitartigen  Killingfeldes.  (Das ist übrigens genau der Zusammenhang zwischen Energieerhaltung und Zeittranslationsinvarianz nach Noether-Theorem, auf den Nils Hoppenstedt ganz zu Anfang schon hingewiesen hat.)  Den Zusammenhang habe ich oben noch mal für deinen Gasball dargestellt, er steht aber auch bei Wald in Kapitel 4. Ich habe deshalb immer darauf bestanden, daß die Energiebilanz in diesen Raumzeiten auf die Killingfelder zu beziehen ist. In dynamischen Raumzeiten, gibt es keine solchen Felder und man muß sich entscheiden auf welchen Beobachter man die Energiebilanz bezieht.  Ich finde es natürlich, Beobachter zu wählen, die durch die Symmetrien (Homogenität und Isotropie) der Raumzeit ausgezeichnet sind, also mitbewegte Beobachter.  Aber auch für nicht expandierende Beobachter geht Energie verloren: Zitat: Das ist also das, was ich vorher ein Koordinatenartefakt genannt hätte, koordinatenfrei ausgedrückt ist es ein Artefakt expandierender Beoachterfelder. Nein, so einfach ist das nicht. Für nichtexpandierende Beobachter gilt im Robertson-Walker-Universum immer noch Weder für Materie noch für Strahlung ist Energie exakt erhalten. Das Problem ist vielleicht eine Inkonsistenz in deiner Näherung.  Für nichtexpandierende Beobachter kannst du nicht näherungsweise setzen, denn in dieser Näherung kannst du sie nicht von mitbewegten (oder mit konstanter Relativgeschwindigkeit bewegten) Beobachtern unterscheiden, die beide mitexpandieren. Zitat: Gut, dass du den Wald erwähnt hast, da wäre der Abschnitt in 4.2 relevant: "Equation (4.2.11) has an important physical interpretation. Consider a family of inertial observers with parallel 4-velocities ..." Energieerhaltung hast du nur in parallelen Feldern. Mir scheint, du hast das mißverstanden. Du denkst vielleicht deine expansionsfreien ("statischen") Beobachter erfüllen diese Voraussetzung. Das ist aber nicht der Fall. Im Robertson-Walker-Universum gibt es überhaupt keine Familie von Beobachtern mit "parallel 4-velocities". Das ist genau mein Punkt. "Parallel" bedeutet hier ihr 4er-Geschwindigkeitsfeld ist kovariant konstant, also . Es gibt aber nicht mal Felder, für die die schwächere Bedingung gilt (die ebenfalls hinreichend wäre). Hierzu ist noch relevanter der Abschnitt 4.3., insbesondere der letzte Absatz auf S. 69 ab Gl. (4.3.6). Schau dir den mal an. Da müßtest du meine Behauptungen eigentlich wiederfinden. (Übrigens bedeutet die Nichtexistenz von Killingfeldern nicht, daß Energieerhaltung unter keinen Umständen gilt. Hinreichend und notwendig ist nur , was aber gegenüber keine neue Information liefert. Dies ist der Grund warum auch ohne Killingfelder die Energie der Galaxien erhalten sein kann. Es ist aber für keinen Beobachter diese und die Strahlungsenergie gleichzeitig erhalten.) Zitat: Ich komme wohl übernächste Woche dazu, das in der Viererformulierung zu rechnen. Dann kann ich auch noch auf die anderen Beispiele eingehen. Ok, aber bevor wir weitere Beispiele rechnen, laß uns bitte erstmal die offenen Punkte klären.
Ich	Verfasst am: 30. März 2022 13:13    Titel: Ich werde die nächsten Tage wenig Zeit haben. Aber lass mich noch mal genauer formulieren, was ich meine. Ich habe mich da zu schwammig ausgedrückt und auch zu ungenau gelesen, was ihr schon besprochen hattet (sorry dafür). Im Prinzip geht es um das, was du im Beitrag vom "Mi März 23, 2022 3:05 pm" ausgeführt hast: Die Energiebilanz für ein nicht mitbewegtes, sondern statisches Beobachterfeld. Wenn ich sage, dass lokal in Normalkoordinaten Energieerhaltung gilt dann meine ich: 1) Koordinatenunabhängig: Das Vektorfeld, für das man die Energiebilanz anschaut, ist parallel zur Vierergeschwindigkeit des Beobachters. Also nicht mitbewegt, sondern in erster Ordnung statisch: 2) Für dieses Vektorfeld gilt in führender Ordnung, dass die Energie erhalten ist. Das heißt nicht notwendigerweise, dass der Quellterm exakt Null ist (das weiß ich ehrlich gesagt nicht), aber dass der Term verschwindet. Er taucht stattdessen in deiner Dreierformulierung auf der linken Seite im zweiten Term auf, so dass die Gleichung in erster Ordnung lautet: Diesen zweiten Term habe ich am "Fr März 25, 2022 5:53 pm" ausgerechnet. Diese Aussage gilt für alle FLRW-Raumzeiten. Ein Spezialfall ist ein expandierendes Strahlungsgas mit verschwindender Dichte. Das hast du an meinem Beispiel anscheinend missverstanden. Dort kriegst du für mitbewegte Beobachter deinen Quellterm, also verschwindende Energie, obwohl die Raumzeit flach ist. Das ist also das, was ich vorher ein Koordinatenartefakt genannt hätte, koordinatenfrei ausgedrückt ist es ein Artefakt expandierender Beoachterfelder. Gut, dass du den Wald erwähnt hast, da wäre der Abschnitt in 4.2 relevant: "Equation (4.2.11) has an important physical interpretation. Consider a family of inertial observers with parallel 4-velocities ..." Energieerhaltung hast du nur in parallelen Feldern. Ich komme wohl übernächste Woche dazu, das in der Viererformulierung zu rechnen. Dann kann ich auch noch auf die anderen Beispiele eingehen.
index_razor	Verfasst am: 27. März 2022 13:41    Titel: Vielleicht kann die Diskussion ja wieder etwas konstruktiver werden, wenn wir versuchen uns in kleineren Schritten dem Streitpunkt zu nähern. Das würde meine Bedenken zerstreuen mehr Zeit investieren zu müssen, als ich gerade bereit bin, und es macht es vielleicht einfacher konkrete Fragen zu stellen. Ich bin nicht sicher was die richtige Folge von Schritten wäre. Aber inzwischen glaube ich, daß wir schon bei unseren jeweiligen Ausgangspunkten unterschiedlicher Auffassung sind. Deswegen würde ich am liebsten mit der Frage anfangen, was lokale Erhaltung der Energie (oder irgendeiner Größe) überhaupt bedeutet, und das dann schrittweise auf die ART verallgemeinern. Lokale Energieerhaltung bedeutet in der klassischen Mechanik Die "Energiestromdichte" ist hier natürlich die 3er-Stromdichte. In der flachen Raumzeit, also dem Minkowskiraum der SRT, wird aus der skalaren Energiedichte und der 3er-Stromdichte die Viererstromdichte und aus Zeitableitung und 3er-Divergenz die 4er-Divergenz. Außerdem gehören Energie und Impuls zusammen und hängen vom Beobachter (Vierergeschwindigkeit u) ab. Als Invarianten haben wir also den Energie-Impuls-Tensor und die vom Beobachter gemessene Viererstromdichte der Energie . Der lokale Energieerhaltungssatz lautet jetzt also Wenn alles was ich über gekrümmte Raumzeiten behaupte, sich im Minkwoskiraum auf diesen Spezialfall reduziert, implizieren meine Behauptungen auch Energieerhaltung in der flachen Raumzeit. Ich hoffe soweit ist alles klar. Bevor wir zu gekrümmten Raumzeiten kommen, müssen wir uns, denke ich, noch der Frage zuwenden, wie man aus dem Viererstrom eine erhaltene "Ladung" (also in dem Fall die Energie) konstruiert, was der Einfluß des Beobachters u ist, und was lokale "Nichterhaltung" bedeuten könnte. P.S. Als Literatur empfehle ich immer noch Wald, General Relativity, Kapitel 4, an dessen Notation ich versucht habe mich zu halten.
index_razor	Verfasst am: 27. März 2022 10:57    Titel: Ich hat Folgendes geschrieben: Zitat: Da eine flache Raumzeit statisch ist, gilt darin nach meiner Aussage Energieerhaltung. Darauf habe ich schon hingewiesen. Das solltest du also wissen. (Vielleicht führt dich hier die "Koordinatentrafo von RW nach Minkowksi" in die Irre. Das ist aber wieder ein anderes Problem, das nicht direkt etwas mit dem Thema zu tun hat.) Statt mir wieder ein Problem zu unterstellen, hättest du deine Heuristik an diesem Beispiel prüfen können: Zitat: Eine Heuristik habe ich auch: im homogenen isotropen Universum ist der Energiestrom überall null und die Dichte überall konstant. Also bedeutet lokale Energieerhaltung bzw. in einem expandierenden Universum mit denselben Eigenschaften . Wie du sicher gern bestätigen wirst, haben solche Argumente für andere oft wenig Überzeugungskraft. Das ist auch aufs flache Universum anwendbar. Also zeigt deine Heuristik, dass dort Energie verschwindet. Dann ist doch klar, dass sie keine Überzeugungskraft hat. Sollte dich stutzig machen. Das flache Universum expandiert nicht. Dort ist a=const. Also bedeutet Energieerhaltung unter den genannten Bedingungen dort , was ja korrekt ist. Wo du da Energie verschwinden siehst, verstehe ich immer noch nicht. Zitat: Zitat: Die Aussage des Birkhoff-Theorems bezieht sich auf materiefreie Bereiche einer kugelsymmetrischen Raumzeit. Wenn es keine solchen Bereiche gibt, spielt es keine Rolle, daß die Raumzeit um jeden Punkt kugelsymmetrisch ist. Die Behauptung des Theorems ist, daß diese Bereiche statisch und asymptotisch flach sind. Beides trifft auf das Robertson-Walker-Universum natürlich nicht zu. Und wie ich bereits sagte, folgt aus meiner Rechnung Energieerhaltung für statische Raumzeiten. Sie gilt also natürlich exakt für den kleinen Gas- oder "Strahlungs"ball im ansonsten leeren Universum. Folglich ist das einzige Problem hier wieder, daß du den Inhalt meiner Schlußfolgerung gar nicht verstanden hast. Das einzige Problem ist hier wieder, dass du meine Argumente beiseite wischst, statt sie zu prüfen. Nein, das ist nicht das Problem. Deine Behauptung war Zitat: Ein kleiner Gas- oder Strahlungsball im leeren Universum unterliegt aber definitiv in beliebig guter Näherung der Energieerhaltung, da kann nicht einfach substanziell Energie verschwinden, wie es nach deiner Schlussfolgerung aber geschehen soll. Das ist falsch. Laut meiner Schlußfolgerung gilt für einen Gas- oder Strahlungsball im ansonsten leeren Universum Energieerhaltung. Das folgt aus dem Birkhoff-Theorem und steht nicht im Widerspruch dazu. Du hast meine Schlußfolgerung also komplett falsch verstanden und das ist das einzige Problem. Vielleicht hier nochmal das Argument angewendet auf diesen Fall: isolierter Gasball in sphärischer Raumzeit (Voraussetzung des Theorem) -> Raumzeit ist statisch (Folgerung des Theorems) -> Es existiert ein zeitartiges Killingfeld . Seine Energiestromdichte ist . Laut Killing Gleichung folgt also Also Energieerhaltung. Zitat: Zitat: Es ist ja kein simpler Rechenfehler. Das Problem besteht schon darin, daß du anscheinend nicht weißt, wie man einen lokalen Erhaltungssatz in der ART formuliert. Das ist ein sicher schwieriger auszuräumendes konzeptionelles Problem. Und es hat vermutlich nicht mal speziell etwas mit Energieerhaltung zu tun. Das ist komplett absurd. Meine Aussage war nichts weiter, als dass die Abnahme durch Abströmung im Raum erklärbar ist und nicht einfach Energie im Wert von "verschwindet". Also berechne ich die Abströmung aus der Oberfläche einer Kugel - und komme auf das richtige Ergebnis. Recht viel klarer geht's nicht. Da ist kein konzeptuelles Problem, zumindest nicht bei mir. Welchen Viererstrom genau hast du denn in deiner Rechnung bilanziert? Kannst du den in Robertson-Walker-Koordinaten hinschreiben? Zitat: Zitat: Oder du stellst eine konkrete Frage zu meinem Argument. War dir die Frage "Vielleicht kannst du mir als erstes die Quellendichte im Volumenintegral erklären, da stehe ich auf dem Schlauch." nicht konkret genug? Dann halt nicht. Nein, ehrlich gesagt nicht. Was soll ich erklären? Wie die Viererdivergenz definiert ist? Oder was sie mit der Energiebilanz zu tun hat? Oder wie ich sie berechnet habe? (Einige dieser Fragen hatte ich schon versucht in diesem Beitrag zu beantworten, in dem du unbedingt einen Fehler finden wolltest.) Zitat: Zitat: Es ist ja nicht so, daß ich hier noch nichts gezeigt hätte, was dich hätte belehren können. Aber solange deine Einstellung ist, daß du das alles nicht verstehen mußt, weil es ja ohnehin falsch ist, werden wir nicht mehr sehr weit kommen. Du verdrehst hier die Tatsachen. Ich habe explizit geschrieben, dass ich deine Ableitung verstehen will, und auch danach gefragt - leider wohl nicht in der richtigen Form oder so. Die Tatsachen sind, daß du auf meinen letzten detaillierten Erklärungsversuch geantwortet hast, daß du ihn zwar nicht verstehst, aber dann trotzdem munter über Fehler darin spekuliert hast, anstatt eine Frage zu stellen. (Das könnte man übrigens auch als herablassend auffassen, vielleicht reflektierst du darüber mal.) Ich weiß auch jetzt noch nicht, was genau du nicht verstanden hast und was ich dir erklären soll. Hinzu kommt noch, daß du deine Einwände auf Unterstellungen gründest, die einfach einen Großteil meiner bisherigen Erklärung zu ignorieren scheinen (zum Beispiel die Unterstellung, daß ich verschwindende Energie für das flache Universum behaupten würde). Das spricht auch nicht gerade für das große Interesse, das du jetzt vorgibst zu haben und demotiviert mich erheblich, noch mehr zu erklären. Zitat: Derjenige, der sich nicht mal mit einer dreizeiligen Rechnung befassen wollte, warst du. Ich habe mich schon damit befaßt. Ich sehe nur vorerst keinen Grund sie hier detailliert zu kritisieren. Denn ich glaube es gibt Probleme, die weit grundlegender sind. Ich habe deshalb die Vermutung geäußert, daß, wenn wir diese grundlegenderen Probleme klären könnten, auch alle Fragen zu deiner Rechnung geklärt wären. Das hast du anscheinend mißverstanden.
Ich	Verfasst am: 27. März 2022 09:24    Titel: Geht auch weniger herablassend? Das nervt. Zitat: Da eine flache Raumzeit statisch ist, gilt darin nach meiner Aussage Energieerhaltung. Darauf habe ich schon hingewiesen. Das solltest du also wissen. (Vielleicht führt dich hier die "Koordinatentrafo von RW nach Minkowksi" in die Irre. Das ist aber wieder ein anderes Problem, das nicht direkt etwas mit dem Thema zu tun hat.) Statt mir wieder ein Problem zu unterstellen, hättest du deine Heuristik an diesem Beispiel prüfen können: Zitat: Eine Heuristik habe ich auch: im homogenen isotropen Universum ist der Energiestrom überall null und die Dichte überall konstant. Also bedeutet lokale Energieerhaltung bzw. in einem expandierenden Universum mit denselben Eigenschaften . Wie du sicher gern bestätigen wirst, haben solche Argumente für andere oft wenig Überzeugungskraft. Das ist auch aufs flache Universum anwendbar. Also zeigt deine Heuristik, dass dort Energie verschwindet. Dann ist doch klar, dass sie keine Überzeugungskraft hat. Sollte dich stutzig machen. Zitat: Die Aussage des Birkhoff-Theorems bezieht sich auf materiefreie Bereiche einer kugelsymmetrischen Raumzeit. Wenn es keine solchen Bereiche gibt, spielt es keine Rolle, daß die Raumzeit um jeden Punkt kugelsymmetrisch ist. Die Behauptung des Theorems ist, daß diese Bereiche statisch und asymptotisch flach sind. Beides trifft auf das Robertson-Walker-Universum natürlich nicht zu. Und wie ich bereits sagte, folgt aus meiner Rechnung Energieerhaltung für statische Raumzeiten. Sie gilt also natürlich exakt für den kleinen Gas- oder "Strahlungs"ball im ansonsten leeren Universum. Folglich ist das einzige Problem hier wieder, daß du den Inhalt meiner Schlußfolgerung gar nicht verstanden hast. Das einzige Problem ist hier wieder, dass du meine Argumente beiseite wischst, statt sie zu prüfen. Ich zitiere mal Peacock (das kurze Paper solltest du unbedingt lesen): Zitat: Now look at the same situation in a completely different way. If the particle is nearby compared with the cosmological horizon, a Newtonian analysis should be valid: in an isotropic universe, Bikhoff’s theorem assures us that we can neglect the effect of all matter at distances greater than that of the test particle Vielleicht schaust du dir's ja an, wenn's der Professor sagt und nicht nur ein unterbelichteter Forendepp. Zitat: Es ist ja kein simpler Rechenfehler. Das Problem besteht schon darin, daß du anscheinend nicht weißt, wie man einen lokalen Erhaltungssatz in der ART formuliert. Das ist ein sicher schwieriger auszuräumendes konzeptionelles Problem. Und es hat vermutlich nicht mal speziell etwas mit Energieerhaltung zu tun. Das ist komplett absurd. Meine Aussage war nichts weiter, als dass die Abnahme durch Abströmung im Raum erklärbar ist und nicht einfach Energie im Wert von "verschwindet". Also berechne ich die Abströmung aus der Oberfläche einer Kugel - und komme auf das richtige Ergebnis. Recht viel klarer geht's nicht. Da ist kein konzeptuelles Problem, zumindest nicht bei mir. Zitat: Oder du stellst eine konkrete Frage zu meinem Argument. War dir die Frage "Vielleicht kannst du mir als erstes die Quellendichte im Volumenintegral erklären, da stehe ich auf dem Schlauch." nicht konkret genug? Dann halt nicht. Zitat: Es ist ja nicht so, daß ich hier noch nichts gezeigt hätte, was dich hätte belehren können. Aber solange deine Einstellung ist, daß du das alles nicht verstehen mußt, weil es ja ohnehin falsch ist, werden wir nicht mehr sehr weit kommen. Du verdrehst hier die Tatsachen. Ich habe explizit geschrieben, dass ich deine Ableitung verstehen will, und auch danach gefragt - leider wohl nicht in der richtigen Form oder so. Derjenige, der sich nicht mal mit einer dreizeiligen Rechnung befassen wollte, warst du.
index_razor	Verfasst am: 26. März 2022 08:58    Titel: Ich hat Folgendes geschrieben: index_razor hat Folgendes geschrieben: Solange du meine Behauptungen nicht verstehst, ist es etwas voreilig in ihnen nach Fehlern zu suchen. Da ist grundsätzlich was Wahres dran. Es ist nur so, dass ich wegen Beispielen, die nichts mit deiner Argumentation zu tun haben. überzeugt bin, dass deine Schlussfolgerung falsch ist. Also suche ich nach dem Fehler. Wobei dieses Suchen ja die Möglichkeit einschließt, dass ich Unrecht habe und ich deine Herleitung als richtig erkenne. Wenn du nicht ansatzweise verstehst, was ich eigentlich behaupte, argumentierst du natürlich am Thema vorbei. Das ist zumindest auch ein Problem deiner Gegenbeispiele. Zitat: Meine Gegenbeispiele sind: 1. Wie schon gesagt das FLRW-Universum mit verschwindender Energiedichte. Das ist eine flache Raumzeit, in der definitiv Energieerhaltung gilt. Es gibt sogar eine schöne Koordinatentrafo von RW nach Minkowski. Trotzdem zeigt deine Ableitung dafür verschwindende Energie an. Da eine flache Raumzeit statisch ist, gilt darin nach meiner Aussage Energieerhaltung. Darauf habe ich schon hingewiesen. Das solltest du also wissen. (Vielleicht führt dich hier die "Koordinatentrafo von RW nach Minkowksi" in die Irre. Das ist aber wieder ein anderes Problem, das nicht direkt etwas mit dem Thema zu tun hat.) Zitat: 2. Das Birkhoff-Theorem. Jede FLRW-Metrik ist kugelsymmetrisch um jeden Punkt. Also ist die Raumzeitgeometrie eines kleinen, sphärischen Ausschnitts in einem ansonsten leeren Universum exakt dieselbe wie im gänzlich gefüllten Universum. Ein kleiner Gas- oder Strahlungsball im leeren Universum unterliegt aber definitiv in beliebig guter Näherung der Energieerhaltung, da kann nicht einfach substanziell Energie verschwinden, wie es nach deiner Schlussfolgerung aber geschehen soll. Die Aussage des Birkhoff-Theorems bezieht sich auf materiefreie Bereiche einer kugelsymmetrischen Raumzeit. Wenn es keine solchen Bereiche gibt, spielt es keine Rolle, daß die Raumzeit um jeden Punkt kugelsymmetrisch ist. Die Behauptung des Theorems ist, daß diese Bereiche statisch und asymptotisch flach sind. Beides trifft auf das Robertson-Walker-Universum natürlich nicht zu. Und wie ich bereits sagte, folgt aus meiner Rechnung Energieerhaltung für statische Raumzeiten. Sie gilt also natürlich exakt für den kleinen Gas- oder "Strahlungs"ball im ansonsten leeren Universum. Folglich ist das einzige Problem hier wieder, daß du den Inhalt meiner Schlußfolgerung gar nicht verstanden hast. Zitat: 3. Meine Rechnung. Sie beweist explizit das, was ich sage. Sie muss also falsch sein, wenn deine Ableiitung stimmt. Das ist natürlich nicht ausgeschlossen, ich bin ja ganz schön eingerostet in diesen Themen. So wahnsinnig kompliziert ist sie aber auch nicht, du kannst mir den etwaigen Fehler bestimmt schnell zeigen. Es ist ja kein simpler Rechenfehler. Das Problem besteht schon darin, daß du anscheinend nicht weißt, wie man einen lokalen Erhaltungssatz in der ART formuliert. Das ist ein sicher schwieriger auszuräumendes konzeptionelles Problem. Und es hat vermutlich nicht mal speziell etwas mit Energieerhaltung zu tun. Zitat: 4. Die Heuristik hinter meiner Rechnung. Also das Beispiel mit den rotverschobenen Photonen vor 3 Beiträgen. Das zeigt unmittelbar und ohne Rechnung, dass über die Grenze mehr fließt als . Eine Heuristik habe ich auch: im homogenen isotropen Universum ist der Energiestrom überall null und die Dichte überall konstant. Also bedeutet lokale Energieerhaltung bzw. in einem expandierenden Universum mit denselben Eigenschaften . Wie du sicher gern bestätigen wirst, haben solche Argumente für andere oft wenig Überzeugungskraft. Zitat: Zitat: Ich verwende keine speziellen Koordinaten, sondern nur die kovariante Viererdivergenz der Energiestromdichte. (Das ist eine Invariante, also ist auch egal in welchen Koordinaten ich sie berechne.) Dir ist anscheinend nicht klar, was diese Größe mit der Energiebilanz zu tun hat. Vielleicht sollten wir das als erstes klären, denn ich glaube das ist bei weitem der einfachste Zugang zu dem Thema. Das ist wohl nicht der einfachste Zugang, aber gerne. Vielleicht kannst du mir als erstes die Quellendichte im Volumenintegral erklären, da stehe ich auf dem Schlauch. Das habe ich gerade in mehreren Beiträgen versucht. Deine einzige Reaktion war "Sorry, ich bin eingerostet und kann deswegen deinen Fehler nicht finden." Deshalb will ich im Augenblick eigentlich nicht noch mehr Zeit investieren. Wenn es dir ernst ist, kannst du m.E. viel hilfreiches in Wald, Kap. 4 (inklusive Verweise auf den Anhang) finden. Oder du stellst eine konkrete Frage zu meinem Argument. Zitat: Zitat: Ich vermute, dadurch wird auch deutlicher werden, wo der Fehler in deiner eigenen Bilanzgleichung liegt. Bitte nicht vermuten, sondern zeigen. Auch wenn ich überzeugt bn, Recht zu haben, bin ich umso mehr daran interessiert, eines besseren belehrt zu werden. Dann kann man am meisten lernen. Es ist ja nicht so, daß ich hier noch nichts gezeigt hätte, was dich hätte belehren können. Aber solange deine Einstellung ist, daß du das alles nicht verstehen mußt, weil es ja ohnehin falsch ist, werden wir nicht mehr sehr weit kommen.
Ich	Verfasst am: 25. März 2022 20:35    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: Solange du meine Behauptungen nicht verstehst, ist es etwas voreilig in ihnen nach Fehlern zu suchen. Da ist grundsätzlich was Wahres dran. Es ist nur so, dass ich wegen Beispielen, die nichts mit deiner Argumentation zu tun haben. überzeugt bin, dass deine Schlussfolgerung falsch ist. Also suche ich nach dem Fehler. Wobei dieses Suchen ja die Möglichkeit einschließt, dass ich Unrecht habe und ich deine Herleitung als richtig erkenne. Meine Gegenbeispiele sind: 1. Wie schon gesagt das FLRW-Universum mit verschwindender Energiedichte. Das ist eine flache Raumzeit, in der definitiv Energieerhaltung gilt. Es gibt sogar eine schöne Koordinatentrafo von RW nach Minkowski. Trotzdem zeigt deine Ableitung dafür verschwindende Energie an. 2. Das Birkhoff-Theorem. Jede FLRW-Metrik ist kugelsymmetrisch um jeden Punkt. Also ist die Raumzeitgeometrie eines kleinen, sphärischen Ausschnitts in einem ansonsten leeren Universum exakt dieselbe wie im gänzlich gefüllten Universum. Ein kleiner Gas- oder Strahlungsball im leeren Universum unterliegt aber definitiv in beliebig guter Näherung der Energieerhaltung, da kann nicht einfach substanziell Energie verschwinden, wie es nach deiner Schlussfolgerung aber geschehen soll. 3. Meine Rechnung. Sie beweist explizit das, was ich sage. Sie muss also falsch sein, wenn deine Ableiitung stimmt. Das ist natürlich nicht ausgeschlossen, ich bin ja ganz schön eingerostet in diesen Themen. So wahnsinnig kompliziert ist sie aber auch nicht, du kannst mir den etwaigen Fehler bestimmt schnell zeigen. 4. Die Heuristik hinter meiner Rechnung. Also das Beispiel mit den rotverschobenen Photonen vor 3 Beiträgen. Das zeigt unmittelbar und ohne Rechnung, dass über die Grenze mehr fließt als . Zitat: Ich verwende keine speziellen Koordinaten, sondern nur die kovariante Viererdivergenz der Energiestromdichte. (Das ist eine Invariante, also ist auch egal in welchen Koordinaten ich sie berechne.) Dir ist anscheinend nicht klar, was diese Größe mit der Energiebilanz zu tun hat. Vielleicht sollten wir das als erstes klären, denn ich glaube das ist bei weitem der einfachste Zugang zu dem Thema. Das ist wohl nicht der einfachste Zugang, aber gerne. Vielleicht kannst du mir als erstes die Quellendichte im Volumenintegral erklären, da stehe ich auf dem Schlauch. Zitat: Ich vermute, dadurch wird auch deutlicher werden, wo der Fehler in deiner eigenen Bilanzgleichung liegt. Bitte nicht vermuten, sondern zeigen. Auch wenn ich überzeugt bn, Recht zu haben, bin ich umso mehr daran interessiert, eines besseren belehrt zu werden. Dann kann man am meisten lernen.
index_razor	Verfasst am: 25. März 2022 19:35    Titel: Ich hat Folgendes geschrieben: Ich habe mit mäßigem Erfolg versucht, deine Rechnungen und Definitionen aus den letzten Beiträgen nachzuvollziehen. Das ist mir noch nicht gelungen, ich bin leider nicht mehr sehr firm darin. Ich habe auch nicht gefunden, wo du falsch abbiegst. Mir ist aber beim Nachlese eine Aussage von dir ()am 23.3.) aufgefallen, die vielleicht ein Hinweis ist: Zitat: Ganz und gar nicht. Wie gesagt, dann müßtest du auch die Aussage "Das Universum ist homogen und isotrop" für "zu stark" halten. Die basiert nämlich auf exakt denselben Voraussetzungen. Das tust du aber nicht, nehme ich mal an. Dass das Universum homogen ist, ist tatsächlich koordinatenabhängig. Insbesondere ist das Universum ausschließlich in den Koordinaten homogen, in denen der Energiefluß über die Grenze eines mitbewegten Volumens verschwindet. Diese Homogenitätsforderung hast du vielleicht auf alle lokalen Koordinatensysteme verallgemeinert. Solange du meine Behauptungen nicht verstehst, ist es etwas voreilig in ihnen nach Fehlern zu suchen. Ich verwende keine speziellen Koordinaten, sondern nur die kovariante Viererdivergenz der Energiestromdichte. (Das ist eine Invariante, also ist auch egal in welchen Koordinaten ich sie berechne.) Dir ist anscheinend nicht klar, was diese Größe mit der Energiebilanz zu tun hat. Vielleicht sollten wir das als erstes klären, denn ich glaube das ist bei weitem der einfachste Zugang zu dem Thema. Ich vermute, dadurch wird auch deutlicher werden, wo der Fehler in deiner eigenen Bilanzgleichung liegt.
Ich	Verfasst am: 25. März 2022 16:53    Titel: Ich habe mit mäßigem Erfolg versucht, deine Rechnungen und Definitionen aus den letzten Beiträgen nachzuvollziehen. Das ist mir noch nicht gelungen, ich bin leider nicht mehr sehr firm darin. Ich habe auch nicht gefunden, wo du falsch abbiegst. Mir ist aber beim Nachlese eine Aussage von dir ()am 23.3.) aufgefallen, die vielleicht ein Hinweis ist: Zitat: Ganz und gar nicht. Wie gesagt, dann müßtest du auch die Aussage "Das Universum ist homogen und isotrop" für "zu stark" halten. Die basiert nämlich auf exakt denselben Voraussetzungen. Das tust du aber nicht, nehme ich mal an. Dass das Universum homogen ist, ist tatsächlich koordinatenabhängig. Insbesondere ist das Universum ausschließlich in den Koordinaten homogen, in denen der Energiefluß über die Grenze eines mitbewegten Volumens verschwindet. Diese Homogenitätsforderung hast du vielleicht auf alle lokalen Koordinatensysteme verallgemeinert. Ich mache mal die Gegenrechnung: Wir betrachten ein kleines, konstantes sphärisches Volumen mit Radius r. Konstant heißt: nicht mitbewegt, die Vierergeschwindigkeit der Grenze ist parallel zu der des Beobachters im Zentrum. Das Fluid hat an der Grenze eine Relativgescwindigkeit von . Die 0r-Komponente des Energie-Impulstensors kriegt man also durch einen Boost mit v: Der Energiestrom aus dem Volumen ist Die Abnahme der Energiedichte ist also: Hier ist der zusätzliche Term durch den Druck p schon mit eingespeist, weil das Fluid für einen Beobachter am Rand eben nicht mehr homogen und isotrop ist. Die Abnahme der Energiedichte ist also vollständig durch den Fluss über die Grenze erklärt. Anschaulich fließt wie gesagt wegen des Dopplereffekts wärmere Strahlung raus als rein. Der Effekt ist linear in r und t, das hat also nichts mit Raumzeitkrümmung zu tun. Das funktioniert in flacher Raumzeit genauso, z.B. bei vernachlässigbarer Energiedichte (Milne). Das ist dann analog zu Rindler-Koordinaten: Durch eine Koordinatentrafo hast du da ein Gravitationsfeld in flacher Raumzeit, und hier hast du verschwindende Energie in flacher Raumzeit, trotz zeitartigem Killingfeld und allem.
index_razor	Verfasst am: 25. März 2022 07:55    Titel: Ich hat Folgendes geschrieben: Deine Aussage war: index_razor hat Folgendes geschrieben: Aus den Friedmann-Gleichungen folgt aber für die Energiedichte im expandierenden Universum. Also gilt für die Energie ein lokaler "Nichterhaltungssatz" mit negativer Quellendichte. Deshalb ist es schon sinnvoll zu sagen, daß Energie verschwindet. 4. Ich deute deine Aussage so: Weil aus Symmetriegründen keine Energie aus der Oberfläche des betrachteten 3-Volumens austritt, kann man eindeutig sagen, dass hier lokal Energie verschwindet. Nein, das ist nicht der Grund. Die gesamte Energiebilanz ist Das ist immer negativ, egal wie groß der Nettostrom aus dem Volumen ist. Aber wenn er null ist, wie beim mitbewegten Volumen, ist die verlorene Energie natürlich einfach die Differenz der beiden Energien zwischen End- und Anfangszeit, also im homogenen Universum trivial auszurechnen. Man kann also nicht eindeutig sagen, wieviel Energie zwischen zwei Zeiten verlorengegangen ist, weil das nicht nur vom Anfangs- und Endvolumen, sondern auch von dessen Änderung in der Zwischenzeit abhängt. Wenn man einen Strom zur Erhaltungsgröße integriert, richtet man es ja normalerweise so ein, daß alle Ströme aus den Randflächen verschwinden, typischerweise dadurch, daß man sie ins Unendliche verlegt. Das bringt hier natürlich nichts. Aber mitbewegte Volumina bieten sich zu dem Zweck natürlich auch an. Aber egal welches Volumen man wählt, es ist unmöglich, daß exakt soviel Energie ausströmt, wie am Ende weniger vorhanden ist. Also ist deine zentrale Behauptung falsch. Es geht immer Energie verloren. Warum? Die Energiebilanz für mitbewegte Beobachter ist nichts anderes als das Gaußsche Gesetz für das Vektorfeld . Die rechte Seite von (1) ist das Integral über die Quellendichte und der Integrand ist Das ist ein Skalar und für Strahlung überall und zu allen Zeiten negativ. (Die Energie von Staub bleibt aber tatsächlich erhalten.) Das gilt übrigens nicht nur für mitbewegte Beobachter, sondern auch solche die sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zum Hintergrund bewegen. Die stellen eine andere Quellendichte fest, aber sie ist immer noch negativ. Zitat: 5. Ich behaupte, dass diese Aussage koordinatenabhängig ist, und dass bei Verwendung von Normalkoordinaten die Energie einfach aus dem 3-Volumen fließt. Die Photonenenergie nimmt immer noch mit ab, aber das ist ganz einfach damit erklärt, dass energiereichere Photonen austreten und durch energieärmere aus anderen Regionen ersetzt werden. Nein, das kann man eben nicht so erklären. Deine Behauptung ist äquivalent zu Wenn es so wäre, müßte im raumzeitlichen Mittel verschwinden. Es ist aber immer negativ, also ist auch das Integral negativ und selbst nach Abzug des Nettostroms bleibt immer noch eine Differenz übrig. Folglich ist auch die Energiebilanz immer negativ, egal welchen Bereich der Raumzeit du betrachtest. (Es ist erst recht egal, welche Koordinaten du über diesen Bereich legst. In Normalkoordinaten ändert sich daran rein gar nichts.)
Ich	Verfasst am: 24. März 2022 21:53    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Ich hat Folgendes geschrieben: 4. … kann man eindeutig sagen, dass hier lokal Energie verschwindet. 5. Ich behaupte, dass diese Aussage koordinatenabhängig ist … index_razor’s Gleichungen sind aber koordinatenunabhängig, die Energie E[u] ist ein Skalar ;-) Die Energie E[u] ist ja auch immer die selbe, siehe Punkt 1.
TomS	Verfasst am: 24. März 2022 17:02    Titel: Ich hat Folgendes geschrieben: 4. … kann man eindeutig sagen, dass hier lokal Energie verschwindet. 5. Ich behaupte, dass diese Aussage koordinatenabhängig ist … index_razor’s Gleichungen sind aber koordinatenunabhängig, die Energie E[u] ist ein Skalar ;-)
TomS	Verfasst am: 24. März 2022 16:59    Titel: Ich hat Folgendes geschrieben: 4. … kann man eindeutig sagen, dass hier lokal Energie verschwindet. 5. Ich behaupte, dass diese Aussage koordinatenabhängig ist … index_razor’s zuletzt diskutierte Gleichungen sind aber koordinatenunabhängigen ;-)
Ich	Verfasst am: 24. März 2022 16:40    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: Ich hat Folgendes geschrieben: Im Ruhesystem von Punkt 1 hingegen (in nicht expandierenden Koordinaten) sieht die Sache anders aus: Zur Zeit 0 entsteht bei Punkt 1 ein Photon mit Energie f, an Punkt zwei ein um 2dx*f/c rotverschobenes Photon. Nach dt erreichen diese die Grenze, aus Volumen 1 geht ein Photon mit f raus und eins mit f-2dxf/c kommt rein. Deswegen nimmt die Energie in diesem Volumen ab. Nicht, weil sie "verschwindet", sondern weil sie ins Nachbarvolumen rüberströmt. Ich habe keine Ahnung, wie du zu dieser Beschreibung kommst. Du behauptest, die Energie zur späteren Zeit sei für Beobachter 1 um genau den Betrag des Energiestroms aus dem Volumen geringer als zur früheren Zeit. Diese Aussage -- ob richtig oder falsch -- hat jedenfalls nicht das geringste mit irgendwelchen Koordinaten zu tun, sondern damit ob das Integral über die Viererdivergenz der Energistromdichte für diesen Beobachter über den definierten Raumzeitbereich verschwindet, d.h. Das ist eine koordinatenunabhängige Größe. Die Energiestromdichte hängt zwar vom Beobachter ab, aber das ist nicht der Punkt. Die Frage ist, ob es einen Beobachter gibt, für den diese Divergenz verschwindet. Das hast du für das Robertson-Walker-Universum nicht gezeigt und ich denke auch nicht, daß es stimmen kann. Wir reden komplett aneinander vorbei. Nicht verwunderlich, weil ich mich anfangs ja falsch ausgedrückt hatte. Hier nochmal, was ich sagen will: 1. Im strahlungsdominierten Universum geht die Energiedichte für mitbewegte Beobachter wie . Das ist Fakt und hat nichts mit speziellen Koordinaten zu tun. 2. Das bedeutet noch nicht, dass Energie "verschwindet". Ein Faktor kommt alleine von der Vergrößerung des mitbewegten Volumens. 3. Ein weiterer Faktor kommt von der kosmologischen Rotverschiebung der Strahlung. Ich beschäftige mich nur mit diesem Faktor, damit wir nicht in weitere Details abgleiten. So weit ist noch nichts strittig, denke ich. Deine Aussage war: index_razor hat Folgendes geschrieben: Aus den Friedmann-Gleichungen folgt aber für die Energiedichte im expandierenden Universum. Also gilt für die Energie ein lokaler "Nichterhaltungssatz" mit negativer Quellendichte. Deshalb ist es schon sinnvoll zu sagen, daß Energie verschwindet. 4. Ich deute deine Aussage so: Weil aus Symmetriegründen keine Energie aus der Oberfläche des betrachteten 3-Volumens austritt, kann man eindeutig sagen, dass hier lokal Energie verschwindet. 5. Ich behaupte, dass diese Aussage koordinatenabhängig ist, und dass bei Verwendung von Normalkoordinaten die Energie einfach aus dem 3-Volumen fließt. Die Photonenenergie nimmt immer noch mit ab, aber das ist ganz einfach damit erklärt, dass energiereichere Photonen austreten und durch energieärmere aus anderen Regionen ersetzt werden. Und ich behaupte, dass deswegen die eindeutige Aussage, dass lokal Energie verschwinde, "zu stark" ist. Habe ich das richtig wiedergegeben?
TomS	Verfasst am: 23. März 2022 14:49    Titel: Jetzt sind wir uns einig. Ich glaube, du hattest oben geschrieben, man müsse zwei Fragen auseinanderhalten: die Frage nach der Definition der Energie, und die Frage nach ihrer Erhaltung. Das haben wir jetzt aufgedröselt.
index_razor	Verfasst am: 23. März 2022 14:05    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Trotzdem bleibt für mich die Frage, wie du von dem Beobachter sprechen kannst, während du tatsächlich ein Beobachterfeld innerhalb des Volumens hast. Das Feld ergibt sich doch automatisch, wenn ich eine 3dimensionale raumartige Hyperfläche als Integrationsgebiet definiere, nämlich aus der Menge aller zukunftsgerichteten Normalen an diese Fläche. Natürlich hängen alle Schlußfolgerungen im allgemeinen von der Fläche ab und damit auch vom Beobachter. Aber ob ich einen Beobachter plus Gleichzeitgkeits-Hyperfläche oder eine Schar von Beobachtern einführe, macht denke ich, keinen großen Unterschied. (Abgesehen von technischen Fragen, die wahrscheinlich nicht viel mit der Diskussion zu tun haben.) Mindestens zwei solcher Hyperflächen benötige ich nun. Ihre Ränder müssen irgendwie im Vierdimensionalen verbunden sein, damit ich eine geschlossene Oberfläche habe. Die Art dieser Verbindung bestimmt nur wieviel Energie zu welcher Zeit aus- oder einströmt. Wenn diese Oberfläche einmal definiert ist, kann ich eine Energiebilanz für sie aufstellen. (Die Quellendichte im Inneren hängt natürlich auch von der Bewegung der Beobachter im Inneren ab. Ihr Integral aber, wegen des Satzes von Gauß, nicht.) Zitat: Natürlich ist es naheliegend, mitbewegte Beobachter anzusetzen, aber doch nicht zwingend. Betrachten wir z.B. eine Skala, auf der sowohl die Expansion als auch Inhomogenitäten relevant sind, z.B. eine Kugel, die die Sloan Great Wall mit einer Ausdehnung von 1.3 Mrd LJ. enthält. Dann wäre zunächst eine beliebige Schar von Beobachtern zu betrachten, d.h. Dieses Beobachterfeld u muss nicht mitbewegt sein, d.h. es entspricht i.A. nicht der Vierergeschwindigkeit v im Energie-Impuls-Tensor Klar, ich will auch nicht erzwingen mitbewegte Beobachter zu wählen. Ich wollte aber festhalten, daß Aussagen über mitbewegte Beobachter physikalisch sinnvoll und nicht willkürlich sind. Ich habe ja außerdem schon Vermutungen darüber geäußert wie ich mir die Situation von nicht-mitbewegten Beobachtern vorstelle. Solche Beobachter definieren also den Energiestrom mit Dichte Jetzt müßten wir die Gleichzeitigkeitshyperflächen zu zwei verschiedenen Zeiten inklusive Metrik definieren. Außerdem hängt die genaue Form von von der Relativbewegung zur Materie ab und könnte theoretisch orts- und zeitabhängig sein. Die Mantelflächen sollen nun vermutlich enthalten und nicht wie vorher . Dann wird überall aus dem Gebiet strömen, was wir berücksichtigen müssen. (Anders als vorher ist n nun nicht mehr orthogonal zur Vierergeschwindigkeit der Materie.) In das Skalarpodukt geht wieder ein. Wenn konstant ist, wird es, denke ich, auf dieselbe Schlußfolgerung hinauslaufen wie vorher, daß die Energie abnimmt. Aber wenn nicht, wäre das m.E. auch nicht schlimm. Es beweist nicht, daß die ursprüngliche Aussage physikalisch bedeutungslos ist, sondern nur, daß für verschiedene Beobachter verschiedene physikalisch sinnvolle Aussagen gelten, was ja ohnehin oft der Fall ist. Zitat: Würden wir dieses E jetzt als „verallgemeinerte Energie“ bezeichnen? Ich würde es einfach als die von den Beobachtern u gemessene Energie im Volumen V bezeichnen. Bei Energien müssen wir immer sagen auf welche Beobachter sie sich beziehen. Zitat: Was können wir bzgl. der Erhaltung sagen? Für allgemeines u wahrscheinlich nichts. Genau. Aber für allgemeines u können wir nie etwas definitives sagen. Selbst in einem statischen Universum können wir beliebig beschleunigte Beobachter einführen, und die von ihnen gemessene Energie macht im wesentlichen was sie will.
TomS	Verfasst am: 23. März 2022 11:20    Titel: Danke, so macht das bzgl. der Indizes Sinn. Trotzdem bleibt für mich die Frage, wie du von dem Beobachter sprechen kannst, während du tatsächlich ein Beobachterfeld innerhalb des Volumens hast. Natürlich ist es naheliegend, mitbewegte Beobachter anzusetzen, aber doch nicht zwingend. Betrachten wir z.B. eine Skala, auf der sowohl die Expansion als auch Inhomogenitäten relevant sind, z.B. eine Kugel, die die Sloan Great Wall mit einer Ausdehnung von 1.3 Mrd LJ. enthält. Dann wäre zunächst eine beliebige Schar von Beobachtern zu betrachten, d.h. Dieses Beobachterfeld u muss nicht mitbewegt sein, d.h. es entspricht i.A. nicht der Vierergeschwindigkeit v im Energie-Impuls-Tensor Würden wir dieses E jetzt als „verallgemeinerte Energie“ bezeichnen? Was können wir bzgl. der Erhaltung sagen? Für allgemeines u wahrscheinlich nichts.
index_razor	Verfasst am: 23. März 2022 09:47    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: index_razor hat Folgendes geschrieben: [… sondern damit ob das Integral über die Viererdivergenz der Energistromdichte für diesen Beobachter über den definierten Raumzeitbereich verschwindet, d.h. Das ist eine koordinatenunabhängige Größe. Die Energiestromdichte hängt zwar vom Beobachter ab, aber das ist nicht der Punkt. Die Frage ist, ob es einen Beobachter gibt, für den diese Divergenz verschwindet. Das ist sicher ein sinnvoller Ansatz, mir ist aber noch einiges unklar. u ist ein Vektorfeld, d.h. und sinnvollerweise Das ist nicht ganz richtig. Das Integral über den Vektor über ein räumliches Volumen ergibt eine Zahl, keinen Vektor. Du mußt (wie bei Flächenintegralen im Dreidimensionalen) den Intergranden mit der Flächennormalen multiplizieren. Das ist in diesem Fall wieder , also ist das Integral die eingeschlossenen Energie (aus Sicht des Beobachters u). (Wenn du räumliche Impulse ausrechen willst, mußt du über integrieren (wieder mit "Hyperflächenormale" ), wobei nun ebenfalls .) Zitat: ist abhängig von einer Schar von Beobachtern, nicht nur von einem Beobachter. Damit sehe ich aber nicht, wie du von der Energie für einen Beobachter sprechen kannst. Ich muß ja ohnehin voraussetzen, daß für diesen einen Beobachter sowohl zur früheren als auch zur späteren Zeit ein räumliches 3er-Volumen definiert ist, über das er integrieren kann. Alle Ereignisse in diesem Volumen finden für ihn zu einer festen Eigenzeit statt. (Ansonsten handelt es sich aus seiner Sicht nicht um ein "Raumintegral".) Die Vektoren sind dann einfach die Normalenvektoren zu diesem Volumen. Auf der Mantelfläche liegen tangential und ihr Verlauf definiert auf invariante Weise die "Zeitabhängigkeit" des räumlichen Volumens. Insgesamt läuft es immer darauf hinaus, daß ich ein Vierervolumen habe, über dessen Inneres ich (skalare) Divergenzen oder über dessen Rand ich vektorielle Stromdichten integriere. (Laut dem Satz von Gauß jeweils mit demselben koordinatenunabhängigen Ergebnis.) Zitat: Ich sehe auch nicht, wie du eine Energieerhaltung oder deren Verletzung für einen Beobachter diskutieren willst, denn was du eigentlich benötigst, ist die Eigenzeit eines Beobachters sowie diesbzgl. Das hat aber erst mal nichts mit dem von dir genannten Integral zu tun. Doch, du mußt nur V nach der Eigenzeit dieses Beobachters parametrisieren und berücksichtigen, daß bei beliebiger Abhängigkeit V(t) auch Energieströme durch zur Bilanz beitragen. Der Vektor n ist hier normal zur "Mantelfläche" des Vierervolumens, über dessen gesamten Rand integriert wird. Wenn die Energie erhalten ist, verschwindet das komplette Randintegral unabhängig von t. Also ist die Ableitung auch null. Wenn die Energie nicht erhalten ist, ergibt die Ableitung genau die Energie, die pro Eigenzeit für diesen Beobachter im Volumen entsteht oder vernichtet, d.h. nicht durch Ströme durch den Rand verursacht wird.
TomS	Verfasst am: 23. März 2022 08:47    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: [… sondern damit ob das Integral über die Viererdivergenz der Energistromdichte für diesen Beobachter über den definierten Raumzeitbereich verschwindet, d.h. Das ist eine koordinatenunabhängige Größe. Die Energiestromdichte hängt zwar vom Beobachter ab, aber das ist nicht der Punkt. Die Frage ist, ob es einen Beobachter gibt, für den diese Divergenz verschwindet. Das ist sicher ein sinnvoller Ansatz, mir ist aber noch einiges unklar. u ist ein Vektorfeld, d.h. und sinnvollerweise ist abhängig von einer Schar von Beobachtern, nicht nur von einem Beobachter. Damit sehe ich aber nicht, wie du von der Energie für einen Beobachter sprechen kannst. Ich sehe auch nicht, wie du eine Energieerhaltung oder deren Verletzung für einen Beobachter diskutieren willst, denn was du eigentlich benötigst, ist die Eigenzeit eines Beobachters sowie diesbzgl. Das hat aber erst mal nichts mit dem von dir genannten Integral zu tun.
index_razor	Verfasst am: 23. März 2022 07:02    Titel: Ich hat Folgendes geschrieben: Im Ruhesystem von Punkt 1 hingegen (in nicht expandierenden Koordinaten) sieht die Sache anders aus: Zur Zeit 0 entsteht bei Punkt 1 ein Photon mit Energie f, an Punkt zwei ein um 2dx*f/c rotverschobenes Photon. Nach dt erreichen diese die Grenze, aus Volumen 1 geht ein Photon mit f raus und eins mit f-2dxf/c kommt rein. Deswegen nimmt die Energie in diesem Volumen ab. Nicht, weil sie "verschwindet", sondern weil sie ins Nachbarvolumen rüberströmt. Ich habe keine Ahnung, wie du zu dieser Beschreibung kommst. Du behauptest, die Energie zur späteren Zeit sei für Beobachter 1 um genau den Betrag des Energiestroms aus dem Volumen geringer als zur früheren Zeit. Diese Aussage -- ob richtig oder falsch -- hat jedenfalls nicht das geringste mit irgendwelchen Koordinaten zu tun, sondern damit ob das Integral über die Viererdivergenz der Energistromdichte für diesen Beobachter über den definierten Raumzeitbereich verschwindet, d.h. Das ist eine koordinatenunabhängige Größe. Die Energiestromdichte hängt zwar vom Beobachter ab, aber das ist nicht der Punkt. Die Frage ist, ob es einen Beobachter gibt, für den diese Divergenz verschwindet. Das hast du für das Robertson-Walker-Universum nicht gezeigt und ich denke auch nicht, daß es stimmen kann. Zitat: Der Punkt ist nun, dass das lokal eine gültige und wie gesagt per se kanonische Art ist, den Vorgang zu betrachten. Ob die beiden Punkte teil einer klassische Explosion oder eines expandierenden Universums sind, macht lokal exakt gar keinen Unterschied. Ob lokal Energie verschwindet oder nicht, ist mithin Ansichtssache - wenn man "normale" Koordinaten verwendet, verschwindet auf jeden Fall nichts. Das hat auch nichts damit zu tun, ob das Universum expandiert oder nicht, sondern nur mit den lokal verwendeten Koordinaten. Nein, das ist falsch, besonders die letzten beiden Behauptungen. Ob lokal Energie verschwindet, hat absolut mit der Frage zu tun ob das Universum expandiert und überhaupt nichts mit der Wahl der Koordinaten. Allgemeiner hat es mit der völlig koordinatenunabhängigen Frage zu tun ob auf der Raumzeit ein zeitartiges Killingfeld existiert, m.a.W. ob die Raumzeit statisch ist. Dann (und nur dann?) ist der lokale Strom erhalten, es gilt also exakt bzw. . Im expandierenden Universum gibt es kein solches Feld, also auch keinen zugehörigen erhaltenen Strom. (Ich setze hier voraus, daß die Umkehrung des Noether-Theorems gilt.) Das heißt dann die Quellendichte ist für jeden Beobachter mit Vierergeschwindigkeit u irgendwo ungleich null. Daran ändern auch Normalkoordinaten nichts, weil es eine koordinatenunabhängige Aussage ist. Zitat: Also ist die Aussage richtig, dass in mitbewegten Koordinaten Energie verschwindet. Die Aussage, dass in einem expandierenden Universum (ohne expliziten Bezug auf die verwendeten Koordinaten) lokal Energie verschwindet, ist aber zu stark. Ganz und gar nicht. Wie gesagt, dann müßtest du auch die Aussage "Das Universum ist homogen und isotrop" für "zu stark" halten. Die basiert nämlich auf exakt denselben Voraussetzungen. Das tust du aber nicht, nehme ich mal an. Bezug nehmen muß ich übrgens nur auf Beobachter, nicht auf Koordinaten. Das muß ich aber seit jeher, wenn ich von Energiebilanzen reden will, nicht erst in der ART, sondern schon in der Newtonschen Mechanik. Energieerhaltung bedeutet immer, daß es bestimmte Beobachter gibt, für die sich die Gesamtenergie zu keiner Zeit ändert. Meine koordinatenunabhängige, rein physikalische Behauptung ist, daß es solche Beobachter im Robertson-Walker-Universum nicht gibt. Ich vermute auch, daß für alle frei fallenden Beobachter (die beschleunigten sind ohnehin uninteressant) im Laufe der Zeit Energie verschwindet. Da bin ich mir aber nicht sicher. (Die Aufgabe hier wäre jedenfalls für den Energie-Impulstensor so eine Schar von Beobachtern zu definieren, für die die Divergenz von verschwindet oder im Mittel irgendwo nicht-negativ ist.) Ich bin mir aber sicher, daß für alle Beobachter, denen das Universum homogen erscheint, die Energie im Laufe der Zeit abnimmt. Das ist ein physikalisches Faktum, und es ist unabhängig von den Koordinaten, die diese Beobachter verwenden.
Ich	Verfasst am: 22. März 2022 21:16    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: Man kann es auch so sehen: das mitbewegte Volumen skaliert mit , die Energiedichte von Strahlung aber z.B. mit . Also enthält das spätere Volumen nur noch den Anteil der ursprünglich vorhandenen Strahlungsenergie, obwohl nichts davon aus dem Volumen geströmt ist. Weil ich mich vorher falsch ausgedrückt hatte, steige hier mit einem Beispiel ein, das klar macht, worauf ich mit den Normalkoordinaten hinauswill. Wir nehmen mal vereinfacht als Beispiel zwei mitbewegte Punkte mit Abstand 2dx (zur Zeit 0). Bei dx ist die Grenze der jeweiligen mitbewegten Volumina. Beide Punkte senden zur Zeit 0 ein Photon (Frequenz f im jeweiligen Ruhesystem) zum anderen Punkt. In mitbewegten Koordinaten erreichen die Photonen die Grenze nach dt=dx/c und sind je um Hdt*f rotverschoben. Also verlässt netto keine Energie die Volumina, trozdem sinkt die Energiedichte, weil jedes Photon mit der Zeit quasimagisch Energie verliert. Im Ruhesystem von Punkt 1 hingegen (in nicht expandierenden Koordinaten) sieht die Sache anders aus: Zur Zeit 0 entsteht bei Punkt 1 ein Photon mit Energie f, an Punkt zwei ein um 2dx*f/c rotverschobenes Photon. Nach dt erreichen diese die Grenze, aus Volumen 1 geht ein Photon mit f raus und eins mit f-2dxf/c kommt rein. Deswegen nimmt die Energie in diesem Volumen ab. Nicht, weil sie "verschwindet", sondern weil sie ins Nachbarvolumen rüberströmt. Der Punkt ist nun, dass das lokal eine gültige und wie gesagt per se kanonische Art ist, den Vorgang zu betrachten. Ob die beiden Punkte teil einer klassische Explosion oder eines expandierenden Universums sind, macht lokal exakt gar keinen Unterschied. Ob lokal Energie verschwindet oder nicht, ist mithin Ansichtssache - wenn man "normale" Koordinaten verwendet, verschwindet auf jeden Fall nichts. Das hat auch nichts damit zu tun, ob das Universum expandiert oder nicht, sondern nur mit den lokal verwendeten Koordinaten. Also ist die Aussage richtig, dass in mitbewegten Koordinaten Energie verschwindet. Die Aussage, dass in einem expandierenden Universum (ohne expliziten Bezug auf die verwendeten Koordinaten) lokal Energie verschwindet, ist aber zu stark.
TomS	Verfasst am: 22. März 2022 14:21    Titel: Danke. Für das homogene und isotrope Universum und für mitbewegte Beobachter ist das sicher sinnvoll. Ich habe nur immer Bauchschmerzen, da es sich eben um eine koordinaten- und beobachterabhängige Aussage geht, durchchecken nicht vernünftig verallgemeinern kann.
index_razor	Verfasst am: 21. März 2022 21:13    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Und die zweite Frage ist, wie man die Effekte eines expandierenden Volumens von der abnehmenden Energiedichte trennt Wenn die Gesamtenergie im Volumen zur späteren Zeit kleiner ist, als zur früheren Zeit, gibt es nur zwei Möglichkeiten. Entweder gab es in der Zwischenzeit einen Energiestrom aus dem Volumen V(t) heraus oder Energie ist verschwunden. Aus dem mitbewegten Volumen strömt aber nichts heraus (die Energiestromdichte ist überall null). Also muß (aus Sicht der mitbewegten Beobachter) Energie verschwunden sein. Man kann es auch so sehen: das mitbewegte Volumen skaliert mit , die Energiedichte von Strahlung aber z.B. mit . Also enthält das spätere Volumen nur noch den Anteil der ursprünglich vorhandenen Strahlungsenergie, obwohl nichts davon aus dem Volumen geströmt ist.
TomS	Verfasst am: 20. März 2022 11:25    Titel: Ich hat Folgendes geschrieben: TomS hat Folgendes geschrieben: Siehe oben. Mich würde interessieren, wie du ein endliches Volumen physikalisch sinnvoll definierst. Das ist für die Energiedichte eigentlich egal. s.o. - es geht um die Energie. Ich hat Folgendes geschrieben: Wenn man ein "repräsentatives Stück Universum" haben will, dann sollten die Grenzen mitbewegt sein. s.o. - habe ich so angesetzt. Dann ist die erste Frage, ob die so definierte Größe eine Energie mit geeigneten Transformationseigenschaften d.h. die Null-Komponente eines Vierervektors ist. Und die zweite Frage ist, wie man die Effekte eines expandierenden Volumens von der abnehmenden Energiedichte trennt (das o.g. expandierende Volumen ist z.B. thermodynamisch nicht abgeschlossen). (wieder zunächst speziell für ein flaches, dann für ein nicht-flaches und zuletzt für ein inhomogenes, jeweils expandieres Universum).
index_razor	Verfasst am: 20. März 2022 11:20    Titel: Ich hat Folgendes geschrieben: index_razor hat Folgendes geschrieben: Wieso "eigentlich"? Ich spreche immer noch von einer Energiedichte, genauer gesagt von der Energiedichte von Materie und Strahlung. Weil du später, im zitierten Beitrag, von einer Gesamtenergie gesprochen hast. Die finde ich noch deutlich schwieriger. Ich auch, deswegen habe ich es ja danach auch etwas ausführlicher erklärt ohne, daß sich m.E. an der Schlußfolgerung viel ändert. Zitat: Zitat: Ich hat Folgendes geschrieben: Ich hielt nur die Aussage, dass die Energie einfach "verschwindet" für zu stark, weil sie wie gesagt koordinatenabhängig ist. Man kann z.B. in jeder Umgebung Normalkoordinaten einführen, in denen wiederum nichts verschwindet. Das kannst du aber auch in Normalkoordinaten nur in einem einzigen Ereignis garantieren (oder wegen der Homogenität womöglich auch an verschiedenen Orten zu fester Zeit), aber nicht in der ganzen Umgebung. In dieser gilt folglich auch die Gl. nicht überall. In Normalkoordinaten ist das Universum nicht homogen. Energieerghaltung gilt natürlich nie exakt, weil die ART eben keine Gravitationsenergie kennt. Aber der Term verschwindet. Ich denke du hast meinen Einwand mißverstanden. Mit der Homogenität wollte ich dir sogar noch entgegen kommen. Ansonsten verschwindet höchstens in einem Ereignis. Das macht noch keinen lokalen Erhaltungssatz. Ich denke mit der Homogenität kann man zumindest erreichen, daß überall zu einem Zeitpunkt. Das reicht aber immer noch nicht. Zitat: Und wenn man ein Gravitationspotential eiführt (was man in diesen quasistatischen Koordinaten ja kann), dann hat man in ich weiß nicht wievielter Näherung die Energie erhalten. In erster Näherung, d.h. bis auf Vernachlässigung von Krümmungstermen. Mehr können auch Normalkoordinaten natürlich nicht liefern. Das ist genau was ich schreibe. Aber das ist natürlich äquivalent zur Aussage, daß die Energie ab zweiter Ordnung nicht mehr erhalten ist, was wiederum nur eine präzisere Formulierung der Tatsache ist, daß kein lokaler Erhaltungssatz gilt. Ein lokaler Erhaltungssatz besagt, daß an jedem Ort zu jeder Zeit gilt, nicht nur in einem Ereignis oder zu einem Zeitpunkt. Zitat: Zitat: Ich setze also Beobachter voraus, für die räumlich konstant ist. (Ansonsten müßte ich ohnehin noch die Energiestromdichte mit in die Bilanzgleichung aufnehmen.) Kannst du ja machen, und wenn du ein Koordinatensystem einführst, in dem diese Beobachter ruhen (obwohl sie sich de facto auseinanderbewegen), dann ist die Energie in der von dir beschriebenen Weise nicht erhalten. Ich führe ein Koordinatensystem ein, in dem das Universum homogen erscheint, was es de facto ist. Dann verschwinden alle räumlichen Ableitungen in der Bilanzgleichung und übrig bleibt Aus der Friedmanngleichung folgere ich dann, daß der Quellterm negativ ist. Folglich nimmt die räumlich konstante Energiedichte überall ab. Auch wenn ich also keine Gesamtenergie mathematisch definieren kann, ist es sinnvoll zu behaupten, daß Energie verschwindet. Zitat: Wenn du andere Koordinaten einführst, gilt das aber nicht. Deswegen ist die Aussage, dass Energie einfach verschwindet, für mich ja auch nicht falsch. Aber zu stark, weil sie sich nach physikalischem Faktum, also invarianter Tatsache, anhört. Es ist ein physikalisches Faktum, genauso wie die Homogenität des Robertson-Walker-Universum oder die Tatsache, daß z.B. der Minkowskiraum oder die Schwarzschildmetrik statisch sind, physikalische Fakten sind. Andere Koordinaten können diese Tatsachen nur verschleiern, aber nichts an ihnen ändern. Wenn wir von der lokalen Energiebilanz in irgendeiner dieser Raumzeiten reden wollen, verwenden wir immer Koordinaten, die an ihre Symmetrien angepaßt sind. Darauf hast du oben selbst hingeweisen. Ansonsten können wir auch im Minkowskiraum plötzlich die Energiebilanzgleichung verletzen. Die Symmetrien des Robertson-Walker-Universums zeichnen eine Klasse von "mitbewegten" Beobachtern aus. Ich wähle also nicht einfach irgendein Koordinatensystem, sondern eines, dessen Zeitachse durch die Vierergeschwindigkeiten dieser Beobachter gegeben ist. Dadurch ist meine Aussage weniger willkürlich, als du sie darstellst. Natürlich ändert sich der Quellterm, wenn ich ändere, wie in statischen Raumzeiten auch. Er kann aber niemals überall verschwinden oder überall nicht-negativ sein (letzteres vermute ich jedenfalls, habe ich aber nicht bewiesen, aber daß er nicht überall null sein kann ist klar). Das einzige was er überall sein kann, ist negativ. Deswegen halte ich es durchaus für sinnvoll zu sagen, daß die Energie im expandierenden homogenen Universum verschwindet.
Ich	Verfasst am: 20. März 2022 10:57    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Siehe oben. Mich würde interessieren, wie du ein endliches Volumen physikalisch sinnvoll definierst. Das ist für die Energiedichte eigentlich egal. Wenn man ein "repräsentatives Stück Universum" haben will, dann sollten die Grenzen mitbewegt sein.
TomS	Verfasst am: 20. März 2022 10:11    Titel: Siehe oben. Mich würde interessieren, wie du ein endliches Volumen physikalisch sinnvoll definierst.
Ich	Verfasst am: 19. März 2022 23:23    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: Wieso "eigentlich"? Ich spreche immer noch von einer Energiedichte, genauer gesagt von der Energiedichte von Materie und Strahlung. Weil du später, im zitierten Beitrag, von einer Gesamtenergie gesprochen hast. Die finde ich noch deutlich schwieriger. Zitat: Ich hat Folgendes geschrieben: Ich hielt nur die Aussage, dass die Energie einfach "verschwindet" für zu stark, weil sie wie gesagt koordinatenabhängig ist. Man kann z.B. in jeder Umgebung Normalkoordinaten einführen, in denen wiederum nichts verschwindet. Das kannst du aber auch in Normalkoordinaten nur in einem einzigen Ereignis garantieren (oder wegen der Homogenität womöglich auch an verschiedenen Orten zu fester Zeit), aber nicht in der ganzen Umgebung. In dieser gilt folglich auch die Gl. nicht überall. In Normalkoordinaten ist das Universum nicht homogen. Energieerghaltung gilt natürlich nie exakt, weil die ART eben keine Gravitationsenergie kennt. Aber der Term verschwindet. Und wenn man ein Gravitationspotential eiführt (was man in diesen quasistatischen Koordinaten ja kann), dann hat man in ich weiß nicht wievielter Näherung die Energie erhalten. Zitat: Ich setze also Beobachter voraus, für die räumlich konstant ist. (Ansonsten müßte ich ohnehin noch die Energiestromdichte mit in die Bilanzgleichung aufnehmen.) Kannst du ja machen, und wenn du ein Koordinatensystem einführst, in dem diese Beobachter ruhen (obwohl sie sich de facto auseinanderbewegen), dann ist die Energie in der von dir beschriebenen Weise nicht erhalten. Wenn du andere Koordinaten einführst, gilt das aber nicht. Deswegen ist die Aussage, dass Energie einfach verschwindet, für mich ja auch nicht falsch. Aber zu stark, weil sie sich nach physikalischem Faktum, also invarianter Tatsache, anhört.
index_razor	Verfasst am: 19. März 2022 18:51    Titel: Ich hat Folgendes geschrieben: index_razor hat Folgendes geschrieben: Es gibt aber trotzdem eine ausgezeichnete Klasse von Beobachtern, nämlich die, für die das Universum homogen und isotrop ist. Deswegen halte ich es trotzdem für sinnvoll zu behaupten, daß die Gesamtenergie im expandierenden Robertson-Walker-Universum abnimmt. (Auf diese Beobachter habe ich auch meine Bilanzgleichung bezogen, d.h. etc.) Du hast eigentlich von einer lokalen Energiedichte gesprochen, un da gehe ich gerne mit, dass die im Friedmann-Universum kleiner wird. Wieso "eigentlich"? Ich spreche immer noch von einer Energiedichte, genauer gesagt von der Energiedichte von Materie und Strahlung. Zitat: Ich hielt nur die Aussage, dass die Energie einfach "verschwindet" für zu stark, weil sie wie gesagt koordinatenabhängig ist. Man kann z.B. in jeder Umgebung Normalkoordinaten einführen, in denen wiederum nichts verschwindet. Das kannst du aber auch in Normalkoordinaten nur in einem einzigen Ereignis garantieren (oder wegen der Homogenität womöglich auch an verschiedenen Orten zu fester Zeit), aber nicht in der ganzen Umgebung. In dieser gilt folglich auch die Gl. nicht überall. (Ansonsten müßte in der ganzen Umgebung die Raumzeit flach sein.) Sicher gibt es Koordinaten, in denen auch mal positiv sein kann. (Auch wenn dies höchstwahrscheinlich keine Normalkoordinaten sein werden.) Aber wie gesagt, Voraussetzung meiner Behauptung war ohnehin die Homogenität. Ich setze also Beobachter voraus, für die räumlich konstant ist. (Ansonsten müßte ich ohnehin noch die Energiestromdichte mit in die Bilanzgleichung aufnehmen.)
Ich	Verfasst am: 19. März 2022 18:32    Titel: Superjochen hat Folgendes geschrieben: Hat die lokale Energieabnahme eigentlich irgendwelche praktischen Konsequenzen? Es hilft zum Beispiel, dass die Hintergrundstrahlung nur mehr 2,7 K heiß ist, nicht 3000 K. Aber nicht überbewerten: diese Abnahme der lokalen Energiedichte ist tatsächlich kein lokaler Effekt, sondern beruht darauf, dass diese Strahlung von weit her kommrt aus Regionen, die relativ zu uns bewegt sind. Wenn man "lokal" im engen Sinne nimmt, merkt man nichts davon. Man würde nie expandierende Koordinaten hernehmen, um lokale Physik zu beschreiben. also gilt da auch die Energieerhaltung.
index_razor	Verfasst am: 19. März 2022 18:25    Titel: Superjochen hat Folgendes geschrieben: Danke für eure Erklärungen. Ic denke, ich kann Ihnen halbwegs folgen. Meine Frage mit der Gesamtenergie stellte ich, da sowohl in Wikipedia als auch hier im Forum stand (glaube in Beiträgen des Mods TomS), das die gesamte Energie nicht definierbar ist. Hat die lokale Energieabnahme eigentlich irgendwelche praktischen Konsequenzen? Es stimmt, daß sich im allgemeinen keine Gesamtenergie definieren läßt. Das trifft wohl auch auf unser Universum zu. Die Sache wird auch noch dadurch komplizierter, daß man das Gravitationsfeld nicht einfach aus der Bilanz entfernen kann, obwohl man ihm nicht mal eine Energiedichte zuordnen kann. (Ein schwarzes Loch hat z.B. eine Masse und damit eine Energie, obwohl es sich um eine Vakuumlösung handelt, also überall in der Schwarzschildraumzeit die Energiedichte verschwindet.) Im allgemeinen ist die Definition einer Gesamtenergie nur sinnvoll, wenn die Raumzeit im Unendlichen frei von Materie ist. Wenn einfach überall Materie ist, geht das nicht. In gewisser Weise ist es nun natürlich auch sinnlos zu behaupten, eine nicht definierte Größe würde mit der Zeit abnehmen. Aber das bedeutet eben noch nicht, daß gar keine weiteren sinnvollen Aussagen mehr möglich sind. Wie gesagt, haben wir es ja mit einem homogenen, isotropen Universum zu tun. Das heißt es gibt zumindest Beobachter, die lokal beurteilen können, wie sich die Energiedichte der Materie und Strahlung ändert und dabei ausschließen können, daß dies z.B. lediglich an ihrer eigenen Bewegung relativ zur Hintergrundstrahlung liegt. Wenn jeder dieser Beobachter feststellt, daß in seiner Umgebung die Summe aus Materie- und Strahlunsgenergie abnimmt, dann ist das eine sinnvolle Aussage über das gesamte Universum, die man m.E. mit gutem Recht als Abnahme seiner Gesamtenergie bezeichnen kann.

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