TomS |
Verfasst am: 13. Jan 2021 07:08 Titel: |
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Deine zweite Differentialgleichung beschreibt einen Prozess mit exponentiellem Wachstum. Deine erste Differentialgleichung beschreibt einen Prozess mit beschränktem exponentiellem Wachstum. Während im zweiten Fall angenommen wird, dass eine gewisse Ressource unendlich ist, ist diese Ressource im ersten Fall endlich und wird verbraucht. L entspricht dabei der Sättigung: bei P = L wäre dP/dt = 0, d.h. ausgehend von P < L kann P > L nicht bzw. P = L nur asymptotisch erreicht werden. Beispiel Pandemie: Im zweiten Fall sind unendlich viele Menschen und demnach auch unendlich viele nicht Infizierte vorhanden; die Zahl der Infizierten wächst unbegrenzt. Im ersten Fall sind nur endlich viele Menschen vorhanden, einmal Infizierte sterben oder werden immun; dadurch sind nur endlich viele nicht-Infizierte vorhanden - deren Zahl außerdem mit der Zeit abnimmt - und nur diese können noch infiziert werden. Deine zweite Differentialgleichung geht aus der ersten hervor für den Spezialfall d.h. zu Beginn der Epidemie wirkt sich die Begrenzung nicht aus, das Wachstum erfolgt in sehr guter Näherung immer exponentiell. Beide Differentialgleichungen können mittels Trennung der Variablen integriert werden. |
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