Autor	Nachricht
Markooooo7	Verfasst am: 02. Dez 2021 17:57    Titel: Hallo TomS, hallo Index_razor, das Beispiel von TomS hat mir nochmal die Idee von Index_razor sehr gut verdeutlicht! Vielen Dank dafür, zu hundert Prozent kann ich es aber noch nicht nachvollziehen, aber die Idee habe ich schon mal! Schönen Abend und nochmal vielen vielen Dank! Liebe Grüße Marko
index_razor	Verfasst am: 01. Dez 2021 12:19    Titel: Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: mir geht es weniger um eine wirklich korrekt mathematische Beschreibung, als um eine für die Physik anschauliche Erklärung mit der man arbeiten kann, auch wenn es so vielleicht nicht ganz richtig ist. Was genau möchtest du eigentlich erklärt haben? Bis jetzt hast du nur gefragt, ob bestimmte Analogien zur linearen Algebra zutreffen. Ich halte sie zwar nicht für zutreffend. Aber ob sie für dich "anschaulich" sind, kannst du nur selbst beantworten, wenn Korrektheit sowieso egal ist. Zum Arbeiten reicht es übrigens die Regeln des Diracformalismus auswendig zu lernen. Die einzelnen Zwischenschritte in den formalen Manipulationen sind zwar nicht immer sinnvoll, aber die Ergebnisse lassen sich eigentlich immer korrekt interpretieren. Zitat: Aber so wird beispielsweise hier in einem Artikel der Tu München auch von einer Orts- und Impulsbasis gesprochen. Warum wird dann hier davon gesprochen, wenn es diese eigentlich nicht gibt? Das kann ich nicht wissen. Vielleicht wissen sie nicht, daß keine solche Basis existiert oder sie verwenden den Begriff "Basis" nicht korrekt oder sie halten das alles für unwichtige "Feinheiten". Zitat: Ich kann mir vorstellen, dass es falsch ist, wie du es gesagt hast und es sowas nicht gibt, aber vielleicht reicht diese Vorstellung ja für Physikerzwecke aus, da der Physiker ja die Lineare Algebra kennt, um so mit den Formalismen der QM zurechtzukommen. Gerade mit dem Vorwissen aus der linearen Algebra bekommst du ja Probleme, wenn du von einer "Ortseigenbasis" sprichst. Eine Eigenfunktion des Ortsoperators muß nach gewöhnlicher Algebra-Definition die Beziehung erfüllen. Es ist offensichtlich, daß das einzige Element aus dem Hilbertraum , welches diese Eigenschaft hat, der Nullvektor ist. An welche Art von Objekt denkst du also, wenn du von der "Orthonormalbasis" |x> redest? Die einzige Möglichkeit das ohne Widersprüche zu definieren, erfordert die Betrachtung stetiger linearer Funktionale auf einer Teilmenge des Hilbertraums, die zumindest auch Deltadistributionen enthalten. Das geht schon über lineare Algebra hinaus. Zitat: Den abstrakten Vekotrraum stelle ich mir so vor, dass ich durch eine Koordinatenabbildung aus diesem in eine konkrete Darstellung komme, zum Beispiel in Psi(x) oder Psi_tilde(p). Was ist eine "Koordinatenabbildung"? Was spricht gegen den Begriff "unitäre Abbildung"? Der Begriff ist erstens in diesem Zusammenhang korrekt und sinnvoll und wird zweitens auch von Physikern regelmäßig verwendet. Zitat: So wie ich dich aber auch verstanden habe, kann der abstrakte Vektorraum entweder aus Elementen von Psi(x) oder Psi_Tilde(p) bspw. bestehen. Das ist nichtmal eine echte Alternative. und sind erstmal nur Namen für Funktionen ohne tiefere Bedeutung und x und p sind nur Dummyvariablen für die Argumente dieser Funktionen. Zitat: Da dieser abstrakt ist, ist das dann quasi egal, was die Elemente konkret sind. Mir fehlt aber bei der zweiten Erklärung eine Idee, wie ich mir das besser mathematisch vorstellen kann und einen Bezug herstellen kann zu der Formel <x|Psi>, dabei würde ich gerne auf eine Funkana Erklärung verzichten, da ich hier noch nicht so viel Ahnung habe von und lieber im Bilde der LA arbeiten, auch wenn es in Wirklichkeit falsch ist, aber wiegesagt bloß um den Formalismus der QM anwenden zu können. Betrachte als Definition der linken Seite, bzw. als Definition von . Es handelt sich also praktisch um die Deltadistribution an der Stelle x. Mehr gibt es da eigentlich wirklich nicht zu verstehen.
TomS	Verfasst am: 01. Dez 2021 12:04    Titel: Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: Angenommen ich habe meinen Vektor (1,2,3) aus meinem dreidimensionalen (abstrakten) Vektorraum V. Diesen kann ich nun durch eine Koordinatenabbildung in unterschiedlichen Basen darstellen: Beispielsweise wäre die Darstellung von (1,2,3) in der Basis B1 gegeben durch (4,5,6) aus K^3 und in der Basis B2 gegeben durch (7,8,9) aus K^3. Das Tripel (1,2,3) ist kein Vektor, es sind die Koordinaten eines Vektors bzgl. einer Basis. Und da es konkret angegeben ist, ist es auch nicht abstrakt. (ob deine anderen Tripel bzgl. anderer Basen wirklich zum selben Vektor gehören können, sei mal dahingestellt). Ich versuch's nochmal anders. Gegeben seien Koordinaten (mit n = 1..N, ggf. auch unendlich) als Koeffizienten eines Vektors bzgl. einer speziellen Basis. Natürlich kann man unendlich viele weitere Basen durch orthogonale Transformationen O einführen, d.h. wobei das hochgestellte (O) die Abhängigkeit der Basis und der Koeffizienten von O darstellt. Außerdem sei gegeben die Funktionen wobei T_n für die Tschebyschow-Polynome steht. Für die Koeffizienten gilt Desweiteren gibt es Darstellungen mittels Fourierreihen auf endlichen Intervallen ... und viele weitere Beispiele ... Der abstrakte Vektor steht dann für die Äquivalenzklasse all dieser Darstellungen. D.h. zunächst im Sinne von Isomorphismen. Insbs. gilt für die Skalarprodukte auf diesen (unendlich vielen) konkreten Hilberträumen mit ihren (überabzählbar unendlich vielen) Basen (sowie die dadurch induzierte Normen) Damit entsprechen die abstrakten Vektoren letztlich diesen Äquivalenzklassen D.h. der abstrakte Vektor steht für die Gesamtheit aller Eigenschaften des Vektors, die unabhängig von konkreten Darstellungen auf konkreten Hilberträumen und unabhängig von der Wahl konkreter Basen gültig sind; diese Gesamtheit aller Eigenschaften sind im wesentlichen die Längen sowie die Winkel zu anderen Vektoren. Aus dem verlinkten Artikel: Zitat: Der wesentliche Punkt hierbei ist, dass diese Darstellung unabhängig von einer gewählten Basis des Vektorraums ist. Sie ist sogar unabhängig vom gewählten konkreten Hilbertraum, denn im o.g. Sinne gilt eine Äquivalenz Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: Den abstrakten Vekotrraum stelle ich mir so vor, dass ich durch eine Koordinatenabbildung aus diesem in eine konkrete Darstellung komme, zum Beispiel in Psi(x) oder Psi_tilde(p). Ich weiß nicht, was du mit Koordinatenabbildung meinst. Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: So wie ich dich aber auch verstanden habe, kann der abstrakte Vektorraum entweder aus Elementen von Psi(x) oder Psi_Tilde(p) bspw. bestehen. So sehe ich das nicht. Betrachte den harmonischen Oszillator. Es kann z.B. ein Zustand vorliegen. Dann ist und Es ist weder notwendig noch sinnvoll, den abstrakten Ket mit genau einer dieser drei konkreten Darstellungen zu assoziieren; insbs. sind die letzten beiden Hilberträume mathematisch natürlich exakt identisch, ihre physikalische Bedeutung ist jedoch unterschiedlich. Der abstrakte Hilbertraum abstrahiert genau davon. Es handelt sich zunächst um eine rein symbolische Notation. Ich denke, der einzige Fall, wo diese Abstraktion nicht vollständig durchzuhalten ist, ist genau die hier relevante Unterscheidung vs. denn hier steht <x| mathematisch für etwas völlig anders als <n|; bzw. analog für die Kets. Wir haben also letztlich zwei Fälle: 1) der Ket steht für einen Vektor endlicher Norm in einem nicht näher spezifizierten, separablen Hilbertraum 2) der Ket steht für einen Vektor im Abschluss eines solchen Hilbertraums, d.h. er ist nicht mehr normiert, kann nur als Funktional auf Vektoren im Sinne von (1) verstanden werden u.ä. Die Physiker gehen schlampigerweise meist davon aus, auch diesbezüglich noch abstrahieren zu können, aber das führt in diverse mathematische Fallen.
Markooooo7	Verfasst am: 01. Dez 2021 10:36    Titel: Hallo Index_razor, mir geht es weniger um eine wirklich korrekt mathematische Beschreibung, als um eine für die Physik anschauliche Erklärung mit der man arbeiten kann, auch wenn es so vielleicht nicht ganz richtig ist. Aber so wird beispielsweise hier in einem Artikel der Tu München auch von einer Orts- und Impulsbasis gesprochen. Warum wird dann hier davon gesprochen, wenn es diese eigentlich nicht gibt? Ich kann mir vorstellen, dass es falsch ist, wie du es gesagt hast und es sowas nicht gibt, aber vielleicht reicht diese Vorstellung ja für Physikerzwecke aus, da der Physiker ja die Lineare Algebra kennt, um so mit den Formalismen der QM zurechtzukommen. Hier der Artikel auf S.15 ganz unten auf der Seite: https://www.ph.tum.de/academics/bsc/break/2015s/fk_PH0007_01_course.pdf Den abstrakten Vekotrraum stelle ich mir so vor, dass ich durch eine Koordinatenabbildung aus diesem in eine konkrete Darstellung komme, zum Beispiel in Psi(x) oder Psi_tilde(p). So wie ich dich aber auch verstanden habe, kann der abstrakte Vektorraum entweder aus Elementen von Psi(x) oder Psi_Tilde(p) bspw. bestehen. Da dieser abstrakt ist, ist das dann quasi egal, was die Elemente konkret sind. Mir fehlt aber bei der zweiten Erklärung eine Idee, wie ich mir das besser mathematisch vorstellen kann und einen Bezug herstellen kann zu der Formel <x|Psi>, dabei würde ich gerne auf eine Funkana Erklärung verzichten, da ich hier noch nicht so viel Ahnung habe von und lieber im Bilde der LA arbeiten, auch wenn es in Wirklichkeit falsch ist, aber wiegesagt bloß um den Formalismus der QM anwenden zu können. Liebe Grüße Marko Liebe Grüße Marko
index_razor	Verfasst am: 01. Dez 2021 10:02    Titel: Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: Frage1: Kann ich dann sagen, dass mein |Psi> Vektor dann zu sehen ist, wie mein (1,2,3) Vektor aus der Linearen Algebra und meine Ortswellenfunktion Psi(x) dann zu sehen ist wie der Vektor (4,5,6) in Analogie. Genauso wäre dann die Wellenfunktion Psi_Tilde(p) gegeben durch (7,8,9) in der Impulsbasis? Nein, es gibt keine "Impulsbasis" und keine "Ortsbasis". Das ist genau der Punkt, an dem die Analogie zur linearen Algebra zusammenbricht. Deswegen habe ich ganz zu Anfang gesagt, daß dein Vergleich hinkt. In der linearen Algebra definiert jede Spektraldarstellung eines symmetrischen Operators eine Basis des Vektorraums aus Eigenvektoren; in der Quantenmechanik nicht. Orts- und Impulsoperator besitzen keinen einzigen Eigenvektor. Ihre jeweiligen Spektraldarstellungen definieren zwar Orts- und Impulswellenfunktion, aber keine Basiszerlegung. Man kann mit etwas gutem Willen ein paar formale Ähnlichkeiten zwischen einer Hilbertraumbasis und einer Spektralschar feststellen, die in der Diracnotation gern mal mit folgender Gegenüberstellung ausgedrückt wird: Daraus kann man dann durch rein formale Manipulation die üblichen Formeln aus den Quantenmechanik-Lehrbüchern ableiten, man darf nur nicht denken, daß man damit etwas sinnvolles tut. Und man tut sich m.E. keinen Gefallen, wenn man diese Analogie wörtlich nimmt und von einer "kontinuierlichen Eigenbasis " redet. Zitat: Frage2: In der Quantenmechanik hat man allerdings umgekehrt konstruiert, also erst mit den Orts- und Impulswellenfunktionen gearbeitet hat, die ja bloß die Darstellungen des abstrakten Vektors sind. Den abstrakten Vektor zu rekonstruieren interessiert dann in der QM nicht mehr, man arbeitet dann bloß mit dem Symbol und denkt sich, dass da ein abstrakter Vektor den man eigentlich rekonstruieren kann steht. Kann man das so sagen? Also so würde ich das nicht unterschreiben. Ich denke du hast immer noch nicht so ganz verstanden, was überhaupt mit einem "abstrakten Vektorraum" gemeint ist. Der einzige Unterschied zwischen einem "abstrakten Vektor" in der linearen Algebra und einem "abstrakten Vektor" in der Quantenmechanik ist die Dimension des Vektorraums. Es ist völlig egal, in welcher konkreten Form der Vektor zuerst auftaucht, ob als Ortswellenfunktion, als Impulswellenfunktion oder als Folge von Zahlen in einer Orthonormalbasis. Das einzige was interessiert, ist, daß man Linearkombinationen und hermitesche Produkte von Vektoren bilden kann. Nur diese beiden Eigenschaften definieren einen "Vektor im abstrakten Hilbertraum".
Markooooo7	Verfasst am: 01. Dez 2021 09:17    Titel: Hallo TomS, hallo Index_razor, vielen Dank euch nochmal für die gestrige Hilfe! Um das von gestern nochmal abzurunden, will ich den abstrakten Vektor |Psi> einem Vergleich zur Linearen Algebra unterziehen und von den technischen Besonderheiten im Unterschied zur Funkana absehen, mir geht es also nur um Analogien: Angenommen ich habe meinen Vektor (1,2,3) aus meinem dreidimensionalen (abstrakten) Vektorraum V. Diesen kann ich nun durch eine Koordinatenabbildung in unterschiedlichen Basen darstellen: Beispielsweise wäre die Darstellung von (1,2,3) in der Basis B1 gegeben durch (4,5,6) aus K^3 und in der Basis B2 gegeben durch (7,8,9) aus K^3. Frage1: Kann ich dann sagen, dass mein |Psi> Vektor dann zu sehen ist, wie mein (1,2,3) Vektor aus der Linearen Algebra und meine Ortswellenfunktion Psi(x) dann zu sehen ist wie der Vektor (4,5,6) in Analogie. Genauso wäre dann die Wellenfunktion Psi_Tilde(p) gegeben durch (7,8,9) in der Impulsbasis? Frage2: In der Quantenmechanik hat man allerdings umgekehrt konstruiert, also erst mit den Orts- und Impulswellenfunktionen gearbeitet hat, die ja bloß die Darstellungen des abstrakten Vektors sind. Den abstrakten Vektor zu rekonstruieren interessiert dann in der QM nicht mehr, man arbeitet dann bloß mit dem Symbol und denkt sich, dass da ein abstrakter Vektor den man eigentlich rekonstruieren kann steht. Kann man das so sagen? Liebe Grüße Marko
index_razor	Verfasst am: 30. Nov 2021 22:45    Titel: Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: Bei uns in der Vorlesung wurde zumindest im endlich dimensionalen Fall eines abstrakten Hilbertraums ein n-dimensionaler Spaltenvektor bezüglich der Entwicklungskoeffizienten gebildet und die Entwicklungskoeffizienten berechneten sich dabei genau wie ich es vorhin für den Spaltenvektor beschrieben habe. Nein, was du bisher hingeschrieben hast, waren die Funktionswerte der Wellenfunktion in Diracnotation, d.h. . Das ist etwas völlig anderes, als die Entwicklungskoeffizienten von bezüglich einer Orthonormalbasis, auch wenn du anscheinend nicht davon abzubringen bist, beides für dasselbe zu halten. (Und leider suggeriert dies ja die Diracnotation auch.) Daß es nicht dasselbe sein kann, müßtest du aber eigentlich schon daran erkennen, daß jeder Vektor höchstens abzählbar viele Entwicklungskoeffizienten hat. Aber eine Wellenfunktion hat natürlich im allgemeinen überabzählbar viele Funktionswerte.
TomS	Verfasst am: 30. Nov 2021 21:24    Titel: Ok, das erste Problem ist also doch keines ;-) Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: Bei uns in der Vorlesung wurde zumindest im endlich dimensionalen Fall eines abstrakten Hilbertraums ein n-dimensionaler Spaltenvektor bezüglich der Entwicklungskoeffizienten gebildet und die Entwicklungskoeffizienten berechneten sich dabei genau wie ich es vorhin für den Spaltenvektor beschrieben habe. Im endlich-dimensionalen Fall erhält man die Koeffizienten (Komponenten) bzgl. einer Basis tatsächlich durch Projektion. Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: Nun wurde bei uns in der Vorlesung gesagt, dass dieser Spaltenvektor … genau die Elemente der Matrizenmechanik von Heisenberg sind. Ich frage mich ob das nun wirklich stimmt? Ja, das stimmt. Edit: Zum Basisbegriff auf dem : die ebenen Wellen bilden keine solche Basis, da sie nicht quadratintegrierbar und somit nicht Elemente dieses Hilbertraumes sind. U.a. die hermiteschen Funktionen stellen jedoch eine solche dar, d.h. für beliebige quadratintegrierbare Funktionen f(x) gilt Dies definiert eine bijektive Abbildung Edit 2: Natürlich verbietet niemand eine Darstellung mittels linearer Funktionale wie z.B. aber F(p) entspricht keinen durch Projektion auf eine Basis gewonnenen Komponenten, da die ebenen Wellen keine solche Basis darstellen.
Markooooo7	Verfasst am: 30. Nov 2021 21:13    Titel: P.s. Lineare Algebra habe ich gehört, auch Ana 1-4
Markooooo7	Verfasst am: 30. Nov 2021 21:11    Titel: Vielen Dank für eure Antworten! Ja, mich hat das im Artikel auch gestört, dass der Vektor mit den Komponenten bzw. der Darstellung des Vektors im Koordinatenraum gleichgesetzt wird. Das stimmt natürlich nicht. Mir ging es dabei nicht darum dass die Gleichung falsch ist, sondern um die Konstruktion des Spaltenvektors, der meiner Meinung nach die gleichen Informationen enthält wie Psi, also der Darstellung im Ortsraum (ich wollte jetzt nicht Psi(x) schreiben, denn das wäre ja bloß ein Wert, um präzise zu sein habe ich also Psi geschrieben). Bei uns in der Vorlesung wurde zumindest im endlich dimensionalen Fall eines abstrakten Hilbertraums ein n-dimensionaler Spaltenvektor bezüglich der Entwicklungskoeffizienten gebildet und die Entwicklungskoeffizienten berechneten sich dabei genau wie ich es vorhin für den Spaltenvektor beschrieben habe. Nun wurde bei uns in der Vorlesung gesagt, dass dieser Spaltenvektor und man kann auch noch aus dem Operator sich eine Matrix basteln, genau die Elemente der Matrizenmechanik von Heisenberg sind. Ich frage mich ob das nun wirklich stimmt? Liebe Grüße Marko
TomS	Verfasst am: 30. Nov 2021 20:13    Titel: Evtl. liegen auch zwei Probleme vor, kann schon sein. Aber wenn bereits die lineare Algebra nicht vollständig verstanden ist, dann kann man schlecht über Hilberträume reden. Deswegen ist das für mich das erste und wichtigste Problem.
index_razor	Verfasst am: 30. Nov 2021 20:10    Titel: Nein, das Problem ist, daß er Psi(x) für die "x-te Zeile" eines Spaltenvektors hält, die man völlig analog zur linearen Algebra aus dem "Hilbertraumprodukt" bzgl. der "Orthonormalbasis" |x> erhält. Das hat er selbst ungefähr so formuliert. Und du hast das gerade nochmal bekräftigt.
TomS	Verfasst am: 30. Nov 2021 20:05    Titel: Nee, das erste Problem ist m.E., dass der Vektor mit den Komponenten identifiziert wird. Das steht so in dem Artikel, und das ist Schrott, schon in der linearen Algebra.
index_razor	Verfasst am: 30. Nov 2021 20:01    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Das ist bis auf technische Feinheiten identisch zur linearen Algebra. Ja, abgesehen von den "Feinheiten", daß keine Basis ist, ist die Beziehung genau wie eine Basiszerlegung. Zitat: Gegeben sei ein Vektor im 3-dim. Raum, der durch eine Basis aufgespannt wird. Du erhältst die Komponenten bzgl. dieser Basis mittels Skalarprodukt (was in der QM so nicht zutreffend ist - s.o. - jedoch nicht dein eigtl. Verständnisproblem darstellt). Wie kommst du darauf? Fast alles, was er schreibt wäre korrekt, wenn er tatsächlich von einer Hilbertraumbasis, und nicht von |x> reden würde. Das ist m.E. genau der Kern des Problems.
index_razor	Verfasst am: 30. Nov 2021 19:55    Titel: Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: klar, ist es schwierig einen unendlich dimensionalen Spaltenvektor zu definieren. Aber man kann sich ja mal für den Moment denken, als wäre es ok. Sind das dann nicht genau die Spaltenvektoren aus der heisenbergschen Matrizenmechanik, die auf die Matrizen von Heisenberg losgelassen werden? Nein, das sind die Wellenfunktionen der Wellenmechanik. Die Spaltenvektoren der Matrizenmechanik, sind nach meinem Dafürhalten die Folgen von Zahlen wobei eine Hilbertraumbasis (also auf jeden Fall eine abzählbare (!) Menge von Wellenfunktionen) ist.
TomS	Verfasst am: 30. Nov 2021 19:54    Titel: Du hast mehrere Probleme, und eines davon ist dieser komische Artikel. Von vorne: Dies besagt, dass das lineare Funktional, das durch den Bra definiert wird, bei Anwendung auf das Objekt ein Objekt liefert. Diese Operation besagt, wie du das ursprüngliche Objekt zurückerhältst. Die Idee, das das ursprüngliche Objekt sei identisch mit dem Spaltenvektor ist dagegen schlicht falsch, der Artikel daher untauglich. Das ist bis auf technische Feinheiten identisch zur linearen Algebra. Gegeben sei ein Vektor im 3-dim. Raum, der durch eine Basis aufgespannt wird. Du erhältst die Komponenten bzgl. dieser Basis mittels Skalarprodukt (was in der QM so nicht zutreffend ist - s.o. - jedoch nicht dein eigtl. Verständnisproblem darstellt). Den Vektor rekonstruierst du mittels Komponenten und Basis gemäß Dagegen ist gemäß falsch, denn Spalten- oder Zeilenvektoren sind nicht identisch mit einem Vektor, sie repräsentieren diesen lediglich bzgl. einer bestimmten Basis. Eine andere Basis liefert andere Komponenten die den den selben Vektor repräsentieren. Genauso ist der Ket nicht dieser Spaltenvektor. Vergiss das bitte, es ist Käse.
Markooooo7	Verfasst am: 30. Nov 2021 19:49    Titel: Hallo Index_razor, klar, ist es schwierig einen unendlich dimensionalen Spaltenvektor zu definieren. Aber man kann sich ja mal für den Moment denken, als wäre es ok. Sind das dann nicht genau die Spaltenvektoren aus der heisenbergschen Matrizenmechanik, die auf die Matrizen von Heisenberg losgelassen werden?
index_razor	Verfasst am: 30. Nov 2021 19:35    Titel: Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: warum soll der Spaltenvektor nicht alle Informationen über die Wellenfunktionen enthalten? Weil er die Wellenfunktion offenbar nur an abzählbar vielen Stellen auswertet. Zitat: Jede Komponente des Vektors hat als Information doch die an einer bestimmten Stelle ausgewertete Funktion Psi?! Damit sind alle Informationen die Psi hat definiert darüber. Irgendwie drehst du dich im Kreis. Entweder strapazierst du den Begriff "Spaltenvektor" derart, daß er auch überabzählbar viele Komponenten haben kann. Die einzige Möglichkeit dies zu präzisieren, ist zu sagen, der Spaltenvektor ist identisch mit der Wellenfunktion. Also sind es nicht verschiedene Objekte. Es gibt nur die Funktion. Oder der Spaltenvektor ist, so wie üblich, lediglich eine Folge von Zahlen . Dann beinhaltet er natürlich nicht die gesamte Information über die Wellenfunktion. (Selbstverständlich kann man die Wellenfunktion auch als eine bestimmte Folge von Zahlen repräsentieren. Das ist aber deutlich komplizierter, als einfach ein paar Funktionswerte zusammenzufassen. Es hat deshalb auch nichts mit dem "Diracprodukt" zu tun.)
Markooooo7	Verfasst am: 30. Nov 2021 19:29    Titel: warum soll der Spaltenvektor nicht alle Informationen über die Wellenfunktionen enthalten? Jede Komponente des Vektors hat als Information doch die an einer bestimmten Stelle ausgewertete Funktion Psi?! Damit sind alle Informationen die Psi hat definiert darüber.
index_razor	Verfasst am: 30. Nov 2021 19:20    Titel: Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: doch es definiert einen Spaltenvektor, wenn ich den Spaltenvektor wie folgt definiere: (<x1|Psi>,<x2|Psi>,<x3|Psi>...)^T, wobei x1,x2,x3,..Basisvektoren. Das sind keine Basisvektoren im Hilbertraum, sondern Punkte im . Natürlich kannst du dir ein paar Funktionswerte rauspicken und einen Vektor daraus basteln . Der beinhaltet aber selbstverständlich nicht "die gleiche Information" wie die komplette Wellenfunktion. Die ganze Konstruktion ist vollkommen irrelevant.
TomS	Verfasst am: 30. Nov 2021 19:19    Titel: @Markooooo7 - vergiss diesen Spaltenvektor und am besten den ganzen Artikel; niemand denkt und arbeitet so in der Quantenmechanik.
index_razor	Verfasst am: 30. Nov 2021 19:17    Titel: Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: einmal wird ja ein Spaltenvektor definiert (siehe Universaldenker) und einmal eine Funktion Psi die kein Spaltenvektor ist, das sind doch zwei unterschiedliche Objekte?! Da wird kein Spaltenvektor definiert. Es wird nur so genannt. Vielleicht denkt der Autor Funktionen sind zu kompliziert für seine Leser und deshalb betrachtet er nur einzelne Funktionswerte an den Stellen als Spaltenvektor zusammengefaßt. Aber das beinhaltet natürlich nicht die komplette "Information". Und was eigentlich gemeint ist, ist die Wellenfunktion.
Markooooo7	Verfasst am: 30. Nov 2021 19:10    Titel: doch es definiert einen Spaltenvektor, wenn ich den Spaltenvektor wie folgt definiere: (<x1|Psi>,<x2|Psi>,<x3|Psi>...)^T, wobei x1,x2,x3,..Basisvektoren.
Markooooo7	Verfasst am: 30. Nov 2021 19:07    Titel: Hallo Index_razor, einmal wird ja ein Spaltenvektor definiert (siehe Universaldenker) und einmal eine Funktion Psi die kein Spaltenvektor ist, das sind doch zwei unterschiedliche Objekte?!
index_razor	Verfasst am: 30. Nov 2021 18:57    Titel: Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: Einmal einen Spaltenvektor der als Komponenten <x|Psi> enthält und eine Funktion Psi(x) nach Heisenberg, welche ausgewertet an der Stelle x definiert ist als Psi(x):=<x|Psi>. Das sind doch zwei unterschiedliche Objekte oder nicht? Nein, ich sehe da nur eine einzige Funktion, nämlich . Der Rest ist nur Diracnotation: bedeutet nichts anderes als "der Wert von an der Stelle x". Das hat wie gesagt nichts mit einer Basizerlegung zu tun und es definiert auch keinen "Spaltenvektor". Das ist nur schlechte Terminologie.
TomS	Verfasst am: 30. Nov 2021 18:54    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: Zitat: Genauso haben Schrödinger und Heisenberg aber sicher nicht argumentiert, da das Konzept erst von Dirac in die Physik eingeführt wurde. Schrödinger hat zumindest bzgl. der Bewegungsgleichungen explizit auf Basis von Energie-Eigenfunktionen argumentiert. Das ist doch vollkommen irrelevant. Ich versuche die Frage zu beantworten, nicht zu rekonstruieren wie Heisenberg oder Schrödinger argumentiert hätten. Habe mir die beiden Originalarbeiten jetzt mal angesehen; sind sehr gut zu lesen und keineswegs irrelevant ;-)
Markooooo7	Verfasst am: 30. Nov 2021 18:50    Titel: Hallo Index_razor, das ist genau das, was ich schon ganz am Anfang geschrieben hatte: Man kann sich mit Hilfe des abstrakten Vektors |Psi> zwei verschiedene Versionen von Objekten erzeugen, welche die gleiche Information enthalten: Einmal einen Spaltenvektor der als Komponenten <x|Psi> enthält und eine Funktion Psi(x) nach Heisenberg, welche ausgewertet an der Stelle x definiert ist als Psi(x):=<x|Psi>. Das sind doch zwei unterschiedliche Objekte oder nicht?
index_razor	Verfasst am: 30. Nov 2021 18:19    Titel: Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: ich möchte eigentlich nur ein grundlegendes Verständnis bekommen: Und zwar nochmal zum Darstellungsraum: Auf der folgenden Seite: https://de.universaldenker.org/lektionen/1126 wird ein Spaltenvektor eingeführt. Meine Frage ist, ob der Spaltenvektor der dort eingeführt wird nun die DARSTELLUNG des abstrakten Vektors <Psi| ist ODER aber die Funktion Psi, nach Schrödinger die Darstellung des abstrakten Vektors, also bspw. Psi:R->R mit Psi(x)=... Außerdem: was ist der Unterschied bei den beiden Möglichkeiten? Ich glaube ich verstehe die Frage nicht. Was dort als "Spaltenvektor" eingeführt wird, ist vermutlich einfach die Wellenfunktion . Diese Wellenfunktion ist das Element eines "konkreten" Hilbertraums . Vom "abstrakten Hilbertraum" redet man nur, wenn es egal ist welchen konkreten Hilbertraum man meint. Was ist jetzt noch unklar?
index_razor	Verfasst am: 30. Nov 2021 18:11    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: index_razor hat Folgendes geschrieben: Es macht nichts, daß du das nicht siehst. Denn das Problem irgendwelche "nicht-normierbaren Streuzustände" dem l² zuzuordnen, existiert schlicht nicht. Wenn man in seinen Arbeiten explizit den l² verwendest, dann hat man das Problem. Nein. Man kann jederzeit ohne Probleme den l² verwenden (genauso wie den L²). Zitat: index_razor hat Folgendes geschrieben: Außerdem schreibst du hier nicht "Schrödinger beschränkt sich aufs Punktspektrum...", sondern er müsse sich darauf beschränken. Das bilde ich mir nicht ein, das steht tatsächlich da. Natürlich steht das da. Wie gesagt, wenn du den l² und Energieeigenwerte / -eigenfunktionen verwendest, dann bleibt dir nichts anderes übrig, oder? Doch natürlich. Deine Frage deutet auf irgendein Mißverständnis hin. Zitat: index_razor hat Folgendes geschrieben: Die Lösung ist einfach: Man läßt die überflüssige Voraussetzung fallen. Das versuche ich dir seit Stunden klarzumachen. Das musst du mir nicht erklären, das hatte ich schon zu Beginn verstanden. Warum bezeichnest du es dann als "Problem"? Zitat: Der Ausgangspunkt ist der Beitrag von MarkkO. Du meinst, er hätte da was falsch verstanden und argumentierst insbs. mit dem abstrakten Hilbertraum. Nein, er selbst hat vom abstrakten Hilbertraum geschrieben. Ich habe das nur aufgegriffen. Zitat: Genauso haben Schrödinger und Heisenberg aber sicher nicht argumentiert, da das Konzept erst von Dirac in die Physik eingeführt wurde. Schrödinger hat zumindest bzgl. der Bewegungsgleichungen explizit auf Basis von Energie-Eigenfunktionen argumentiert. Das ist doch vollkommen irrelevant. Ich versuche die Frage zu beantworten, nicht zu rekonstruieren wie Heisenberg oder Schrödinger argumentiert hätten. Wie kommst du auf sowas? Zitat: Im Endeffekt hat MarkkO die Argumentation von Schrödinger im Kern richtig verstanden, nicht jedoch den Bezug zum abstrakten Hilbertraum sowie die überflüssige Voraussetzungen und die notwendige Verallgemeinerung. Was auch immer das bedeuten soll. Er hat ursprünglich von dem "Skalarprodukt" mit dem "Element |x>" einer Orthonormalbasis gesprochen. Das hat er also nicht richtig verstanden.
Markooooo7	Verfasst am: 30. Nov 2021 17:59    Titel: Hallo Index_razor, ich möchte eigentlich nur ein grundlegendes Verständnis bekommen: Und zwar nochmal zum Darstellungsraum: Auf der folgenden Seite: https://de.universaldenker.org/lektionen/1126 wird ein Spaltenvektor eingeführt. Meine Frage ist, ob der Spaltenvektor der dort eingeführt wird nun die DARSTELLUNG des abstrakten Vektors <Psi| ist ODER aber die Funktion Psi, nach Schrödinger die Darstellung des abstrakten Vektors, also bspw. Psi:R->R mit Psi(x)=... Außerdem: was ist der Unterschied bei den beiden Möglichkeiten? Da ich leider die Funktionalanalysis nicht gehört habe, ist es für mich sehr schwierig auf dem Niveau zu reden, so wie bei deiner letzten Antwort. Aber trotzdem vielen Dank dafür! Liebe Grüße Marko
TomS	Verfasst am: 30. Nov 2021 17:55    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: Ich kann mir diese Reaktion nur so erklären, daß dir selbst nicht bewußt ist, was du eigentlich schreibst. Das ist mir sehr wohl bewusst. index_razor hat Folgendes geschrieben: Es macht nichts, daß du das nicht siehst. Denn das Problem irgendwelche "nicht-normierbaren Streuzustände" dem l² zuzuordnen, existiert schlicht nicht. Wenn man in seinen Arbeiten explizit den l² verwendest, dann hat man das Problem. index_razor hat Folgendes geschrieben: Außerdem schreibst du hier nicht "Schrödinger beschränkt sich aufs Punktspektrum...", sondern er müsse sich darauf beschränken. Das bilde ich mir nicht ein, das steht tatsächlich da. Natürlich steht das da. Wie gesagt, wenn du den l² und Energieeigenwerte / -eigenfunktionen verwendest, dann bleibt dir nichts anderes übrig, oder? index_razor hat Folgendes geschrieben: Er muß es aber nicht. Hat er (Schrödinger) aber ;-) index_razor hat Folgendes geschrieben: Die Lösung ist einfach: Man läßt die überflüssige Voraussetzung fallen. Das versuche ich dir seit Stunden klarzumachen. Das musst du mir nicht erklären, das hatte ich schon zu Beginn verstanden. Der Ausgangspunkt ist der Beitrag von MarkkO. Du meinst, er hätte da was falsch verstanden und argumentierst insbs. mit dem abstrakten Hilbertraum. Genauso haben Schrödinger und Heisenberg aber sicher nicht argumentiert, da das Konzept erst von Dirac in die Physik eingeführt wurde. Schrödinger hat zumindest bzgl. der Bewegungsgleichungen explizit auf Basis von Energie-Eigenfunktionen argumentiert. Im Endeffekt hat MarkkO die Argumentation von Schrödinger im Kern richtig verstanden, nicht jedoch den Bezug zum abstrakten Hilbertraum sowie die überflüssige Voraussetzungen und die notwendige Verallgemeinerung.
index_razor	Verfasst am: 30. Nov 2021 17:34    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Ich würde mir wünschen, dass du liest, was ich schreibe, ohne irgendetwas hineinzuinterpretieren, was ich explizit nicht schreibe! Ich führe hier gar nichts ein, sondern ich beziehe mich auf das, was Schrödinger nach meinem Wissen geschrieben hast. Ich kann mir diese Reaktion nur so erklären, daß dir selbst nicht bewußt ist, was du eigentlich schreibst. Oben hast du dir Probleme ausgemalt, die es nicht gibt, nämlich: TomS hat Folgendes geschrieben: Was mir aber nicht klar ist, wie Schrödinger die Äquivalenz tatsächlich gezeigt haben will. Denn um zum l² zu gelangen, muss er sich auf das Punktspektrum beschränken bzw. Wellenpakete betrachten; jedenfalls sehe ich nicht, wie man nicht-normierbare Streuzustände mit kontinuierlichem Spektrum dem l² zuordnen will. Es macht nichts, daß du das nicht siehst. Denn das Problem irgendwelche "nicht-normierbaren Streuzustände" dem l² zuzuordnen, existiert schlicht nicht. Außerdem schreibst du hier nicht "Schrödinger beschränkt sich aufs Punktspektrum...", sondern er müsse sich darauf beschränken. Das bilde ich mir nicht ein, das steht tatsächlich da. Er muß es aber nicht. Ob er sich darauf beschränkt oder sogar meint es tun zu müssen, interessiert mich ehrlich gesagt nicht. Mein Problem ist nämlich nicht, was Schrödinger irgendwo bewiesen hat, sondern wie der Zusammenhang zwischen Wellenmechanik und Matrizenmechanik aussieht. Dabei definiere ich "Wellenmechanik" = lineare Differentialgleichung auf und "Matrizenmechanik" = lineare Differentialgleichung auf . Und die Äquivalenz wird m.E. allein durch die Separabilität von geklärt. Das ganze Problem hat also mit Punktspektren gar nichts zu tun. Zitat: "Und was ist nun das Problem? Daß Schrödinger Zusatzvoraussetzungen einführt, die 1) gar nicht immer erfüllbar, aber 2) auch überflüssig sind?" Genau. Die Lösung ist einfach: Man läßt die überflüssige Voraussetzung fallen. Das versuche ich dir seit Stunden klarzumachen. Stattdessen bildest du dir ein ich würde irgendwas in deine Aussagen hineininterpretieren.
TomS	Verfasst am: 30. Nov 2021 15:52    Titel: Ich würde mir wünschen, dass du liest, was ich schreibe, ohne irgendetwas hineinzuinterpretieren, was ich explizit nicht schreibe! Ich führe hier gar nichts ein, sondern ich beziehe mich auf das, was Schrödinger nach meinem Wissen geschrieben hast. Heisenberg bezieht sich ja auf Matrizen, die er aus konkreten Problemen ableitet, z.B. dem Energieoperator eines bestimmten Systems. "Du kannst für jeden Energieoperator völlig unabhängig von seinem Spektrum eine Matrixdarstellung ableiten". Ja, kann ich. Habe ich nie bestritten. "Nochmal, es existiert keine Energiebasis." Stimmt, zumindest in vielen relevanten Fällen; habe ich selbst geschrieben. Es wird jedoch häufig eine Energiebasis verwendet, z.B. im Zuge des Beweises der Äquivalenz von Schrödinger- und Heisenberg-Gleichung. "Was spielt denn das für eine Rolle?" Dass Schrödinger es m.W.n. nach so bewiesen hat, also gilt sein Beweis nur unter dieser Voraussetzung. "Und was ist nun das Problem? Daß Schrödinger Zusatzvoraussetzungen einführt, die 1) gar nicht immer erfüllbar, aber 2) auch überflüssig sind?" Genau.
index_razor	Verfasst am: 30. Nov 2021 15:20    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: index_razor hat Folgendes geschrieben: TomS hat Folgendes geschrieben: index_razor hat Folgendes geschrieben: Was denn für ein Spektrum? Wenn irgendein Operator einen vollständigen Satz von Eigenvektoren besitzt, kann man diese selbstverständlich als Hilbertraumbasis benutzen. Wenn nicht dann, dann natürlich nicht. Aber da man von vornherein nur irgendeine Basis benötigt, muß man nicht extra einen Operator mit komplettem Satz von Eigenvektoren suchen. Klar. Aber ich sehe (bei dem was ich bisher dazu gelesen habe) immer wieder, dass ein diskretes Spektrum betrachtet wird, d.h. dass die Äquivalenz auch nur für diesen Fall gezeigt wird. Von welcher Äquivalenz redest du eigentlich? Die Aussage, die ich meine, benötigt nur eine abzählbare Hilbertraumbasis. Sie benötigt nicht die Zusatzvoraussetzung, daß dies die Eigenbasis irgendeines Operators ist. Verstehst du mich wirklich nicht? Nein, bzw. glaube ich, daß du unnötige Zusatzvoraussetzungen einführst. Siehe hier https://www.physikerboard.de/ptopic,367465.html#367465. Zitat: Heisenberg bezieht sich ja auf Matrizen, die er aus konkreten Problemen ableitet, z.B. dem Energieoperator eines bestimmten Systems. Na und? Du kannst für jeden Energieoperator völlig unabhängig von seinem Spektrum eine Matrixdarstellung ableiten. Was du nicht garantieren kannst, ist, daß die Matrix diagonal ist. Das ist aber auch nicht nötig. Zitat: Bestimmte Probleme kannst du in dieser Form jedoch nicht darstellen, z.B. Streuzustände; ein l² mit dieser konkreten Energiebasis existiert schlicht nicht: weder sind die Streuzustände quadratintegrabel, noch führt diese Darstellung auf Matrizen. Nochmal, es existiert keine Energiebasis. Das hat mit l² überhaupt nichts zu tun. (Und natürlich existieren normierbare Streuzustände. Streuzustände sind nicht dasselbe wie "Eigenzustände" zum kontinuierlichen Spektrum. Letztere existieren tatsächlich nicht.) Zitat: Es wird jedoch häufig eine Energiebasis verwendet, z.B. im Zuge des Beweises der Äquivalenz von Schrödinger- und Heisenberg-Gleichung. Was spielt denn das für eine Rolle? Zitat: Und damit gilt dieser Beweis eben nur unter der Annahme, dass auch eine Energie-Eigenbasis vorliegt - was häufig nicht der Fall nicht der Fall ist. Nur wenn du auch beweisen wolltest, daß H diagonal ist. Aber das spielt doch überhaupt keine Rolle. Zitat: Ich bestreite nirgendwo, dass ein allgemeiner Beweis der Äquivalenz von Schrödinger- und Heisenberg-Gleichung ohne Verwendung einer Energiebasis möglich ist; aber soweit ich mich erinnere, verwendet Schrödinger in seinem Beweis der Äquivalenz explizit ein diskretes (abzählbares) Energiespektrum und die zugehörige Energie-Eigenfunktionen. Und damit ist sein Beweis nur sehr eingeschränkt gültig. Und was ist nun das Problem? Daß Schrödinger Zusatzvoraussetzungen einführt, die 1) gar nicht immer erfüllbar, aber 2) auch überflüssig sind?
TomS	Verfasst am: 30. Nov 2021 15:12    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: TomS hat Folgendes geschrieben: index_razor hat Folgendes geschrieben: Was denn für ein Spektrum? Wenn irgendein Operator einen vollständigen Satz von Eigenvektoren besitzt, kann man diese selbstverständlich als Hilbertraumbasis benutzen. Wenn nicht dann, dann natürlich nicht. Aber da man von vornherein nur irgendeine Basis benötigt, muß man nicht extra einen Operator mit komplettem Satz von Eigenvektoren suchen. Klar. Aber ich sehe (bei dem was ich bisher dazu gelesen habe) immer wieder, dass ein diskretes Spektrum betrachtet wird, d.h. dass die Äquivalenz auch nur für diesen Fall gezeigt wird. Von welcher Äquivalenz redest du eigentlich? Die Aussage, die ich meine, benötigt nur eine abzählbare Hilbertraumbasis. Sie benötigt nicht die Zusatzvoraussetzung, daß dies die Eigenbasis irgendeines Operators ist. Verstehst du mich wirklich nicht? Heisenberg bezieht sich ja auf Matrizen, die er aus konkreten Problemen ableitet, z.B. dem Energieoperator eines bestimmten Systems. Bestimmte Probleme kannst du in dieser Form jedoch nicht darstellen, z.B. Streuzustände; ein l² mit dieser konkreten Energie-Eigenbasis existiert schlicht nicht: weder sind die Streuzustände quadratintegrabel, noch führt diese Darstellung auf Matrizen. Es wird jedoch häufig eine Energie-Eigenbasis verwendet, z.B. im Zuge des Beweises der Äquivalenz von Schrödinger- und Heisenberg-Gleichung. Und damit gilt dieser Beweis eben nur unter der Annahme, dass auch eine Energie-Eigenbasis vorliegt - was häufig nicht der Fall nicht der Fall ist. Ich bestreite nirgendwo, dass ein allgemeiner Beweis der Äquivalenz von Schrödinger- und Heisenberg-Gleichung ohne Verwendung einer Energie-Eigenbasis möglich ist; aber soweit ich mich erinnere, verwendet Schrödinger in seinem Beweis der Äquivalenz explizit ein diskretes (abzählbares) Energiespektrum und die zugehörige Energie-Eigenfunktionen. Und damit ist sein Beweis nur sehr eingeschränkt gültig. index_razor hat Folgendes geschrieben: Du scheinst die implizite Zusatzforderung aufzustellen, daß irgendeine der verwendeten Matrizen auch noch diagonal ist. Das ist aber gar nicht nötig. So kenne ich Schrödingers Beweis. Wie gesagt, ich habe nicht behauptet, dass das notwendig wäre.
index_razor	Verfasst am: 30. Nov 2021 15:02    Titel: Also wir wollen die "Matrizenmechanik" aus dem abstrakten Hilbertraumformalismus ableiten. Dazu benötigen wir nur eine abzählbare Basis . Unsere Spaltenvektoren sind dann Unsere "Energiematrix" ist Also gilt z.B. etc. Das hat überhaupt nichts mit dem Spektrum von H oder irgendeinem anderen Spektrum zu tun. Du scheinst die implizite Zusatzforderung aufzustellen, daß irgendeine der verwendeten Matrizen auch noch diagonal ist. Das ist aber gar nicht nötig.
index_razor	Verfasst am: 30. Nov 2021 14:47    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: index_razor hat Folgendes geschrieben: Was denn für ein Spektrum? Wenn irgendein Operator einen vollständigen Satz von Eigenvektoren besitzt, kann man diese selbstverständlich als Hilbertraumbasis benutzen. Wenn nicht dann, dann natürlich nicht. Aber da man von vornherein nur irgendeine Basis benötigt, muß man nicht extra einen Operator mit komplettem Satz von Eigenvektoren suchen. Klar. Aber ich sehe (bei dem was ich bisher dazu gelesen habe) immer wieder, dass ein diskretes Spektrum betrachtet wird, d.h. dass die Äquivalenz auch nur für diesen Fall gezeigt wird. Von welcher Äquivalenz redest du eigentlich? Die Aussage, die ich meine, benötigt nur eine abzählbare Hilbertraumbasis. Sie benötigt nicht die Zusatzvoraussetzung, daß dies die Eigenbasis irgendeines Operators ist.
index_razor	Verfasst am: 30. Nov 2021 14:43    Titel: Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: Kannst du mir die unitäre Abbildung U, die du auch schon in deinem ersten Beitrag erwähnt hast, dann mal genau definieren, dass ich sehe wie der abstrakte Ortsoperator hineinkommt um die Wellenfunktion Psi(x) zu definieren? Die Grundidee ist jeder Funktion f auf dem Spektrum von X (sprich jeder "Wellenfunktion") einen Operator f(X) zuzuordnen und diese Zuordnung dann sozusagen zu "invertieren", d.h. man konstruiert U, so daß Das funktioniert, wenn man (fast) alle abstrakten Hilbertraumvektoren in der Form mit einem fixen und einem geeigneten f darstellen kann. Falls so ein Vektor existiert, repräsentiert er die Wellenfunktion, die auf dem gesamten Spektrum gleich 1 ist. Für Details (insbesondere die Komplikationen eines unbeschränkten Spektrums) muß ich dich aber auf Beweise des Spektralsatzes verweisen. Zitat: Meine Idee wäre, wenn ich mir <x|Psi>=:Psi(x) anschaue, dass <x| als lineares Funktional mein U ist. Aber ich sehe, wenn <x| mein U ist, da noch nicht den ABSTRAKTEN Ortsoperator drinnen enthalten. Es gilt eher (U' = adjungierter zu U) und mit deshalb Zitat: Denn: Ursprünglich wird doch das Funktional <x| (aus dem Dualraum) aus einem Ket |x> des abstrakten Hilbertraums definiert, wobei letzteres bloß ein Basisvektor im abstrakten Hilbertraum H ist. Nein, |x> ist kein Ket und kein Basisvektor. Es ist überhaupt kein Element des Hilbertraums. Es ist ein Element aus dem Dualraum eines dichten Teilraums des Hilbertraums. Dieser Dualraum enthält Elemente, denen man keine Hilbertraumvektoren zuordnen kann. Zitat: Somit sehe ich hier auch noch nicht, wie der Ortsortsoperator in die unitäre Abbildung U hineinkommt, dass wir eine Ortswellenfunktion Psi(x) erhalten. Das habe ich auch überhaupt noch nicht erklärt. Ich habe nur erwähnt, daß die Grundlage hierfür der Spektralsatz ist. Ich habe jetzt oben angedeutet, wie man zu so einer Abbildung kommt. Ich befürchte aber, daß es so für sich allein auch nicht unbedingt verständlich ist.
TomS	Verfasst am: 30. Nov 2021 14:05    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: Was denn für ein Spektrum? Wenn irgendein Operator einen vollständigen Satz von Eigenvektoren besitzt, kann man diese selbstverständlich als Hilbertraumbasis benutzen. Wenn nicht dann, dann natürlich nicht. Aber da man von vornherein nur irgendeine Basis benötigt, muß man nicht extra einen Operator mit komplettem Satz von Eigenvektoren suchen. Klar. Aber ich sehe (bei dem was ich bisher dazu gelesen habe) immer wieder, dass ein diskretes Spektrum betrachtet wird, d.h. dass die Äquivalenz auch nur für diesen Fall gezeigt wird. Zitat: Selbstverständlich kann ich Streuzustände im l² darstellen. Was ich nicht darstellen kann, sind "Eigenzustände" zu Elementen des kontinuierlichen Spektrums. Das kann ich aber auch nicht in L². Es existiert überhaupt keine "Energiebasis", wenn H ein kontinuierliches Spektrum hat, weder in L² noch in l². Genau. Aber es wird eben häufig eine Energie-Eigenbasis verwendet, z.B. im Zuge des Beweises der Äquivalenz von Schrödinger- und Heisenberg-Gleichung. Und damit gilt dieser Beweis eben nur unter der Annahme, dass auch eine Energie-Eigenbasis vorliegt.
Markooooo7	Verfasst am: 30. Nov 2021 13:57    Titel: Hallo Index_razor, danke dir für deine Nachricht! Kannst du mir die unitäre Abbildung U, die du auch schon in deinem ersten Beitrag erwähnt hast, dann mal genau definieren, dass ich sehe wie der abstrakte Ortsoperator hineinkommt um die Wellenfunktion Psi(x) zu definieren? Meine Idee wäre, wenn ich mir <x|Psi>=:Psi(x) anschaue, dass <x| als lineares Funktional mein U ist. Aber ich sehe, wenn <x| mein U ist, da noch nicht den ABSTRAKTEN Ortsoperator drinnen enthalten. Denn: Ursprünglich wird doch das Funktional <x| (aus dem Dualraum) aus einem Ket |x> des abstrakten Hilbertraums definiert, wobei letzteres bloß ein Basisvektor im abstrakten Hilbertraum H ist. Somit sehe ich hier auch noch nicht, wie der Ortsortsoperator in die unitäre Abbildung U hineinkommt, dass wir eine Ortswellenfunktion Psi(x) erhalten. Liebe Grüße Marko

Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group