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terminus	Verfasst am: 20. Nov 2020 16:23    Titel: danke, das lasse ich jetzt mal so stehen und sacken... ;-)
TomS	Verfasst am: 20. Nov 2020 16:20    Titel: Mal ein Beispiel, damit du verstehst, dass Kets keine Spaltenvektoren sind. Wir betrachten das Wasserstoffatom - genauer ein Elektron im Wasserstoffatom. Der Kürze halber lassen wir den Spin des Elektrons weg. Das Elektron kann sich in Zuständen befinden, die mit n,l,m bezeichnet werden; n ist die Hauptquantenzahl, l steht für den Bahndrehimpuls und m für dessen z-Komponente. Durch Lösen der quantenmechanischen Gleichungen findet man die erlaubten Werte Wenn z.B. n = 3, dann ist l =2 der maximal erlaubte Wert, und m läuft über -2,-1,0,1,2. Ein erlaubter Zustand wäre also gegeben durch n = 3 , l = 1, m = -1. Der Physiker schreibt dafür kurz Dies ist kein Vektor im R^3, einfach ein Symbol!
terminus	Verfasst am: 20. Nov 2020 16:17    Titel: hm, ok, verstehe ich jetzt allerdings nicht um ehrlich zu sein. Muss aber sicher auch noch nicht sein. An dieser Stelle im Buch ist sicher auch erst mal nur wichtig, dass nach der Drehung von A von m^ um z.B. 45° nach n^ dann der Erwartungswert <σ> = |m^| |n^| cos(45°) = 0,70711 ist. (uups, erst verrechnet) Falls dann hier irgendwann mal das Psi dazu kommt, werde ich intensivst vorbereitet sein, vielen herzlichen Dank! 8-)
TomS	Verfasst am: 20. Nov 2020 15:58    Titel: terminus hat Folgendes geschrieben: verstehe ich es aber dann richtig, nachdem der Vekrorraum der |ψ> hier offenbar aufgespannt wird durch { |+1>, |-1> }, was ja beides anscheinend reelle Einheitsvektoren sind, also dann |ψ> ∈ R² ist? Fast. Zunächst mal sind die Koeffizienten komplex, d.h. es liegt ein 2-dim. Vektorraum über den komplexen Zahlen vor. Aber (!) sondern Der Ket selbst ist nur ein abstraktes Symbol, ein Element eines abstrakten Hilbertraumes.
terminus	Verfasst am: 20. Nov 2020 15:38    Titel: ok, danke, noch sehr viel Mathematik, die ich komplett noch nicht verstehe, aber was nicht ist,.... verstehe ich es aber dann richtig, nachdem der Vekrorraum der |ψ> hier offenbar aufgespannt wird durch { |+1>, |-1> }, was ja beides anscheinend reelle Einheitsvektoren sind, also dann |ψ> ∈ R² ist?
TomS	Verfasst am: 20. Nov 2020 15:27    Titel: Die Notation mit Bra und Ket abstrahiert davon, um welchen Vektorraum es sich handelt; deswegen ist sie oft sehr kompakt und praktisch für allgemeine Überlegungen. Für konkrete Berechnung nutzt man dann z.B. Spaltenvektoren - s.u. 1) Für ein Spin-System mit zwei möglichen Ausrichtungen ist der Vektorraum zweidimensional; dies ist der Fall für Spin-1/2 Teilchen wie z.B. Elektronen sowie masselose Teilchen wie insbs. Photonen. Die o.g. Zustände bilden eine Basis. Für die Dimension bei Spin gilt (mit Ausnahme der masselosen Teilchen mit dim = 2) I.A. liegt in der Quantenmechanik jedoch ein unendlich-dimensionaler Hilbertraum vor. 2) Im Falle einer diskreten Basis gehören die Komponenten-Vektoren dem speziellen l²-Folgenraum an, d.h. einer Verallgemeinerung endlich-dimensionaler Spaltenvektoren. 3) In vielen Fällen verwendet man jedoch auch den unendlich-dimensionalen L²-Funktionenraum. Bsp.: Betrachte Funktionen f(x) mit Fourierreihen Die Koeffizienten bilden einen unendlich-dimensionalen Spaltenvektoren im l². Die Funktionen selbst sind Elemente des L². Die Formel stellt eine Entwicklung von f(x) nach einer Basis dar, den Exponentialfunktionen in der Fourierreihe. 4) Nun sind alle separablen Hilberträume isometrisch isomorph, d.h. es ist letztlich egal, welchen man nutzt, da man sie bijektiv aufeinander abbilden kann. Deswegen abstrahiert man von Darstellungen wie (2) oder (3) und schreibt allgemein den Ket |f>. (2) und (3) sind dann nur spezielle Darstellungen für |f>. Physikalisches Beispiel: Betrachte Schwingungen eines kreisförmigen Haushaltsgummies. Es seien die Grundschwingung sowie die dritte Oberschwingung angeregt. (2) Folge Skalarprodukt zweier Folgen f,g (3) Funktion Skalarprodukt zweier Funktionen (bis auf Normierung sowie die Länge des Gummies) (4) Bra-Ket Skalarprodukt https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum https://de.m.wikipedia.org/wiki/Folgenraum https://de.m.wikipedia.org/wiki/Lp-Raum#Der_Hilbertraum_L2 https://de.m.wikipedia.org/wiki/Isometrische_Isomorphie
terminus	Verfasst am: 20. Nov 2020 14:42    Titel: bis jetzt bin ich erst nur bis S. 27 gekommen, und da wurde noch kein Psi gebraucht und kein Operator eingeführt, ich versuche daher erst einmal nur das <σ> zu verstehen, samt Rechenregeln. (Denn tatsächlich rechnet man ja mit Vektoren oder Matrizen untereinander anders als mit Zahlen untereinander). Rest kommt sicher noch, es sind ja immerhin noch über 200 Seiten. Zwischenstand bisher (IIUC): <σ> ist kein Bra, kein Ket und kein BraKet, sondern nur eine einfache reelle Zahl, die beidseitigen "Pfeilrichtungen" der Klammern bei <σ> haben nichts mit den Pfeilrichtungen der Klammern bei |x> und <y| oder <y|x> zu tun, und daher ist es nur eine ungewohnte Schreibweise für eine einfache reelle Zahl - und es hat vor allem nichts direkt mit den Bra/Kets zu tun (außer dass man es beim Rechnen auch mit BraKets verwendet) - das hatte ich beim Post vom 19. Nov 2020 10:39 offenbar missverstanden. Also, bislang sind sowohl Operatoren als auch das ψ, so wie du es verwendest, komplettes Neuland. Kommt aber vlt schon bald auch im Buch, mal schaun... Was mich noch verwirrt, ist die Schreibweise für einen Ket (oder Bra) Nachher: denn ich verstand einen Ket oder Bra jew. als Vektor eines Vektorraums - um was für einen Vektorraum handelt es sich aber hier, mit wieviel Dimensionen, über welchem Körper ( R^n oder C^n , n=?? )? Ist es ein C², und |ψ> folglich ein 2-dim Vektor mit komplexen Komponenten? Und haben die |ψ> immer diese Dimension, oder ist die Dimension beliebig, ggf sogar ∞?
TomS	Verfasst am: 20. Nov 2020 14:20    Titel: Nein ;-) Dein σ = +1 bezeichnet einen Messwert. Dein <σ> bezeichnet den Erwartungswert für die Messungen der Observablen bzw. des Operators σ. Mein s=1, s_z = * bezeichnet den Zustand des Photons. Vor der Messung ist s_z = * unbekannt. Im Zuge der Messung erhältst du zufällig einen Messwert, z.B. σ = +1. Dadurch ändert sich der Zustand des Photons zu s_z = +1. Du musst Messwert und Zustand auseinanderhalten, das ist sowohl mathematisch als auch physikalisch etwas anderes. Steht davon nichts in deinem Buch? Messprozess, Kollaps oder Reduktion, Projektion, Eigenwerte und Messwerte, Bornsche Regel, ...?
terminus	Verfasst am: 20. Nov 2020 14:05    Titel: dein s, ist das mein σ?
TomS	Verfasst am: 20. Nov 2020 13:53    Titel: terminus hat Folgendes geschrieben: ok, also doch eine reelle Zahl, danke. Das macht es einfacher, denn ich kann dann nach den Rechenregeln des Körpers der reellen Zahlen rechnen (und nicht nach den Rechenregeln des Vektorraums der Matrizen über dem Körper der reellen Zahlen Vermutlich denkst du zu kompliziert. terminus hat Folgendes geschrieben: Zurück also zunächst zu dem ominösen ψ, das bei dir immer auftaucht: Wie wäre das ψ für mein Spin-Mess-Experiment explizit genau zu definieren? Ich messe den Spin ja im R³, erst nach dem einen R³-Vektor ausgerichtet (wo ich +1 messe), und dann nach Drehung der Messapparatur entlang eines anderen Raumvektors, um einen Winkel φverdreht? Das können wir gerne tun, aber ich frage mich ernsthaft, was dein Buch nützt, wenn es das nicht erklärt. Nochmal zurück zu “Der Erwartungswert der Observable σ für Messungen an Systemen repräsentiert durch Ket |ψ> berechnet sich zu ...” Der Zustand des Systems vor einer Messung wird repräsentiert durch einen Ket |ψ>; d.h. man muss unterscheiden, was über da System bekannt ist und was nicht bzw. was erst im Zuge einer Messung bekannt wird. Betrachten wir ein Photon. Der Betrag des Spin ist s = 1. Die Orientierung des Spins vor der ersten Messung ist unbekannt. Nach der ersten Messung ist die Orientierung bekannt, nämlich +1. Vorher: Nachher: Dabei bezeichnet s_z die Komponente des Spins parallel zu der Achse, bzgl. der gemessen wird. Vor der Messung ist dies unbekannt, das Photon befindet sich in einem Überlagerungszustand aus beiden möglichen Zuständen (bzgl. dieser Achse); die komplexen Koeffizienten a_+ und a_- sind unbekannt. Nach der Messung sind die Koeffizienten bekannt. Der “Inhalt” des Kets, als das was zwischen | und > steht, kodiert sozusagen unser Wissen über das Photon. Wenn man immer Photonen betrachtet, lässt man das “s = 1” weg und schreibt kurz Vorher: Nachher: Das definiert die beiden Kets. Die Wahrscheinlichkeit p, dass Spin-Orientierung +1 bzw. -1 gemessen werden wird, lautet Dies kann auch als Erwartungswert von Operatoren E geschrieben werden: Zu Details der Algebra später.
terminus	Verfasst am: 20. Nov 2020 12:59    Titel: ok, also doch eine reelle Zahl, danke. Das macht es einfacher, denn ich kann dann nach den Rechenregeln des Körpers der reellen Zahlen rechnen (und nicht nach den Rechenregeln des Vektorraums der Matrizen über dem Körper der reellen Zahlen ;-) ) Den Rest stelle ich mal kurz zurück... Zurück also zunächst zu dem ominösen ψ, das bei dir immer auftaucht: Wie wäre das ψ für mein Spin-Mess-Experiment explizit genau zu definieren? Ich messe den Spin ja im R³, erst nach dem einen R³-Vektor ausgerichtet (wo ich σ=+1 messe, hätte ntl auch -1 sein können), um dann anchließend nach Drehung der Messapparatur entlang eines anderen Raumvektors (um einen Winkel φ verdreht) - in Abhängigkeit von φ - den Erwartungswert <σ> zu berechnen? (OMG, dieser Editor hier bringt mich um...!)
TomS	Verfasst am: 20. Nov 2020 12:52    Titel: terminus hat Folgendes geschrieben: Zitat: Natürlich könnte man den Erwartungswert für σ als E(σ) bezeichnen. Aufgrund der Bra-Ket-Notation, ist es jedoch nach Dirac schlichtweg üblich und sinnvoll, stattdessen <σ> zu schreiben. Wenn du also die Quantenmechanik verstehen willst, dann vergiss E(σ) und verwende stattdessen <σ>. E(σ) ist aber eine reelle Zahl, dann wäre also <σ> auch eine reelle Zahl? Natürlich ist das eine reelle Zahl, die Notation ändert doch nicht den Gehalt. Spätestens aus der expliziten Berechnung ganz unten folgt (*), dass eine reelle Zahl vorliegt (dass es eine komplexe Zahl ist, ist offensichtlich, dass der Imaginärteil verschwindet, muss ich noch erklären) terminus hat Folgendes geschrieben: ... denn hier heißt es ja, es wäre eine Matrix - das ist nun allerdings (endlich) ein völlig neuer Aspekt: Du musst genau lesen, was ich schreibe: der Operator wäre eine Matrix, nicht jedoch der zugehörige Erwartungswert. Siehe die Berechnung ganz unten (*) terminus hat Folgendes geschrieben: ... denn mein <σ> wäre demnach keine reelle Zahl, sondern eine reelle 1x1 Matrix mit dem einzigen reellen Wert E(σ)? <σ> ist einfach eine reelle Zahl. Zu den zwei Notationen Genauso wie beim Ableiten Zwei Notationen, die das selbe bedeuten. (*) TomS hat Folgendes geschrieben: Darum geht es.
terminus	Verfasst am: 20. Nov 2020 12:25    Titel: nochmals vielen Dank für die Mühe, auch wenn ich nerve und auch wenn ich zu dumm bin, alles das zu verstehen. Aber Schritt für Schritt: Zitat: Wie TomS schon sagte, das ist einfach nur eine übliche Schreibweise. Mir ist nicht ganz klar, warum du da so einen Zinnober darum veranstaltest Zitat: Natürlich könnte man den Erwartungswert für σ als E(σ) bezeichnen. Aufgrund der Bra-Ket-Notation, ist es jedoch nach Dirac schlichtweg üblich und sinnvoll, stattdessen <σ> zu schreiben. Wenn du also die Quantenmechanik verstehen willst, dann vergiss E(σ) und verwende stattdessen <σ>. E(σ) ist aber eine reelle Zahl, dann wäre also <σ> auch eine reelle Zahl? Glaube ich allerdings jetzt nicht mehr so recht, denn hier heißt es ja, es wäre eine Matrix - das ist nun allerdings (endlich) ein völlig neuer Aspekt: Zitat: Auch wenn du noch nicht weißt, was ein Operator ist, es ist keine Zahl (in der linearen Algebra wäre es eine Matrix - s.u.) Jetzt könnte sich allerdings das Dunkel lichten, denn mein <σ> wäre demnach keine reelle Zahl, sondern eine reelle 1x1 Matrix mit dem einzigen reellen Wert E(σ)? (to be continued....)
TomS	Verfasst am: 20. Nov 2020 12:11    Titel: terminus hat Folgendes geschrieben: danke, aber du antwortest wieder mit Dingen, nach denen ich nicht gefragt habe ... Also zurück zur ursprünglichen Fragestellung: terminus hat Folgendes geschrieben: Verständnisfrage zu Dirac-Notation und Vektoren 1.) ich kenne zwar die Schreibweisen |x> (Ket) und <y| (Bra) und <x|y> (BraKet), aber was genau ist oder ? Ich antworte genau auf deine Frage und erkläre die Dirac-Notation. terminus hat Folgendes geschrieben: ... und führst neue Buchstaben ein, die ich nicht verwendet habe und ohne sie zu erklären (wie deine zusätzlichen seltsamen Psis - ich habe so etwas nicht, was soll das sein?) |.> ist ein Ket, egal, was du für den Punkt hinschreibst; x, n, psi, nlm, ... es ist immer ein Ket. terminus hat Folgendes geschrieben: ... und sprichst auch noch von von neuen Begriffen wie "Operatoren", die ich nirgends in den Mund genommen habe. Du liest ein Buch über Quantenmechanik, sagst, dir seien Kets vertraut, fragst nach der Bedeutung von . Ich antworte dir, dass es sich um einen Erwartungswert eines Operators handelt. Das Konzept ist jedenfalls essentiell; dafür, dass das Buch dies nicht erklärt, kann ich nichts. Anstatt zu fragen, was ein Operator denn ist, wirfst du mir vor, dass ich es dir erklären möchte. terminus hat Folgendes geschrieben: Du verstehst offenbar meine Frage nicht, antwortest etwas anders mit völlig anderen Bezügen, Begriffen und Symbolen, und ich verstehe daher nicht deine Antwort: klassischer Fall von Aneinandervorbeireden. Ja - wobei ich da insbs. diesem Buch die Schuld gebe. terminus hat Folgendes geschrieben: Wenn du also antwortest, bitte verwende NUR die Zeichen und Symbole und Bezeichner, so wie ich sie auch verwendet habe, sonst wird das nichts. Also gut, letzter Versuch ... terminus hat Folgendes geschrieben: ... wenn σ ein Messwert ist (für einen Spin längs einer Raumachse, also +1 oder -1), wieso verwendet man dann für seinen Erwartungswert ∈ [-1...+1] (Messung längs einer anderen (gekippten) Raumachse) die Schreibweise <σ>? σ wird in deinem Fall leider in unterschiedlicher verwendet, ohne dass das Buch das erklärt. Einmal ist σ ein Messwert: „bestätigen σ = +1“. Einmal andermal ist σ eine Zufallsvariable im mathematischen Sinn: „so ergeben nachfolgende Messungen ... das statistische Resultat <σ>“; den Begriff der Zufallsvariable verwendet die Quantenmechanik jedoch nicht. Wichtig ist, dass es sich eben nicht um einen Messwert handelt, sondern um den Erwartungswert für viele Messungen. Natürlich könnte man den Erwartungswert für σ als E(σ) bezeichnen. Aufgrund der Bra-Ket-Notation, ist es jedoch nach Dirac schlichtweg üblich und sinnvoll, stattdessen <σ> zu schreiben. Wenn du also die Quantenmechanik verstehen willst, dann vergiss E(σ) und verwende stattdessen <σ>. Die Quantenmechanik spricht von messbaren Größen, sogenannten Observablen, z.B. Energie, Impuls, Drehimpuls, Spin, ... Diese Größen werden im Kontext von quantenmechanischen Systemen betrachtet, z.B. einem freien Elektron, einem Photon, einem Elektron im Atom, ... In der Quantenmechanik werden diese Observablen mathematisch durch sogenannte Operatoren repräsentiert. Wenn nun in der Quantenmechanik die Schreibweise <σ> verwendet wird, dann bezeichnet σ einen solchen Operator - keine Zufallsvariable und keinen Messwert. Auch wenn du noch nicht weißt, was ein Operator ist, es ist keine Zahl (in der linearen Algebra wäre es eine Matrix - s.u.) Und in der Quantenmechanik werden die zu betrachtenden Systeme durch Kets repräsentiert. Häufig schreibt man in den Ket irgendwas vernünftig rein, z.B. |0> für den Grundzustand, |n> für einen bestimmten Zustand, wenn die Zustände durch eine natürliche Zahl n angezählt werden können, |x> für einen Zustand an dem ein Teilchen einen präzisen Ort x einnimmt ...; oder |ψ> für einen beliebigen Zustand - vgl. x für eine beliebige Variable oder f(x) für eine beliebige Funktion. Die Schreibweise <σ> bedeutet dann, dass im Zuge von Messungen an einem Ensemble identischer Systeme der Erwartungswert für die Observable σ gemeint ist (sollte dein Buch etwas anderes sagen, darfst du ihm misstrauen). Die Schreibweise leitet sich von dem Bra-Ket-Formalismus ab, da für ein bestimmtest System, das durch den Ket |ψ> repräsentiert wird, die Berechnung des Erwartungswertes wie folgt funktioniert: Der Erwartungswert der Observable σ für Messungen an Systemen repräsentiert durch Ket |ψ> berechnet sich zu = der rechte Ausdruck. Diese Regel ist allgemeingültig für beliebige Observablen und beliebige quantenmechanisch Systeme - nicht nur für den Spin. Wenn du die Darstellung des Kets bzgl. einer Basis |n> kennst bzw. berechnen kannst, und wenn du die zugehörige Matrix-Darstellung des Operators σ berechnen kannst, dann funktioniert die Berechnung des Erwartungswertes <σ> anhand der Komponenten des Kets sowie der Komponenten der zugehörigen Matrix bzgl. der Basis |n> wie folgt: Die Rechnung funktioniert - unter diesen Voraussetzungen - wie “Zeilenvektor mal Matrix mal Spaltenvektor”; der Operator wird in diesem Fall durch eine Matrix repräsentiert, i.A. jedoch nicht. Wenn du dir einen Gefallen tun möchtest, dann arbeitest du dich an dieser Formel ab; danach hast du den Bra-Ket-Formalismus wirklich verstanden. Mathematische Voraussetzungen sind lineare Algebra, insbs. Vektoren und Matrizen, mehr nicht; Nachfragen sind möglich.
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 20. Nov 2020 12:10    Titel: terminus hat Folgendes geschrieben: Vielleicht kann ja jemand anderes meine Fage beantworten. wenn σ ein Messwert ist (für einen Spin längs einer Raumachse, also +1 oder -1), wieso verwendet man dann für seinen Erwartungswert ∈ [-1...+1] (Messung längs einer anderen (gekippten) Raumachse) die Schreibweise <σ>? Wie TomS schon sagte, das ist einfach nur eine übliche Schreibweise. Mir ist nicht ganz klar, warum du da so einen Zinnober darum veranstaltest. Viele Grüße, Nils
terminus	Verfasst am: 20. Nov 2020 09:28    Titel: danke, aber du antwortest wieder mit Dingen, nach denen ich nicht gefragt habe, verwendest meine Buchstaben anders als ich selber ( z.B. A in spitzen Klammern, wo doch bei mir A eine Messapparatur ist) und führst neue Buchstaben ein, die ich nicht verwendet habe und ohne sie zu erklären (wie deine zusätzlichen seltsamen Psis - ich habe so etwas nicht, was soll das sein?) (warum ist es so schwierig meine Buchstaben zu verwenden?) und sprichst auch noch von von neuen Begriffen wie "Operatoren", die ich nirgends in den Mund genommen habe. Du verstehst offenbar meine Frage nicht, antwortest etwas anders mit völlig anderen Bezügen, Begriffen und Symbolen, und ich verstehe daher nicht deine Antwort: klassischer Fall von Aneinandervorbeireden. Wenn du also antwortest, bitte verwende NUR die Zeichen und Symbole und Bezeichner, so wie ich sie auch verwendet habe, sonst wird das nichts. Vielleicht kann ja jemand anderes meine Fage beantworten. wenn σ ein Messwert ist (für einen Spin längs einer Raumachse, also +1 oder -1), wieso verwendet man dann für seinen Erwartungswert ∈ [-1...+1] (Messung längs einer anderen (gekippten) Raumachse) die Schreibweise <σ>? In diesem Falle ist es doch nur eine reelle Zahl, warum also nicht einfach den Erwartungswert schreiben, wie man es sonst tut (z.B. wie in der Stochastik als E(σ) ∈ R)? Für was für eine "Struktur" (reelle Zahl, komplexe Zahl, Vektor, Matrix, Körper, Vektorraum...) steht diese Schreibweise stattdessen sonst im Allgemeinen, die mit ihren spitzen Klammern an die Schreibweise für Bra- oder Ket-Vektoren erinnert, aber ja wohl vielleicht (?) doch kein Vektor ist?
TomS	Verfasst am: 19. Nov 2020 23:47    Titel: Deine Großschreibung macht‘s nicht besser. Du fragst nach einer Definition bzw. Schreibweise und wirfst mir gleichzeitig vor, ich würde mich mit spitzfindigen Definitionen rumreiten? Ist das nicht etwas seltsam? TomS hat Folgendes geschrieben: bezeichnet den Erwartungswert des Operators A im Zustand psi, wobei letzterer manchmal nicht notiert wird. Es ist schlichtweg eine einprägsame Notation. Ich habe deinen Text übrigens sehr wohl gelesen: „... so ergeben nachfolgende Messungen ... das statistische Resultat ...“ Es geht also nicht um ein Messergebnis, sondern m.M.m. um den Erwartungswert für diese Messungen. Wenn man mehrere Systeme identisch präpariert und identische Messungen durchführt, erhält man über die Gesamtheit der einzelnen Messergebnisse einen Mittelwert. Mittels der Quantenmechanik kann man diesen berechnen, das entspricht gerade dem Erwartungswert. Welche Observable = messbare Größe man betrachtet, ist in dem Operator A codiert. Der Zustand, in dem die Systeme präpariert werden, ist in dem Ket codiert. Mittelwert über N Messergebnisse: Berechneter Erwartungswert - und dabei schreibt man eben den Operator A: Und natürlich gilt - wenn alles richtig funktioniert:
terminus	Verfasst am: 19. Nov 2020 22:55    Titel: ich glaube, du hältst dich zu sehr an übergenauen Definitionen und spitzfindigen Definitionsfragen auf ohne die eigentliche Frage verstehen zu wollen. Andererseits schreibst du ja selber " wenn σ ein Operator ist, <σ> dessen Erwartungswert beschreibt" Ja, WARUM zum Teufel schreibt man diesen Erwartungswert in spitze Klammern? Es ist doch wohl KEIN Vektor wie sonst Bras und Kets! NUR DAS ist meine Frage! (Außerdem sei angemerkt, dass du wieder nicht meine Beschreibung gelesen hast und dabei geblieben bist, denn bei mir ist σ kein Operator, sondern ein Messergebnis, aber sei's drum!)
TomS	Verfasst am: 19. Nov 2020 22:51    Titel: terminus hat Folgendes geschrieben: m^ und n^ sind Vektoren, die im Winkel zueinander stehen und nach denen A ausgerichtet wird, wie beschrieben wurde, das hatten wir schon besprochen. Ja, aber was beschreiben sie physikalisch. terminus hat Folgendes geschrieben: Auch habe ich ja bereits dargelegt, dass sowohl |A> als auch |B> as auch <A|B> beschrieben wuren, nicht abber dieses seltsame <σ> oder <Q>. Ich habe oben geschrieben, dass wenn σ ein Operator ist, <σ> dessen Erwartungswert beschreibt. Wie kann es sein, dass du nicht weißt, welche Größe σ bezeichnet? Das muss in dem Buch doch diskutiert werden. terminus hat Folgendes geschrieben: Also was soll das mathematisch sein, ein Mittelwert geschrieben in spitze Klammern, und warum spitze Klammern und was hat <Q> mit BraKets zu tun, da hier ja kein alleinstejender vektor vorliegt und kein Bra mit einem Ket multipliziert wird? Wenn du endlich akzeptieren würdest, wie die Bra-Ket-Noration tatsächlich funktioniert - ich habe das mehrfach erklärt, dein Buch ja wohl nicht - dann könnte ich dir auch diese Fragen nochmal beantworten. Solange du dich aber dagegen sträubst und weiter an einem Buch festhältst, das dir offensichtlich nicht weiterhilft, weiß ich wirklich nicht, was ich dazu noch sagen soll.
terminus	Verfasst am: 19. Nov 2020 22:42    Titel: m^ und n^ sind Einheitsvektoren, die im Winkel zueinander stehen und nach denen A (eine Apparatur zur Spinmessung) ausgerichtet wird, wie beschrieben wurde, das hatten wir auch schon besprochen. Lies vlt nochmal den TO Post durch. Auch habe ich ja bereits dargelegt, dass sowohl <A| (Zeilenvektor) als auch |B> (Spaltenvektor) als auch <A|B> (ihr Punktprodukt) beschrieben wurden, nicht aber dieses seltsame <σ> oder <Q>. Also was soll das mathematisch sein, ein Mittelwert geschrieben in spitze Klammern, und warum spitze Klammern und was hat <Q> mit BraKets zu tun, da hier ja kein alleinstehender Vektor vorliegt und auch kein Bra mit einem Ket multipliziert wird?
TomS	Verfasst am: 19. Nov 2020 22:31    Titel: terminus hat Folgendes geschrieben: deine Formeln verstehe ich überwiegend nicht, aber ich sehe exakt in Übereinstimmung mit meiner Beschreibung der Multiplikation: "man multipliziert sie wie man üblicherweise n-dim Zeilenvektoren mit n-dim Spaltenvektoren multipliziert (komponentenweise Produkte addieren)". Das habe ich auch nie bestritten. Zwei Vektoren werden multipliziert, indem man die Zeilen- und Spaltenvektoren der Komponenten multipliziert. Das bedeutet jedoch nicht, dass ein Vektor mit seinem Spaltenvektor identisch ist. Der Unterschied zwischen dem Ket und seinen Komponenten ist essentiell. Wie kann es sein, dass das Buch Kets verwendet und du diesbzgl. Fragen stellst, du aber die Formeln nicht verstehst und nicht mal Fragen dazu stellst? Was tut dieses Buch eigentlich? terminus hat Folgendes geschrieben: Außerdem verstehe ich darin auch keine Atwort auf meine Frage bezüglich <σ> (um die es mir eigentlich hier ausschließlich geht): Eine Kopie der Seite habe ich nicht, aber ich habe sie quasi wortwörtlich zitiert, es steht alles da, was dort steht, und ich habe nichts weggelassen. Ja, aber da steht nicht, was A, m, n und sigma sein sollen; du bist dir ja selbst nicht sicher. Woher soll ich das wissen? Und warum soll ich dieser Darstellung vertrauen, wenn das Buch an anderer Stelle formal falsch ist? Sorry, aber so kommen wir nicht weiter.
terminus	Verfasst am: 19. Nov 2020 22:05    Titel: deine Formeln verstehe ich überwiegend nicht, aber ich sehe exakt in Übereinstimmung mit meiner Beschreibung der Multiplikation: "man multipliziert sie wie man üblicherweise n-dim Zeilenvektoren mit n-dim Spaltenvektoren multipliziert (komponentenweise Produkte addieren)...Man erhält aus einem Ket den korrespondierenden (transponierten) Bra, indem man ihn als Zeilenvektor schreibt und seine komplexen Komponenten durch deren komplex konjugierte ersetzt". Außerdem verstehe ich darin auch keine Antwort auf meine Frage bezüglich <σ> (um die es mir eigentlich hier ausschließlich geht): Eine Kopie der Seite habe ich nicht, aber ich habe sie quasi wortwörtlich zitiert, es steht alles da, was dort steht. Das Einzige, was in dem Kapitel noch davor steht, ist: "Die quantenmechanische Notation für den statistischen Mittelwert einer Größe Q ist Diracs Bracket-Notation <Q>", da müsste man also dann <Q> durch <σ>ersetzen, was aber jetzt auch nichts neues mehr ist. Auch wird dadurch ja kein bißchen klarer, was nun ein statistischer Mittelwert OHNE BraKet-Klammern anderes ist als ein statistischer Mittelwert IN BraKet-Klammern (in BraKet Klammern stehen doch immer Vektoren oder Produkte von Vektoren), und was das ganze also soll.
TomS	Verfasst am: 19. Nov 2020 21:12    Titel: Hast du zu der weiteren Frage mehr Kontext? Eine Kopie der Seite?
TomS	Verfasst am: 19. Nov 2020 21:06    Titel: terminus hat Folgendes geschrieben: Für mich ist Bra ein Vektor als Zeilenvektor und Ket ein Vektor als Spaltenvektor, man multipliziert sie wie man üblicherweise n-dim Zeilenvektoren mit n-dim Spaltenvektoren multipliziert (komponentenweise Produkte addieren), und so erhält man aus Bra mal Ket <A| ⋅ |B> = <A|B> Ich wiederhole mich: das ist nicht korrekt. Ein Ket wird dargestellt bzgl. einer Basis |n> mittels Komponenten a_n: Die Multiplikation mittels Komponenten folgt mittels Projektion auf die Basis, d.h. Man erhält aus der Komponentendarstellung eines Ket’s die Komponentendarstellung des korrespondierenden Bra’s, indem man den Komponenten-Spaltenvektor als Zeilenvektor schreibt und komplex konjugiert.
terminus	Verfasst am: 19. Nov 2020 19:52    Titel: Mein Wissensstand: Für mich ist Bra ein Vektor als Zeilenvektor und Ket ein Vektor als Spaltenvektor, man multipliziert sie wie man üblicherweise n-dim Zeilenvektoren mit n-dim Spaltenvektoren multipliziert (komponentenweise Produkte addieren), und so erhält man aus Bra mal Ket <A| ⋅ |B> = <A|B> Sind beide Vektoren über C^n (komplexe Komponenten), so ist das Braket ebenfalls eine komplexe Zahl (und eventuell sogar reell). Man erhält aus einem Ket den korrespondierenden (transponierten) Bra, indem man ihn als Zeilenvektor schreibt und seine komplexen Komponenten durch deren komplex konjugierte ersetzt. Das müsste doch nun richtig und hinreichend sein. Das erklärt aber immer noch nicht meine Frage Zitat: Beginnen wir mit einem längs orientierten A (gemeint ist wohl der Ausrichtungsvektor einer Spin-Messapparatur) und bestätigen = +1, so ergeben nachfolgende Messungen mit A orientiert längs das statistische Resultat wenn also ein statistisches Resultat ist (der Wert wird ja irgendwo im Intervall [-1;+1] ∈ R liegen) , wieso schreibt man dann σ in spitze Klammern?
TomS	Verfasst am: 19. Nov 2020 19:46    Titel: terminus hat Folgendes geschrieben: ich danke dir für deine Geduld, aber ich verstehe nicht, was du meinst oder erklären willst. Ich versuche dir die Notation für Bra und Ket zu erklären, die du nicht verstehst und auch nicht verstehen kannst - sowie alles daraus folgende - wenn sie in deinen Büchern falsch dargestellt wird.
terminus	Verfasst am: 19. Nov 2020 19:43    Titel: ich danke dir für deine Geduld, aber ich verstehe nicht, was du meinst oder erklären willst. Vielleicht kann es daher bitte wirklich jemand anderes mal versuchen: Zitat: Beginnen wir mit einem längs orientierten A (gemeint ist wohl der Ausrichtungsvektor einer Spin-Messapparatur) und bestätigen = +1, so ergeben nachfolgende Messungen mit A orientiert längs das statistische Resultat wenn also ein statistisches Resultat ist (der Wert wird ja irgendwo im Intervall [-1;+1] ∈ R liegen) , wieso schreibt man dann σ in spitze Klammern?
TomS	Verfasst am: 19. Nov 2020 19:40    Titel: terminus hat Folgendes geschrieben: Steven Holzner macht es aber genau so. In der Quantenmechanik steht dann sowas da Das ist Quatsch, aber das musst du mir nicht glauben und darfst gerne in die Irre gehen. Ich verstehe nur nicht, warum du fragst, wenn dich die Antwort nicht interessiert.
terminus	Verfasst am: 19. Nov 2020 19:28    Titel: (edit: englische Texte verstehe ich nicht, weder geschrieben noch gesprochen, und auch deutsche müssten populärwissenschaftlich verständlich sein) also bitte nochmal mit der Bitte um eine einfache, verständliche Antwort an mich als Nicht-Physiker, um es zu verstehen, ohne Riesen-Universiätsmathematik-Overhead: Zitat: nochmal meine Frage an alle anderen, irgendwie geht der vorige Post von TomS auch an meiner Frage vorbei: Zitat: Beginnen wir mit einem längs orientierten A (gemeint ist wohl der Ausrichtungsvektor einer Spin-Messapparatur) und bestätigen = +1, so ergeben nachfolgende Messungen mit A orientiert längs das statistische Resultat wenn also ein statistisches Resultat ist (der Wert wird ja irgendwo im Intervall [-1;+1] ε R liegen) , wieso schreibt man dann σ in spitze Klammern? Und was hat das mit Bra-Kets zu tun?
TomS	Verfasst am: 19. Nov 2020 19:28    Titel: terminus hat Folgendes geschrieben: tja, das verstehe ich immer noch nicht. Auch in Wikipedia steht, wie ich es auch aus der Schule kenne: [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f9cceb9bb69039065423d7fdfe2df69fa62799[/img] bier ist auch der vektor GLEICH seiner Darstellung als Spaltenvektor Und auch Susskind ist ja immerhin Professor, und auch er schreibt es so. Wenn das so ist, dann schreibt er es falsch. terminus hat Folgendes geschrieben: tja, Sicher ist deine Schreibweise richtig, aber vielleicht ist sie auch einfach nur verüberkompliziert. Didaktik ist aber ja auch die Kunst des Weglassens ;-) Die Schreibweise ist essentiell. Bitte erkläre mir nicht, wie man Quantenmechanik erklärt! Mach einen Reset, verticke die Bücher und schau z.B. in die Feynman Lectures, die sollten frei verfügbar sein.
terminus	Verfasst am: 19. Nov 2020 19:27    Titel: Steven Holzner macht es aber genau so.
TomS	Verfasst am: 19. Nov 2020 19:25    Titel: Ich habe jetzt ein paar Reviews zu den Büchern gelesen - im Falle von Susskind zur englischen Originalausgabe - und würde davon abraten.
terminus	Verfasst am: 19. Nov 2020 19:22    Titel: tja, das verstehe ich immer noch nicht. Auch in Wikipedia steht, wie ich es auch aus der Schule kenne: [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f9cceb9bb69039065423d7fdfe2df69fa62799[/img] hier ist auch der vektor GLEICH seiner Darstellung als Spaltenvektor Und auch Susskind ist ja immerhin Professor, und auch er schreibt es so. Sicher ist deine Schreibweise richtig, aber vielleicht ist sie auch einfach nur verüberkompliziert. Didaktik ist aber ja auch die Kunst des Weglassens ;-)
TomS	Verfasst am: 19. Nov 2020 19:15    Titel: terminus hat Folgendes geschrieben: Auch sonst schreibt man in der Mathematik ja Vektoren im R³ in Form ihrer 3 Komponenten innerhalb von Klammern (senkrecht oder waagerecht), s.a. hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Vektor#Darstellung_in_Koordinaten Diese Schreibweise ist falsch. Du kommst in der Schulmathematik damit klar, wenn du irrigerweise so denkst, in der Quantenmechanik bei Verwendung der Braket-Notation sicher nicht. terminus hat Folgendes geschrieben: nochmal meine Frage an alle anderen, irgendwie geht der vorige Post von TomS auch an meiner Frage vorbei ... Meine Antwort steht bereits da, aber du wirst sie nicht verstehen, solange du den Formalismus nicht verstehst (und solange ich raten muss, wie der Formalismus in deinen Büchern falsch angewandt wird)
TomS	Verfasst am: 19. Nov 2020 19:12    Titel: A) Ein Vektor existiert, ohne dass irgendeine Basis definiert wurde und diesbzgl. Koordinaten berechnet wurden. Zeichne einen Pfeil auf ein Blatt weißes Papier, so hast du einen Vektor, noch ohne irgendwelche Koordinaten. B) Es gibt nicht die Orthonormalbasis, sondern unendlich viele, die sich durch Drehungen unterscheiden. Damit gilt Da nun die Koordinaten und Basisvektoren untereinander verschieden sind, kann nicht ein und der selbe Vektor zwei verschiedenen Spaltenvektoren entsprechen. Wie soll das gehen? C) Es gilt nicht jedoch Das ist bereits formal etwas anderes.
terminus	Verfasst am: 19. Nov 2020 18:55    Titel: (edit, s.u.)
terminus	Verfasst am: 19. Nov 2020 18:09    Titel: Leider hilft mir hier meine Schulmathematk nicht weiter: den Teil verstehe ich nicht ganz. Zitat: Er kann bzgl. einer Basis i) durch Komponenten (richtig berichtigt?) ausgedrückt werden: ii) iii) r ist der Vektor, // <<< oder ?? iv) sind die Komponenten=Koeffizienten , und v) ist der Spaltenvektor. Einigen wir uns doch erstmal auf eine Standard-Orthonormalbasis, wie im R³. Im R³ hat man die 3 Komponenten, die die Linearfaktoren der Raumrichtungen darstellen (x,y,z-Dimensionen) i) bis iv) ist damit soweit verständlich. v) ist unverständlich, für mich ist der Vektor als Spaltenvektor geschrieben dann vi) , Damit wäre für mich vi) nichts anderes als die Koeffizienten des Vektors aus ii) und iv) in eine senkrechte Spalte = Spaltenvektor geschrieben. Auch sonst schreibt man in der Mathematik ja Vektoren im R³ in Form ihrer 3 Komponenten innerhalb von Klammern (senkrecht oder waagerecht), s.a. hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Vektor#Darstellung_in_Koordinaten Was v) sein soll, erschließt sich mir nicht, diese Schreibweise sagt mir nichts... (Weitere Fragen folgen nach Klärung dieses 1. Teils... ;-) ) (Der Forumseditor hier ist wirklich zum schreiend Davonlaufen, meine Herren... *kopfschüttel*)
TomS	Verfasst am: 19. Nov 2020 17:47    Titel: terminus hat Folgendes geschrieben: Zitat: Stell dir einen Vektorpfeil vor; das ist der Ket. Nun führst du ein Koordinatensystem ein; die Komponenten bzgl. dieses Koordinatensystems bilden den Spaltenvektor. Wenn du ein anderes (rotiertes) Koordinatensystem verwendest, ändern sich die Koordinaten, nicht jedoch der Vektorpfeil selbst. das ist klar, dass die Komponenten immer nur für die entspr. Vektorbasis gelten. Aber wenn man die hat, sind Bras Zeilenvektoren, und Kets Spaltenvektoren, wenn man damit rechnet (z.B. inneres Produkt) Also fangen wir von vorne an: du verstehst die Notation nicht; du verwendest ein Buch, das sie falsch erklärt; und du glaubst mir nicht ;-) Solange wir den Knoten nicht durchschlagen, wird das nichts. Der rote Teil ist falsch. 1) Ein Vektor r im dreidimensionalen Raum hat eine Länge und eine Richtung. Er kann bzgl. einer Basis durch Komponenten r_n ausgedrückt werden: r ist der Vektor, r_n sind die Komponenten, und ist der Spaltenvektor. Du erhältst die Komponenten durch Projektion von r auf die Basis, d.h. Also ist der Vektor nicht gleich dem Spaltenvektor, er repräsentiert ihn bezüglich einer bestimmten Basis. 2) In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Systems durch einen Zustandsvektor in einem (im allgemeinen unendlich-dimensionalen) Vektorraum repräsentiert. Dieser Zustandsvektor ist der Ket, und er entspricht dem o.g. Vektor. Nun kannst du den Zustandsvektor wieder auf einen Basis projizieren und erhältst das, was man in der Physik als Darstellung bezeichnet. Wenn du z.B. ein System betrachtest, das ausschließlich diskrete Energieniveaus hat, die mit n numeriert werden, dann folgt aus dem Zustandsvektor ein (unendlich-dimensionaler) Spaltenvektor. 3) Das Skalarprodukt zweier Vektoren entspricht dem Produkt der Länge mal dem Cosinus des Zwischenwinkels, d.h. Es kann berechnet werden mittels der Komponenten 4) Solltest du bereits Wellenfunktionen begegnet sein, so gilt folgendes: man kann den o.g. Formalismus auf eine unendlich-dimensionale, kontinuierliche Basis erweitern; vieles ist dann mathematisch etwas tricky, aber das folgende gilt nach wie vor: durch Projektion auf die kontinuierliche Ortsbasis erhält man die Wellenfunktion, die sozusagen einem "kontinuierlichen Spaltenvektor" entspricht: Summen werden durch Integrale ersetzt. Bzgl. des Bra-Ket-Formalismus ist das das theoretische Minimum - egal, was Susskind schreibt.
terminus	Verfasst am: 19. Nov 2020 16:32    Titel: Vielleicht hat ja noch jemand anderes einen Erklärungsansatz: Zitat: Zitat: Beginnen wir mit einem längs orientierten A (gemeint ist wohl der Ausrichtungsvektor einer Spin-Messapparatur) und bestätigen = +1, so ergeben nachfolgende Messungen mit A orientiert längs das statistische Resultat wenn also ein statistisches Resultat ist, wieso schreibt man dann σ in spitze Klammern? Und was hat das mit Bra-Kets zu tun?
terminus	Verfasst am: 19. Nov 2020 14:34    Titel: Zitat: Das kann ich dir ohne den Kontext nicht sagen. Hast du eine Kopie? es gibt nur das, was ich oben zitiert habe, mehr steht nicht da! Zitat: Stell dir einen Vektorpfeil vor; das ist der Ket. Nun führst du ein Koordinatensystem ein; die Komponenten bzgl. dieses Koordinatensystems bilden den Spaltenvektor. Wenn du ein anderes (rotiertes) Koordinatensystem verwendest, ändern sich die Koordinaten, nicht jedoch der Vektorpfeil selbst. das ist klar, dass die Komponenten immer nur für die entspr. Vektorbasis gelten. Aber wenn man die hat, sind Bras Zeilenvektoren, und Kets Spaltenvektoren, wenn man damit rechnet (z.B. inneres Produkt)

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