index_razor |
Verfasst am: 03. März 2022 10:03 Titel: |
|
Bei der Legendre-Transformation nimmt man eine Funktion f(x) und konstruiert eine andere Funktion g von der Variablen f'. Das ganze hat oberflächlich erstmal wenig mit einer Transformation auf Kugelkoordinaten zu tun, bei der man lediglich Punkte x transformiert. Man kann natürlich die Legendre-Transformation auch als spezielle Koordinatentransformation in einem abstrakten Raum auffassen, dessen Punkte die unabhängigen Variablen x, die abhängigen Variablen f und deren Ableitungen erster Ordnung nach x repräsentieren. Die spezielle Form dieser Abbildung LT hat dann zur Folge, daß sie den differentiellen Zusammenhang zwischen den Variablen invariant läßt. Diese Eigenschaft ist natürlich notwendig, damit tatsächlich eine Funktion von p mit der Ableitung ist. Diese Eigenschaft ist ja genau, was man in den genannten Fällen benötigt: in der Mechanik will man von der geschwindigkeitsabhängigen Lagrangefunktion zur impulsabhängigen Hamiltonfunktion übergehen. In der Thermodynamik will man ein Potential (also eine Zustandsgröße), das von einer extensiven Variablen abhängt in ein anderes Potential transformieren, das von einer intensiven Größe abhängt oder umgekehrt. |
|