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TomS	Verfasst am: 11. Jan 2022 13:37    Titel: Oder ausführlich. Sei im folgenden Zunächst gilt Für die Taylorentwicklungen gilt Und damit insgesamt
TomS	Verfasst am: 11. Jan 2022 12:45    Titel: Mathefix hat Folgendes geschrieben: Dieser "Coriolis Term" in Deiner Herleitung stimmt nicht mit dem (richtigen) Ergebnis des Coriolis Ansatzes überein. Doch, natürlich. Ich schrieb oben Zitat: Der erste Term entspricht genau dem Winkel, den der Abwurfpunkt während der Flugphase bis zum höchsten Punkt überstreicht; der zweite Term liefert für die Abweichung den selben Wert wie die Rechnung mittels Corioliskraft. Daraus erklärt sich ein weiterer Faktor zwei, um von meiner Flugphase bis zum höchsten Punkt zu deinem Mathefix hat Folgendes geschrieben: für Steigen und Fallen zu gelangen. Ich betrachte die Hälfte der Bahn und erhalte demnach die Hälfte der Abweichung. (ich bezeichne den Breitengrad mit theta, du mit phi) Mathefix hat Folgendes geschrieben: Würdest Du mir bitte die Plausibilität Deiner Gleichung mit erklären. Bei mir gilt d.h. der Radius r(t), bei dem sich der Stein zum Zeitpunkt t befindet, entspricht dem Radius r_0 am Abwurfpunkt plus der Höhe h(t) über dem Abwurfpunkt. Ich verwende die Taylorreihe bis erste Ordnung Außerdem gilt da aber h/r bzw. h/r_0 bereits die Terme erster Ordnung sind, ist der letzte Term schon eine Korrektur zweiter Ordnung, und daher in erster Ordnung. Warum setzt du an? Der Wurf erfolgt doch nach oben.
Mathefix	Verfasst am: 11. Jan 2022 10:59    Titel: Dieser "Coriolis Term" in Deiner Herleitung stimmt nicht mit dem (richtigen) Ergebnis des Coriolis Ansatzes überein. Würdest Du mir bitte die Plausibilität Deiner Gleichung mit erklären.
TomS	Verfasst am: 11. Jan 2022 00:03    Titel: Hier die vollständige Rechnung unter Berücksichtigung des Breitengrades theta. Drehimpulserhaltung: Einsetzen liefert Der erste Term entspricht genau dem Winkel, den der Abwurfpunkt während der Flugphase bis zum höchsten Punkt überstreicht; der zweite Term liefert für die Abweichung den selben Wert wie die Rechnung mittels Corioliskraft. Energieerhaltung: Die Näherung ist anschaulich klar. Damit folgt Die Berechnung der insgesamt zurückgelegten Strecke als Summe der Strecke für den Abwurfpunkt und der Differenzstrecke, um die der Stein hinter dem Abwurfpunkt zurückbleibt, folgt mittels Vorteil: kein rotierendes Bezugsystem, keine Corioliskraft, keine komplizierte Bewegungsgleichung, lediglich Anwendung von Erhaltungssätzen; das Zurückbleiben des Steins folgt letztlich aus der Drehimpulserhaltung. Anmerkungen: nur gültig für kleine Höhen und damit genügend kleine Abwurfgeschwindigkeiten; dies ist für den senkrechten Wurf eines Steins auf der Erde sicher erfüllt.
TomS	Verfasst am: 10. Jan 2022 23:19    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Zu 1. Der Breitengrad theta wird berücksichtigt, indem man in allen Formeln die Ersetzung durchführt. Das war falsch. Und daher hat @Mathefix recht, es würde folgen Mathefix hat Folgendes geschrieben: … ergibt dann [und] das stimmt dann nicht mit der Coriolis-Herleitung überein. Man muss für jede Stelle prüfen, ob und wie man den Cosinus einführen muss. Das ist zunächst der Fall beim Drehimpuls sowie bei der kinetischen Energie. Letzteres wirkt sich nur in der Ordnung h/r aus, die man ohnehin vernachlässigt. Ersteres kürzt sich exakt weg, wenn man das Verhältnis der Radien berechnet. Damit bleibt das bisherige Ergebnis für den Winkel phi für beliebige Breitengrade und kleine Höhen korrekt: Zuletzt muss man den Cosinus bei der Berechnung der Strecke einführen. Es folgt Der erste Term beschreibt den vom Abwurfpunkt zurückgelegten Weg, der zweite die Differenz. Das Ergebnis stimmt mit der Berechnung über die Corioliskraft überein. Durch die Diskussion ist das ziemlich unübersichtlich geworden. Ich stelle morgen nochmal die um den Effekt des Breitengrades vervollständigte Rechnung ein.
TomS	Verfasst am: 10. Jan 2022 16:22    Titel: Mathefix hat Folgendes geschrieben: ... obwohl Dein Endergebnis falsch ist? Ich geb's auf. Es ist nicht falsch, sondern lediglich bzgl. des Breitengrades unvollständig; wie gesagt, ich muss mir das noch genauer ansehen. Was du hier kritisierst ist eine völlig korrekte Taylorreihe, die mit dem Breitengrad nichts zu tun hat.
Qubit	Verfasst am: 10. Jan 2022 15:53    Titel: Im Inertialsystem kann man das Problem auch vereinfacht in Polarkoordinaten ausdrücken und bekommt dann zwei Bewegungsgleichungen für die radiale und azimutale Richtung (im Inertialsystem): Die Komponenten "mischen" dann in radialer und azimutaler Richtung: und Hier ist dann bei Beachtung der geographischen Breite (in Nähe Erdoberfläche): [[man bekommt auch eine Kraftkomponente in Nord-Süd-Richtung, die hier unbeachtet bleibt]] Aus Glg. (1) bekommt man nun die radiale Lösung [[wenn man den zweiten Term (~Zentripetalkraft) vernachlässigt]]: Ausserdem gilt Drehimpulserhaltung (da Zentralkraft): Nutz man dies nun in Glg. (2), erhält man für die Azimutalbeschleunigung: Um die Azimutalgeschwindigkeit zu bekommen. lässt sich das Integral für f(t) elementar lösen und die Lösung bis zu den quadratischen Gliedern nähern: Also: Der erste Term ist die Rotationsgeschwindigkeit des Abwurfpunktes, der zweite das Delta. Weitere Rechnung siehe Mathefix..
Mathefix	Verfasst am: 10. Jan 2022 15:42    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Mathefix hat Folgendes geschrieben: TomS hat Folgendes geschrieben: Nein, kein Schreibfehler. Es geht wirklich um die Entwicklung um den Punkt Einfach das Binom auflösen und dividieren. Führt zum richtigen Ergebnis. Wenn das falsch sein soll, dann weiss ich nicht mehr weiter. Dann musst Du in Deiner Herleitung den Wurm an anderer Stelle finden. Dein Ergebnis ist nicht falsch, aber es ist nicht das, was ich sinnvollerweise haben will; deswegen entwickle ich in einer anderen Variable. Beides stimmt in der gewünschten Ordnung überein. In meiner Herleitung ist kein Wurm drin. ... obwohl Dein Endergebnis falsch ist? Ich geb's auf.
TomS	Verfasst am: 10. Jan 2022 15:38    Titel: Mathefix hat Folgendes geschrieben: TomS hat Folgendes geschrieben: Nein, kein Schreibfehler. Es geht wirklich um die Entwicklung um den Punkt Einfach das Binom auflösen und dividieren. Führt zum richtigen Ergebnis. Wenn das falsch sein soll, dann weiss ich nicht mehr weiter. Dann musst Du in Deiner Herleitung den Wurm an anderer Stelle finden. Dein Ergebnis ist nicht falsch, aber es ist nicht das, was ich sinnvollerweise haben will; deswegen entwickle ich in einer anderen Variable. Beides stimmt in der gewünschten Ordnung überein. In meiner Herleitung ist kein Wurm drin.
Mathefix	Verfasst am: 10. Jan 2022 15:33    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Nein, kein Schreibfehler. Es geht wirklich um die Entwicklung um den Punkt Einfach das Binom auflösen und dividieren. Führt zum richtigen Ergebnis. Wenn das falsch sein soll, dann weiss ich nicht mehr weiter. Dann musst Du in Deiner Herleitung den Wurm an anderer Stelle finden.
TomS	Verfasst am: 10. Jan 2022 15:23    Titel: Nein, kein Schreibfehler. Beide Ergebnisse sind in erster Ordnung identisch; und es geht mir absichtlich um die Entwicklung um den Punkt
Mathefix	Verfasst am: 10. Jan 2022 15:08    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Mathefix hat Folgendes geschrieben: @TomS Ich glaube, dass hier eine Rechenfehler ist: Ich erhalte mit Ich auch. Und die Taylorentwicklung bis erste Ordnung liefert dann Hatte ungeprüft Deine Glchg. abgeschrieben. Ohne Taylor für h<< r Im Nenner muss r und nicht r_0 stehen. Dann stimmt m.E. nach oberflächlicher Prüfung auch das Ergebnis.
TomS	Verfasst am: 10. Jan 2022 14:43    Titel: Mathefix hat Folgendes geschrieben: @TomS Ich glaube, dass hier eine Rechenfehler ist: Ich erhalte mit Ich auch. Und die Taylorentwicklung bis erste Ordnung liefert dann
Mathefix	Verfasst am: 10. Jan 2022 13:59    Titel: @TomS Ich glaube, dass hier eine Rechenfehler ist: Ich erhalte mit
TomS	Verfasst am: 10. Jan 2022 13:53    Titel: Sorry, Fehler, war ein Schnellschuss, ich muss nochmal nachdenken.
Mathefix	Verfasst am: 10. Jan 2022 12:30    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Mathefix hat Folgendes geschrieben: TomS hat Folgendes geschrieben: Zu 1. Der Breitengrad theta wird berücksichtigt, indem man in allen Formeln die Ersetzung durchführt. Liege ich falsch mit der Annahme, dass omega eine Konstante unabhängig vom Breitengrad ist? Sorry, das war natürlich Käse; die Ersetzung erfolgt für den Radius. Hab’s oben korrigiert. Zu 1. Der Breitengrad theta wird berücksichtigt, indem man in allen Formeln die Ersetzung durchführt. Kann ich nicht nachvollziehen. Deine Rechnung Der gesuchte Abstand zwischen Abwurf- und Aufschlagspunkt folgt mittels Multiplikation des zweiten Terms mit ergibt dann Im "Coriolis Term" kommt theta nicht vor, da sich r_0 rauskürzt. Das stimmt dann nicht mit der Coriolis Herleitung überein.
TomS	Verfasst am: 10. Jan 2022 11:03    Titel: Zu 1. Der Breitengrad theta wird berücksichtigt, indem man in allen Formeln die Ersetzung durchführt. Zu 3. Der Winkel phi setzt sich zusammen aus dem Winkel, den der Abwurfpunkt in einer gewissen Zeit überstreicht sowie den Winkel, um den der Stein ggü. dem Winkel des Abwurfpunktes zurückbleibt. Der erste Term beschreibt gerade diesen Winkel des Abwurfpunktes. Die Aufteilung entsteht automatisch durch Taylorentwicklung Zu 2. Die Abweichung ist so zu lesen, dass aufgrund des negativen Vorzeichens des zweiten Terms der Stein hinter dem Abwurfpunkt zurückbleibt. Das folgt unmittelbar aus der Drehimpulserhaltung und damit Zu 4. Dies ist ein Artefakt der o.g. Taylorentwicklung für kleine Höhen Der exakte Term ist für endliche Höhe strikt positiv. Man beachte, dass die Näherung kleiner Höhen auch in die Energiebedingung eingeht.
Mathefix	Verfasst am: 10. Jan 2022 10:09    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: ... Der gesuchte Abstand zwischen Abwurf- und Aufschlagspunkt folgt mittels Multiplikation des zweiten Terms mit ... Hallo TomS Fragen: 1. Woraus geht der Einfluss des Breitengrads hervor? 2. Wie ist die Richtung der Abweichung abzulesen? 3. Was bedeutet der 1. Summand im 2. Term? 4. Bei ist der Abstand= 0 Wie ist das zu interpretieren? In einem hast Du recht. Wenn man in den Coriolis- Ansatz die Herleitung der Coriolis Beschleunigung einbezieht ist es schon aufwendig. Gruss Mathefix
TomS	Verfasst am: 09. Jan 2022 13:19    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: … die Ergebnisse stimmen zunächst nicht offensichtlich überein. Nicht offensichtlich, aber eben doch. Der Rechenweg ist sehr einfach. Drehimpulserhaltung: Einsetzen liefert Der erste Term entspricht genau dem Winkel, den der Abwurfpunkt während der Flugphase bis zum höchsten Punkt überstreicht; der zweite Term liefert für die Abweichung den selben Wert wie die Rechnung mittels Corioliskraft. Energieerhaltung: Die Näherung ist anschaulich klar. Damit Der gesuchte Abstand zwischen Abwurf- und Aufschlagspunkt folgt mittels Multiplikation des zweiten Terms mit . Vorteil: kein rotierendes Bezugsystem, keine Corioliskraft, keine komplizierte Bewegungsgleichung, lediglich Anwendung von Erhaltungssätzen.
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 09. Jan 2022 11:57    Titel: Ok, dann haben wir aneinander vorbei geredet. Ich dachte die ganze Zeit, du beziehst dich noch auf die ursprüngliche Rechnung, wo die Ergebnisse noch nicht übereinstimmten. Aber ok, dann passt es ja! Die explizite Rechnung brauchst du nicht zu posten. Ich glaube dir schon.
TomS	Verfasst am: 09. Jan 2022 11:45    Titel: Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: Kommt denn mittlerweile das gleiche raus wie bei coriolis? Schon immer; habe ich doch oben geschrieben.
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 09. Jan 2022 11:23    Titel: Kommt denn mittlerweile das gleiche raus wie bei coriolis?
TomS	Verfasst am: 09. Jan 2022 11:19    Titel: Also wenn ich Zeit habe, tue ich dir den Gefallen und schreibe die Rechnung explizit auf.
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 09. Jan 2022 11:15    Titel: Na, eigentlich nicht. Aber egal...
TomS	Verfasst am: 09. Jan 2022 08:17    Titel: Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: Ich meinte, offensichtlich habe ich nicht „genauso“ gerechnet wie du, denn mit meinem Ansatz erhält man eine Übereinstimmung mit dem Rechenweg über Coriolis - und mit obigen Ansatz nicht. Ok, dann hast du “äquivalent” gerechnet ;-)
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 09. Jan 2022 06:01    Titel: Hallo Tom, Ich meinte, offensichtlich habe ich nicht „genauso“ gerechnet wie du, denn mit meinem Ansatz erhält man eine Übereinstimmung mit dem Rechenweg über Coriolis - und mit obigen Ansatz nicht. In erster Näherung sollten ja alle Ansätze das gleiche Ergebnis liefern. Sorry, ich bin gerade unterwegs und kann nicht mehr dazu schreiben. Ich schau mir das die Woche nochmal an... Viele Grüße, Nils
TomS	Verfasst am: 08. Jan 2022 13:56    Titel: Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: Offenbar nicht, sonst würden sich die Ergebnisse nicht unterscheiden. Ich habe die Zusammenhänge doch oben erklärt.
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 08. Jan 2022 13:52    Titel: Offenbar nicht, sonst würden sich die Ergebnisse nicht unterscheiden.
TomS	Verfasst am: 08. Jan 2022 13:32    Titel: Nils rechnet in dem anderen Post genauso wie ich, inklusive der Näherungen, nur dass er Höhe und Zeit verwendet, ich hingegen nur die Anfangsgeschwindigkeit.
as_string	Verfasst am: 08. Jan 2022 13:14    Titel: Im Prinzip bewegt sich der Stein nach Abwurf bis Landung ja auf einer Keppler-Ellipse, so lange bis der Abstand zum Mittelpunkt gleich dem Erdradius ist. Ja, die Rechnung ist nicht einfacher, das mag sein. Gruß Marco
Myon	Verfasst am: 08. Jan 2022 12:59    Titel: Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: (...) wir hatten das Thema kürzlich schon mal, ich schau mal, ob ich den Beitrag noch finde Ist hier: ;-) https://www.physikerboard.de/htopic,66017,.html
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 08. Jan 2022 12:41    Titel: Hmm, ich finde den Ansatz über Coriolis genau so anschaulich, aber gut... - Nils
TomS	Verfasst am: 08. Jan 2022 12:30    Titel: Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: Jedenfalls kann ich nicht erkennen, was an diesem Rechenweg einfacher sein soll als beim Weg über Coriolis, wo man einfach nur zweimal integrieren muss und man ist fertig. Ich sage ja nicht, dass es rechnerisch einfacher ist. Ich sehe aber den Vorteil eines anschaulichen Ansatzes im Inertialsystem ohne die Notwendigkeit, die Corioliskraft überhaupt einzuführen - das ist ja auch nicht ganz trivial.
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 08. Jan 2022 12:11    Titel: Ich hab das Gefühl, dass mit den ganzen Näherungen noch irgendwas schief läuft (wir hatten das Thema kürzlich schon mal, ich schau mal, ob ich den Beitrag noch finde). Jedenfalls kann ich nicht erkennen, was an diesem Rechenweg einfacher sein soll als beim Weg über Coriolis, wo man einfach nur zweimal integrieren muss und man ist fertig. Viele Grüße, Nils
TomS	Verfasst am: 08. Jan 2022 11:44    Titel: Meine Rechnung gilt zunächst nur für den Äquator. Man kann sich aber leicht überlegen, dass für einen anderen Breitengrad ein Faktor notwendig ist. Und nein, du übersieht nichts, die Ergebnisse stimmen zunächst nicht offensichtlich überein. Ich bin die Rechnung jetzt mal komplett durchgegangen. Man erhält tatsächlich das korrekte Ergebnis. Allerdings 1) erhalte ich nur dann ein einfaches Integral, wenn ich die genannte Näherung kleiner Höhe ansetze; oder ich übersehe eine einfache Umformung 2) habe ich im Energiesatz oben die Tangentialgeschwindkeit vernachlässigt - entsprechend dieser Näherung 3) berechne ich nur den halben Winkel, da ich vom tiefsten zum höchsten Punkt der Bahn integriere; es fehlt also noch ein Faktor zwei 4) liefert meine Rechnung natürlich den vollen Winkel im Inertialsystem während die Rechnung mittels Corioliskraft im rotierenden System immer nur den Differenzwinkel liefert. Man muss also die nullte Ordnung subtrahieren. Die Idee und der Ansatz sind m.E. schon einfacher, die gesamte Rechnung jedoch nicht wirklich. Ich wollte im wesentlichen auf die Lösung der Bewegungsgleichung verzichten und mittels Energie- und Drehimpulserhaltung direkt ein Integral für den Winkel angeben.
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 07. Jan 2022 18:25    Titel: Damit erhältst du aber ein anderes Ergebnis als beim Rechenweg über Coriolis. Oder übersehe ich da was?
TomS	Verfasst am: 07. Jan 2022 17:30    Titel: Re: Erde Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: Die Tangentialgeschwindigkeit (besser gesagt Azimutalgeschwindigkeit) bleibt aber nicht gleich, sondern ändert sich in Abhängigkeit mit der Höhe (Drehimpulserhaltung). Ohne Drehimpulserhaltung geht es natürlich nicht - im Gegenteil. Für die Winkelgeschwindigkeit gilt wegen Drehimpulserhaltung mit der Winkelgeschwindigkeit beim Abwurfradius . Für die Beantwortung der Frage ob Ost oder West ist dieser Zusammenhang eigentlich schon ausreichend! Man setzt für den während der Zeit T überstrichenen Winkel v ist die Radial- bzw. Vertikalgeschwindigkeit mit Für die Radialgeschwindigkeit v und Wurfhöhe h gilt Damit folgt wobei der Radius eine Funktion der Geschwindigkeit ist. Das Integral vereinfacht sich bei kleiner Wurfhöhe h mittels Taylorentwicklung. Die nullte Ordnung liefert gerade den Winkel den der Abwurfpunkt auf der Erdoberfläche in der Zeit überstreicht.
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 07. Jan 2022 13:54    Titel: Re: Erde as_string hat Folgendes geschrieben: Naja, ganz so einfach ist es nicht: Nicht nur die Erde dreht sich weiter sondern der Stein wird auch eine Tangential-Geschwindigkeit mitnehmen, die der Geschwindigkeit der Erdoberfläche entspricht. So lange sich der Stein in einer höheren Position befindet, je nach Breitengrad dann auch weiter von der Erd-Rotationsachse entfernt ist, desto geringer ist seine Winkelgeschwindigkeit (weil Tangentialgeschwindigkeit gleich bleibt, aber Abstand zur Achse wächst). Die Tangentialgeschwindigkeit (besser gesagt Azimutalgeschwindigkeit) bleibt aber nicht gleich, sondern ändert sich in Abhängigkeit mit der Höhe (Drehimpulserhaltung). Die Betrachtung im Inertialsystem ist daher nicht so einfach wie man auf den ersten Blick meinen könnte. Viele Grüße, Nils
TomS	Verfasst am: 07. Jan 2022 08:47    Titel: Re: Erde as_string hat Folgendes geschrieben: Die Betrachtung mit Coriolis finde ich fast etwas umständlich, da ist es doch einfacher, wenn man es aus einem nicht-mitfrehenden Bezugssystem betrachtet, denke ich. Das denke ich auch. Es ist m.E. auch anschaulicher.
Mathefix	Verfasst am: 07. Jan 2022 08:24    Titel: Re: Erde as_string hat Folgendes geschrieben: Die Betrachtung mit Coriolis finde ich fast etwas umständlich, da ist es doch einfacher, wenn man es aus einem nicht-mitfrehenden Bezugssystem betrachtet, denke ich. Aber das Ergebnis sollte natürlich dasselbe sein. Zeige bitte Deinen einfachen Lösungsweg.

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