Physikerboard.de :: Thema-Überblick - Winkel in einer Schale von drei Kugeln gesucht

xb2 · Verfasst am: 12. Jul 2020 16:24 Titel:

Ich würde das Koordinatensystem so legen,dass die x-Achse parallel zur schiefen Ebene liegt.
Es gibt zwar 2 schiefe Ebenen,aber man kann aus Symmetriegründen eine nehmen.

Wenn alpha der Neigungswinkel der schiefen Ebene ist hat man im Gleichgewicht

Myon · Verfasst am: 12. Jul 2020 15:43 Titel:

Irgendwie denkst Du viel zu weit... Alle Kräfte sind proportional zu FG, das Resultat kann nicht von den Kugelmassen abhängen. Auch sollte das Argument im Arcustangens dimensionslos sein.

Du brauchst doch nur die beiden obenstehenden Gleichungen durcheinander zu dividieren:

mathematik1 · Verfasst am: 12. Jul 2020 14:16 Titel:

Also ich habe mir nochmals Gedanken dazu gemacht und es auf folgende Weise errechnet.

Bilder siehe im Anhang.

Das Ergebnis ist bei mir von G abhängig.

Ich habe nicht vektoriell gelöst sondern einfach mittels Einsetzverfahren das N aus den Gleichgewichtsbedingungen aus der einen Gleichung eliminiert.

Stimmt mein Ergebnis soweit ?

Myon · Verfasst am: 12. Jul 2020 00:45 Titel:

Sorry wenn ich nicht auf Deine Rechnungen eingehe. Es ist schon recht spät, weshalb ich es nicht zu lang machen möchte.

Im Folgenden sei

F_G: Gewichtskraft einer Kugel
F_A: Berührungskraft der oberen Kugel auf eine untere Kugel
F_B: Berührungskraft einer unteren Kugel auf die andere
F_N: Kraft der Ebene auf eine untere Kugel (steht senkrecht zur Ebene)

Damit für eine untere Kugel Kräftegleichgewicht herrscht, muss in vertikaler bzw. horizontaler Richtung gelten

Weiter gilt

Für F_Ax: das Verhältnis der Komponenten F_Ax/F_Ay ergibt sich, wenn man ein gleichseitiges Dreieck mit F_A als Dreieckseite betrachtet (siehe beigefügte Skizze).
F_B wird null beim gesuchten maximalen Winkel alpha (alpha so gewählt wie in Deiner ersten Skizze).

mathematik1 · Verfasst am: 11. Jul 2020 23:13 Titel:

Bild 001

mathematik1 · Verfasst am: 11. Jul 2020 23:11 Titel:

Danke soweit für die Hilfe...
Im Anhang zwei Bilder mit meiner Rechnung auf Blatt 2.
Ich habe den Kosinussatz angewandt, um nach dem gesuchten Winkel β aufzulösen.
Doch die Normalkraft ist immer noch ein Novum im Ergebnis, denn ich kenne lt. Aufgabenstellung nur meine Gewichtskraft der Kugeln die alle gleich sind.

Ja und es ist richtig alles reibungsunabhängig.

Tja, ich weiß noch nicht einmal ob mein Ergebnis überhaupt stimmt.

Der Winkel zur Horizontalen ergibt sich aus dem Arcustangens von Fy/Fx. Den brauche ich lt. meiner Rechnung nicht.

Also irgendwas stimmt bei mir immer noch nicht.

Wenn mir da nochmals einer das richtig vorrechnen könnte ?

Vielen Dank für Euro Hilfen

Myon · Verfasst am: 10. Jul 2020 21:40 Titel:

Auf eine untere Kugel wirken doch

1. die Gewichtskraft auf die Kugel selbst
2. Berührungskraft der oberen Kugel
3. Berührungskraft der zweiten unteren Kugel
4. Berührungskraft (Normalkraft) der Ebene

Die Berührungskräfte wirken jeweils senkrecht zur Tangentialfläche durch die Berührungspunkte. Beim gesuchten maximalen Winkel

wird die 3. Kraft gleich null. Folglich muss die Summe aus 1. und 2. Kraft der 4. Kraft entgegengerichtet sein, also senkrecht auf der Ebene stehen. Diese Summe hat die Komponenten (m=Masse einer Kugel)

Der Winkel zur Horizontalen ergibt sich aus dem Arcustangens von Fy/Fx.

OK, das war vielleicht nicht sehr systematisch. Man kann auch einfach Gleichgewichtsbedingungen für die obigen 4 Kräfte aufstellen (die unteren Kugeln sollen ja in Ruhe sein), jeweils für die horizontalen und vertikalen Komponenten. Auch hier erhält man den gesuchten Winkel, wenn man die 3. Kraft gleich null setzt.

mathematik1 · Verfasst am: 10. Jul 2020 21:09 Titel: Rückfrage

Es wäre gut wenn mir jemand die Kräfte freischneiden könnten und ferner noch die Rechnung aufzeigt.

Danke soweit schon einmal

Myon · Verfasst am: 10. Jul 2020 00:02 Titel:

Ah gut... ich hatte an eine 3-dim. Anordnung gedacht.

Ich würde die Richtung der Summe der Kräfte auf eine der unteren Kugeln bestimmen (ohne Berücksichtigung der Kraft der Ebene auf die Kugel und ohne die Kräfte zwischen den unteren Kugeln untereinander). Diese Richtung ist unabhängig vom Winkel alpha.

Im Grenzfall, also bei maximalem Winkel alpha, steht diese Kraftsumme senkrecht auf der Ebene, und zwischen den beiden unteren Kugeln wirken keine Berührungskräfte. Bei grösserem Winkel alpha wirkt eine resultierende Kraft auf die unteren Kugeln entlang der Ebene nach oben, sodass diese Kugeln wegrutschen. Bei dieser Betrachtung wurde angenommen, dass keine Reibungskräfte wirken.

Auch wenn es vielleicht offensichtlich erscheint, würde ich zuerst in einer Skizze die auf eine untere Kugel wirkenden Kräfte einzeichnen.

mathematik1 · Verfasst am: 09. Jul 2020 20:56 Titel:

Im Anhang nun eine Skizze

Myon · Verfasst am: 09. Jul 2020 20:13 Titel:

Ich kann mir beim besten Willen nicht vorstellen, wie die Anordnung aussieht. Bitte exakt beschreiben oder besser noch eine Skizze anfügen - das ist problemlos möglich, nachdem Du Dich im Forum angemeldet hast und nicht als Gast einen Beitrag schreibst.

mathematik1

Meine Frage:
In einem nach oben geöffnetem Dreieck befinden sich drei Kugeln mit gleicher Gewichtskraft und gleichem Durchmesser. Verbindet man die Mittelpunkte so ergibt sich ein Dreieck mit 3x60°.
Wie groß darf der Winkel des Dreiecks werden, damit sich die Kugeln soeben noch halten, nicht auseinander rollen.
Leider kann ich keine Skizze anhängen, ansonsten könnten ich das Problem viel besser darstellen.

Meine Ideen:
Kräfte freischneiden, und nur eine Seite betrachten.
Die Normalkraft der oberen Kugel, auf die rechte untere übertragen, obere Kugel hat nur die Hälfte der Gewichtskraft und noch die Kraft der rechten unteren Kugel auf die schräge Fläche.
Dann die Summe in Fx und Fy bestimmen, und beide Gleichungen quadrieren , und addieren usw. ??