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TomS	Verfasst am: 18. Jan 2022 22:59    Titel: Physiker1.1 hat Folgendes geschrieben: Ich denke mal das geht über die Potenzreihenentwicklung der e-Funktion. Genau.
Physiker1.1	Verfasst am: 18. Jan 2022 21:04    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: Ja, wie gesagt, der Zeitentwicklungsoperator ist Dafür solltest du vielleicht noch eine Begründung angeben. Aber ich denke mehr Formalismus mußt du eigentlich für die Aufgabe nicht extra einführen. Alles klar, dann vielen Dank für die Hilfe! Die Relation werde ich bei Gelegenheit beweisen, wenn ich die Zeit dafür finde. Ich denke mal das geht über die Potenzreihenentwicklung der e-Funktion. Das hattest Du ja auch weiter oben schonmal angerissen.
index_razor	Verfasst am: 18. Jan 2022 10:02    Titel: Ja, wie gesagt, der Zeitentwicklungsoperator ist Dafür solltest du vielleicht noch eine Begründung angeben. Aber ich denke mehr Formalismus mußt du eigentlich für die Aufgabe nicht extra einführen. Damit rechnest du jetzt also in der -Basis aus. Die Wahrscheinlichkeit ist der Koeffizient vor .
Physiker1.1	Verfasst am: 17. Jan 2022 19:05    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Nein, der Ansatz ist bis auf eine Kleinigkeit völlig korrekt. Du hast und vertauscht. So würde das für die Heisenberg-Gleichung als Bewegungsgleichung eines Operators im Heisenbergbild gelten; wir reden hier jedoch von der Zeitentwicklung eines Dichteoperators im Schrödingerbild, der den Zustand des Systems beschreibt. Danke, das hatte ich tatsächlich verwechselt. Also ich schreib mal hin, wie ich das verstanden habe (nur den Ansatz, das stumpfe Ausrechnen bekomme ich dann hoffentlich alleine hin): Dabei ist bei mir Außerdem ist Das setze ich dann ein in die Formel für die zeitentwickelte Dichtematrix. Die p_i bleiben dann einfach die von der Dichtematrix bei t=0 und so sollte ich am Ende eine 2x2 Matrix rausbekommen, deren Diagonaleinträge die Wahrscheinlichekeiten für a_1 und a_2 sind. Stimmt das so? Danke für die Hilfe!
index_razor	Verfasst am: 17. Jan 2022 18:17    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Mit der sehr nützlichen Identität - darfst du zur Übung gerne beweisen - kannst du deinen Zeitentwicklungsoperator explizit ausrechnen. Übrigens, für den Fragesteller ist vielleicht auch interessant, daß man diese Identität im vorliegenden Fall auch leicht direkt, ohne Umweg über die Pauli-Matrizen zeigen kann. Mit (ich spare mir mal die Diracschreibweise, links stehen immer Kets, rechts Bras), kann man ja leicht sehen, daß für gerade Potenzen von gilt Der letzte Schritt gilt, weil vollständig ist. Für ungerade Potenzen gilt Damit folgt auch über die Taylorreihen von Kosinus und Sinus
index_razor	Verfasst am: 17. Jan 2022 16:51    Titel: Re: Dichtematrix - Zeitentwicklung TomS hat Folgendes geschrieben: index_razor hat Folgendes geschrieben: Am einfachsten ist es wohl, wenn du H erstmal diagonalisierst und in der Energieeigenbasis darstellst. Würde ich nicht machen - s.o. - ist aber letztlich Geschmacksache. Kommt vielleicht darauf an, wie man es macht. In welcher Basis H diagonal ist, sieht man fast ohne Nachdenken. Falls ich mich nicht verrechnet habe, ist und Damit kann man ja recht leicht ausrechnen.
TomS	Verfasst am: 17. Jan 2022 16:29    Titel: Re: Dichtematrix - Zeitentwicklung index_razor hat Folgendes geschrieben: Am einfachsten ist es wohl, wenn du H erstmal diagonalisierst und in der Energieeigenbasis darstellst. Würde ich nicht machen - s.o. - ist aber letztlich Geschmacksache.
index_razor	Verfasst am: 17. Jan 2022 16:26    Titel: Re: Dichtematrix - Zeitentwicklung Physiker1.1 hat Folgendes geschrieben: Meine Ideen: Ich habe versucht mit der Zeitentwicklung der Dichtematrix zu rechnen, also mit wobei U der Zeitentwicklungsoperator mit ist. Damit bin ich allerdings nicht weitergekommen. Ich bin mir nicht mal sicher, ob ich U in diesem Fall so darstellen darf, weil mein Hamiltonian ja eigentlich zeitabhängig ist, wenn ich die Zustände zeitentwickle, oder? Nein, H ist nicht zeitabhängig. Die Darstellung ist also zulässig. Am einfachsten ist es wohl, wenn du H erstmal diagonalisierst und in der Energieeigenbasis darstellst.
TomS	Verfasst am: 17. Jan 2022 16:21    Titel: Nein, der Ansatz ist bis auf eine Kleinigkeit völlig korrekt. Eines in einer bestimmten Basis diagonalen Dichteoperators lautet wobei die Projektoren für t = 0 gegeben sind durch Und mit der Zeitentwicklung der Zustände gemäß folgt die Zeitentwicklung des Dichteoperators gemäß der von-Neumann-Gleichung Du hast und vertauscht. So würde das für die Heisenberg-Gleichung als Bewegungsgleichung eines Operators im Heisenbergbild gelten; wir reden hier jedoch von der Zeitentwicklung eines Dichteoperators im Schrödingerbild, der den Zustand des Systems beschreibt. Dein Hamiltonian ist außerdem nicht zeitabhängig. Er lautet schlicht bzw. in Matrixschreibweise unter Verwendung der Pauli-Matrix Die Definition erfolgt mittels der Basisvektoren für t=0. Mit der sehr nützlichen Identität - darfst du zur Übung gerne beweisen - kannst du deinen Zeitentwicklungsoperator explizit ausrechnen. Der Rest ist dann triviale Algebra. steht für das Skalarprodukt aus einem beliebigen Einheitsvektor und dem Vektor der Paulimatrizen. In deinem Fall gilt
Physiker1.1	Verfasst am: 17. Jan 2022 15:23    Titel: Dichtematrix - Zeitentwicklung Meine Frage: Hallo, ich habe in dieser Aufgabe Folgendes gegeben: Einen Hamiltonian des betrachteten quantenmechanischen Systems: geschrieben in der Basis . Dabei sind die Zustände durch die (nicht entarteten) Eigenwerte eines eines Operators A gekennzeichnet. Zur Zeit t=0 ist die Dichtematrix als gegeben. Man soll nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass man a_1 als Ergebnis bekommt, wenn man A zu einem späteren Zeitpunkt t misst. Meine Ideen: Ich habe versucht mit der Zeitentwicklung der Dichtematrix zu rechnen, also mit wobei U der Zeitentwicklungsoperator mit ist. Damit bin ich allerdings nicht weitergekommen. Ich bin mir nicht mal sicher, ob ich U in diesem Fall so darstellen darf, weil mein Hamiltonian ja eigentlich zeitabhängig ist, wenn ich die Zustände zeitentwickle, oder? Kann mir jemand helfen?

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