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index_razor	Verfasst am: 20. Jun 2020 10:09    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Zunächst: evtl. ist es besser, wir machen nochmal einen Reset und starten unten mit *) Gut, fangen wir dort an. Ich fände es allerdings auch gut wenn du den Bogen zur ursprünglichen Frage nochmal spannen könntest, die ja verlangt, einen Hamiltonoperator durch Erzeuger und Vernichter auszudrücken. Aus deiner ganzen Argumentation scheint zu folgen, daß diese Frage eigentlich sinnlos ist, weil es unendlich viele triviale Lösungen gibt. Zitat: *) Ich versuche meine Aussage – am Beispiel QCD – nochmal neu zu formulieren: Die kanonische Quantisierung auf Basis der fundamentalen Felder der Quarks und Gluonen sowie mittels ebener Wellen liefert der Fockraum der freien Theorie, noch ohne Kenntnis weiterer Strukturen oder Operatoren. Dieser Fockraum bleibt physikalisch relevant für den asymptotisch freien Sektor, der die “renormierten Streuzustände” der fundamentalen Felder enthält. Warum wirfst du hier kanonische Quantisierung mit irgendwelchen "ebenen Wellen" durcheinander? Kanonische Quantisierung heißt nur: es gibt einen Hilbertraum mit Operatoren, die die kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen Das hat gar nichts mit "ebenen Wellen" zu tun. Es hat noch nicht einmal etwas mit einem Fockraum zu tun. Zitat: Dieser Fockraum ist physikalisch irrelevant im IR-Sektor der gebundene Zustände, d.h. für Mesonen und Baryonen. Für letztere ist m.W.n. keine explizite Fockraumstruktur bekannt, d.h. man kann zwar so etwas wie für ein Nukleon mit Impuls k, Spin s und Flavor f schreiben, kennt dafür jedoch m.W.n. keine aus den fundamentalen Feldern ableitbare Darstellung von Erzeugern und Vernichtern dieser effektiven Freiheitsgrade, die – zumindest näherungsweise – die korrekten Vertauschungsrelationen erfüllen und somit einen Fockraum definieren würden.  Ja, der aus freien Quarkfeldern konstruierbare Fockraum ist (außer als Näherung für hohe Energien) irrelevant. Und der relevante Fockraum kann nicht explizit aus Quarkfeldern konstruiert werden. Das bestreite ich nicht. Die Frage was man explizit konstruieren kann, ist für mich allerdings nicht von fundamentaler Bedeutung und so ziemlich alles was man im Falle der QCD explizit konstruieren kann, hat nicht viel mit der exakten Theorie zu tun und umgekehrt. Zitat: D.h. der Fockraum der freien Theorie dient hier lediglich als mathematisches Werkzeug und hat nichts mit den physikalischen Lösungen der Theorie zu tun, also dem nicht-perturbativen Vakuum, den Mesonen, Baryonen usw. (außer dass man annimmt, man könne letztere im selben Fockraum konstruieren). Das nimmt man überhaupt nicht an und muß es auch nicht. Es ist sogar mit ziemlicher Sicherheit nicht derselbe Fockraum. Das ist eine Konsequenz aus Haags-Theorem. Vermutlich leben nicht mal nackte Quarks und Quarks mit renormierter Masse im selben Fockraum. (Reed, Simon beweisen, daß freie skalare Felder unterschiedlicher Masse zu nicht-äquivalenten Darstellung der kanonischen Vertauschungsrelationen gehören. Siehe Methods of Modern Mathematical Physics, Vol II, Abschnitt X.7) Ich habe den Eindruck du hast eine irgendwie ambivalente Einstellung zu deinem Fockraum "freier Quarks". Einerseits scheinst du ihn für fundamental notwendig "für die Quantisierung" zu halten. Dann hat er wieder nichts mit den physikalischen Lösungen der Theorie zu tun. Und zum Schluß sollen die exakten Zustände doch irgendwie in ihm konstruierbar sein. Das paßt für mich irgendwie nicht zusammen. Zitat: Meine Behauptung ist nun lediglich die folgende: gerade weil die Fockraumzustände der freien Theorie praktisch nichts mit den letztlich relevanten Zuständen der wechselwirkenden Theorie und damit den Lösungen = dem physikalischen Spektrum des Hamiltonians zu tun haben, existiert kein physikalisch zwingender Grund, für die Quantisierung gerade die ebenen Wellen der freien Theorie zu wählen; im asymptotisch freien Sektor ist das natürlich sinnvoll, im IR-Sektor dagegen irrelevant; jedes andere Funktionssystem ist zulässig.  Ich habe keine Ahnung was all das bedeuten soll. Wenn die Fockraumzustände der freien Theorie sich wesentlich von der wechselwirkenden Theorie unterscheiden, muß man zur Definition eben die wechselwirkenden Felder zugrunde legen, wie z.B. in der Haag-Ruelle-Theorie.  Andernfalls erhält man höchstens eine grobe Näherung, z.B. für hohe Energien (oder kurze Zeitskalen etc.) im Falle freier Quarks.     Die Wahl irgendeines anderen Funktionensystems macht hingegen aus der Theorie eines freien Quantenfeldes nicht eine mit wechselwirkenden Feldern. Insofern ist die Wahl vollkommen egal. Wegen der Lorentzinvarianz der Theorie ist es aber immer möglich freie Teilchen mit Feldern zu erzeugen. Daran ändert sich m.E. auch nicht viel, selbst wenn es sich um freie Teilchen in einer Theorie wechselwirkender Felder handelt. Zitat: Und mit einem anderen Funktionssystem erhält man einen anderen – ich denke unitär äquivalenten – Fockraum; letzteres wäre zu zeigen. Wenn man einen unitär äquivalenten Raum erhält, ergibt sich auch wieder eine freie Theorie. Wozu soll das ganze also gut sein? *** Zitat: index_razor hat Folgendes geschrieben: Nach meinem Verständnis ergibt das Anwenden von Erzeugern auf den Vakuumzustand ein Element aus dem Einteilchen-Sektor der Theorie und n-maliges Anwenden einen Fockraumzustand zur Teilchenzahl n. Das ist meine Definition von "Erzeuger". Diese zunächst rein algebraische Eigenschaft ist auch mein Verständnis, nur muss man dazu weder ein Funktionensystem noch eine Dispersionsrelation auszeichnen. Die Operatoren mit geeigneten Kommutatoren sind m.E. ausreichend. Der Begriff "Einteilchenzustand" bezeichnet für gewöhnlich einen Eigenzustand des Operators zu einem diskreten Eigenwert . Daher kommt die Dispersionsrelation . (Allerdings muß es sich natürlich nicht gleichzeitig um einen Impulseigenzustand handeln.) Zitat: index_razor hat Folgendes geschrieben: Mein Hauptproblem ist, daß ich nicht verstehe, was deine Operatoren überhaupt mit dem Einteilchensektor zu tun haben sollen. Ich denke es kann im allgemeinen kein derartig simpler Zusammenhang zwischen den Fockraumzuständen und den Heisenbergfeldern bestehen, wie du ihn vorschlägst. Die Rekonstruktion der Einteilchenzustände erfordert normalerweise Kenntnis der Spektralfunktion der Theorie. Ich denke, wir haben einen unterschiedlichen Begriff von Ein- bzw. n-Teilchenzuständen. Bei mir sind dies zunächst einfach Zustände, die die algebraisch definierten Erzeuger erzeugen und die der algebraisch definierte Teilchenzahloperator „zählt“. Wenn das deine Auffassung ist, dann hättest du ja auch bei den ursprünglichen kanonischen Variablen bleiben können. Wozu hast du dann überhaupt die Operatoren Zitat: definiert? Du hättest ja genauso gut verwenden können.  Damit wäre die ursprüngliche Aufgabe ja noch trivialer gewesen.  Deine Interpretation von Erzeugern und Vernichtern ist ja so abstrakt, das man praktisch nicht mehr machen muß, als  und nach irgendeinem vollständigen Funktionensystem zu entwickeln und einzusetzen.  Zitat: Für mögliche Fockräume freier oder näherungsweise freier Gluonen erhalten wir – je nach Eichung – unterschiedliche Ergebnisse. In einer transversalen Eichung existieren zwei physikalische Felder, in anderen Eichungen existieren auch Fockraumzustände zu longitudinalen und damit unphysikalischen Gluonen sowie zusätzlich Fockraumzustände für Fadeev-Popov-Geister. Ich rede übrigens nur von den physikalischen Zuständen, also keine Geister und keine Zustände negativer Norm.  Dieser Fockraum ist eichunabhängig.  Zitat: In einem klassischen Background wie einem Instanton-Vakuum würden sich die propagierenden Einteilchenzustände nicht mehr auf diese freien Felder beziehen. Nach deiner Definition kann so ziemlich alles als "Einteilchenzustand" bezeichnet werden.  Insofern ist diese Aussage schwer zu beurteilen.  Zitat: Auch im Falle der Dualität des 2-dim. Sine-Gordon-Modells selbstwechselwirkender Skalarfelder mit dem 2-dim. Thirring-Modells selbstwechselwirkender Fermionen gibt es nicht den Fockraum. Die fundamentalen Fermionen des Thirring-Modells entsprechen den Solitonen des Sine-Gordon-Modells, d.h. die näherungsweise freien fermionischen Einteilchenzustände des Thirring-Modells entsprechen Vielteilchenzuständen im bosonischen Fockraum eines freien Klein-Gordon-Modells. Das mag zwar sein.  Ich verstehe aber ehrlich gesagt nicht, warum wir in diesem Zusammenhang  Eigenschaften des Sine-Gordon-Modells diskutieren. (Was nicht heißen soll, daß ich deine Bemerkungen dazu uninteressant finde.)  Nach deiner eigenen Auffassung gibt es aber in jeder Theorie so viele unterschiedliche Fockräume wie Linearkombinationen der Felder, die die Vertauschungsrelationen erfüllen.  Das ist völlig unabhängig von irgendeiner Dualität oder Wechselwirkung. Ich selbst bin auch nicht der Meinung, daß es eine eindeutige Fockraumdarstellung der Theorie geben muß.  (Und hoffe ich habe das auch nirgendwo behauptet.)  Soweit ich weiß kann es durchaus mehrere nicht-äquivalente Darstellungen geben, die jeweils in bestimmten Näherungen relevant sind.  Es kann auch sein, daß der komplette Hilbertraum der Theorie überhaupt kein Fockraum ist. Zitat: Da ich derartige Diskussionen bzgl. der Lösungen der Theorie zum Zeitpunkt der Quantisierung noch gar nicht führen kann, lasse ich ganz allgemein zu, dass jedes System von Operatoren bzw. die daraus abgeleiteten mit geeigneten Kommutatoren einen möglichen Fockraum definiert. Ich sehe immer noch nicht, was mich mathematisch daran hindern sollte. Und ich sehe da keinerlei Zusammenhang. Es gibt viele Fragen in Bezug auf wechselwirkende Quantenfelder, die wir weder bei noch lange Zeit nach der Quantisierung beantworten können. Was soll die Definition von beliebigen Fockräumen da helfen? Zitat: index_razor hat Folgendes geschrieben: Es gibt einen Zusammenhang zwischen den Einteilchenzuständen der Theorie und den Lösungen der Feldgleichung . Ich denke dieser Zusammenhang ist für die Quantisierung fundamental (abgesehen von den Komplikationen, die ich oben erwähnt habe) und nicht lediglich eine Frage der Zweckmäßigkeit. Genau die komplexen Lösungen dieser Gleichung mit positiver Frequenz bilden im wesentlichen den 1-Teilchen-Hilbertraum der zugehörigen Quantentheorie. Moment. Meinst du jetzt mit Einteilchenzuständen solche, die du direkt aus Linearkombinationen von – ggf. nach Massenrenormierung – ableitest? Also im wesentlichen wieder die Struktur der freien Theorie? Ich meine mit Einteilchenzustand einen Eigenzustand zum Operator , wobei der exakte Hamiltonoperator ist. Das hat also erstmal nichts mit der freien Theorie zu tun. Solche Eigenzustände erhalte ich auch nicht einfach aus Linearkombinationen der Feldoperatoren, sondern, im Falle eines wechselwirkenden Skalarfeldes, aus den asymptotischen Feldern Der Operator auf der rechten Seite ist also der Erzeuger von aus dem (nichtperturbativen) Vakuum , obwohl ein wechselwirkendes Feld ist. Diese Beziehung gilt nur, wenn für irgendein m. Sie erfordert also, daß die Spektralfunktion die Form hat. Andernfalls erzeugt keine Einteilchenzustände und ist ein Bindungszustand. In diesem Fall muß für irgendein Produkt von Feldern gelten, denn Summen (bzw. Reihen) solcher Produkte spannen den gesamten Hilbertraum auf. Dann ergibt sich das erzeugende Feld also in irgendeiner From aus Produkten elementarer Felder, z.B. für n=2 aus welches zur Konstruktion von Erzeugern in (1P) eingesetzt werden kann. In jedem Fall geht die explizite Definition der Erzeuger und Vernichter aus den wechselwirkenden elementaren Feldern deutlich über algebraische Relationen hinaus und erfordert Kenntnisse der Dynamik der Theorie (u.a. der Spektralfunktion , und der Zweipunktfunktion zur Berechnung der Feldrenormierung Z). Zitat: Das entspräche deiner Aussage Zitat: die komplexen Lösungen dieser Gleichung mit positiver Frequenz bilden im wesentlichen den 1-Teilchen-Hilbertraum der zugehörigen Quantentheorie. Oder meinst du Zitat: die stabilen Impulseigenzustände der QCD – Protonen plus Neutronen und Pionen – die allenfalls durch farbneutrale Produkte von wechselwirkenden Quarkfeldern interpoliert werden. Letztere haben zunächst nichts mit dem Fockraum zu tun, der im Zuge der Quantisierung konstruiert wird und in dem die n-Teilchen-Zustände von z.B. asymptotisch freien Quarks und Gluonen leben. Ich sehe da keinen Widerspruch. Ich verlange ja nicht, daß freie Teilchen allein durch elementare Felder erzeugt werden. Zitat: Wie Mesonen und Baryonen im o.g. Fockraum definiert werden ist bis heute im wesentlichen unbekannt; Das wird vermutlich wegen Haags Theorem auch gar nicht funktionieren. Dies spielt aber keine Rolle, denn der Hilbertraum der exakten QCD muß nichts mit dem Fockraum freier Quarks und Gluonen zu tun haben. Zitat: und wie direkt ein physikalischer Fockraum inklusive der Erzeuger und Vernichter dieser physikalischen Zustände der Mesonen und Baryonen konstruiert wird, ebenfalls. Die Konstruktion eines Fockraums selbst ist doch trivial. Man benötigt dafür im Prinzip nicht mehr als die bekannten Quantenzahlen der Mesonen und Baryonen. Was nicht trivial ist, ist die Beantwortung der Frage, was der so konstruierte Fockraum mit der Dynamik von wechselwirkenden Quark- und Gluonenfeldern zu tun hat. Dieselbe Frage kannst du auch über den Fockraum freier Quarks stellen. Auch da ist sie nicht trivial. Und die Antworten auf beide Fragen werden vermutlich sehr unterschiedlich sein. Zitat: Ich wollte an keiner Stelle andeuten, dass ich irgendetwas über eine Fockraumstruktur der Lösungen der QCD aussagen kann; ich wüsste noch nicht mal, ob es eine solche Fockraumstruktur gibt oder überhaupt geben muss (wenn es sie gibt, kann sie nicht unitär äquivalent zum Fockraum der freien Theorie sein). Ja dem stimme ich absolut zu. Das widerspricht doch aber jetzt vollständig deinen Aussagen oben, nach denen die Konstruktion nur die bekannten Vertauschungsrelationen benötigt, und daß sogar die Bindungszustände, in diesem Fockraum liegen. Ich verstehe überhaupt nicht mehr, was du eigentlich behauptest. Zitat: Und ein Zitat: Zusammenhang zwischen den [physikalischen] Einteilchenzuständen [wie Nukleonen] und den Lösungen der Feldgleichung ” ist im Falle der QCD unbekannt, d.h. die Aussage Zitat: dieser Zusammenhang ist für die Quantisierung fundamental kann nicht richtig sein, und Zitat: die komplexen Lösungen dieser Gleichung mit positiver Frequenz bilden im wesentlichen den 1-Teilchen-Hilbertraum der zugehörigen Quantentheorie. kann sich demnach doch nur auf den Fockraum der freien oder asymptotisch freien Theorie beziehen. Der Begriff Teilchen bezieht sich bei mir auch auf die asymptotischen Zustände. Der Zusammenhang zwischen den in- und out-Feldern, die diese Zustände erzeugen und der Dynamik der elementaren Heisenberg-Felder mag im Falle der QCD (so wie eigentlich im Falle jeder wechselwirkenden QFT in 3+1 Dimensionen) nicht explizit bekannt sein. Das heißt aber noch nicht, daß er nicht von fundamentaler Bedeutung ist. Aber vielleicht stimmst du mir eher zu, wenn ich sage: er folgt aus recht allgemeinen Eigenschaften quantisierter Felder, von denen man annimmt, daß sie im wesentlichen auch auf die QCD zutreffen. Irgendwelche Aussagen zu freien Protonen und deren S-Matrix werden ja hoffentlich aus der QCD folgen. Zitat: index_razor hat Folgendes geschrieben: Zitat: Nach meinem Verständnis folgt eine Fockraumstruktur formal alleine aus den Vertauschungsrelationen der Erzeuger und Vernichter sowie aus der Vollständigkeit des Funktionensystems. Nein, das kann nicht stimmen. Die Fockraumstruktur kann doch nicht unabhängig von der Wechselwirkung sein. Wenn es stimmte, was du sagst, hätten Elektronen und Quarks im wesentlichen dieselben Zustände, denn ihre Vertauschungsrelationen sind eindeutig durch ihren Spin bestimmt, der für beide Teilchen gleich ist. Zunächst ist das – bis auf Color und Flavor – für die fermionischen Fockräume der freien Theorien tatsächlich der Fall; die Fockräume sind identisch. Im Falle der QED bleibt diese Struktur bis auf Renormierung im Wesentlichen erhalten, im Falle der QCD ist es komplizierter: man verwendet zwar den Fockraum der freien Theorie zur Quantisierung, allerdings bleibt dieser nur im asymptotisch freien Sektor der Theorie physikalisch relevant; im IR-Sektor der Baryonen und Mesonen ist eine Fockraumstruktur dieser physikalischen Freiheitsgrade unbekannt. Ich habe mir jetzt lange über diese und ähnliche Formulierungen den Kopf zerbrochen und habe den Eindruck, daß hier irgendwas faul ist. Versuchen wir das mal zu klären. Zunächst verstehe ich unter "QCD"  natürlich nicht einfach eine freie Theorie mit SU(3)-Symmetrie.   Ich meine schon die echte wechselwirkende Theorie.  Was du also "zunächst" mit der freien Theorie machst, ist irrelevant.  Das Resultat unterscheidet die QCD-Zustände sehr drastisch von den QED-Zuständen, aber nicht die kanonischen Vertauschungsrelationen der Felder.  Und darauf kommt es mir an. Desweiteren verwendet man m.E. nicht den Fockraum freier Quarks und Gluonen "zur Quantisierung".  Das heißt natürlich nicht, daß man ihn für gar nichts verwendet.  Man führt ihn ein, um bestimmte QCD-Prozesse auszurechnen, die bei hohen Energien stattfinden.  Das ist alles.  Er ist aber nicht notwendiger Bestandteil jener quantisierten SU(3)-Eichtheorie, die wir als "QCD" bezeichnen und die wir für alle Phänomene der starken Wechselwirkung verantwortlich machen.   Diese Theorie ist allein durch einen Satz Felder definiert, die die bekannten Transformationseigenschaften unter der lokalen SU(3)- sowie der Poincaregruppe besitzen. Die Quantentheorie dieser Felder erfordert zusätzlich nur, daß es irgendeinen Hilbertraum H gibt, auf dem sie als Operatoren mit nichtrivialem Definitionsbereich wirken können.  Welche Struktur dieser Hilbertraum hat, ist eine komplizierte Frage, die praktisch ungeklärt ist.  Sie ist äquivalent zu der Frage welche Eigenschaften die Funktionen etc. haben und hängt somit offenbar allein von der Dynamik der Felder ab.  Sie erfordert an keiner Stelle irgendwelche a-priori-Annahmen über die Existenz von Erzeugern und Vernichtern freier Quarks oder Gluonen.  Sie erfordert nicht mal die Annahme, daß H eine Fockraumstruktur besitzt.  Obwohl es absolut plausibel ist, daß er Einteilchen- und n-Teilchenzustände für freie Protonen enthält. Ebensowenig erfordert sie aus prinzipiellen Gründen die Entwicklung der Felder nach irgendwelchen Funktionensystemen.   (Die restlichen Punkte sind nun, glaube ich, schon beantwortet, deshalb mach ich hier mal Schluß.)
TomS	Verfasst am: 14. Jun 2020 17:36    Titel: Zunächst: evtl. ist es besser, wir machen nochmal einen Reset und starten unten mit *) index_razor hat Folgendes geschrieben: Nach meinem Verständnis ergibt das Anwenden von Erzeugern auf den Vakuumzustand ein Element aus dem Einteilchen-Sektor der Theorie und n-maliges Anwenden einen Fockraumzustand zur Teilchenzahl n. Das ist meine Definition von "Erzeuger". Diese zunächst rein algebraische Eigenschaft ist auch mein Verständnis, nur muss man dazu weder ein Funktionensystem noch eine Dispersionsrelation auszeichnen. Die Operatoren mit geeigneten Kommutatoren sind m.E. ausreichend. index_razor hat Folgendes geschrieben: Mein Hauptproblem ist, daß ich nicht verstehe, was deine Operatoren überhaupt mit dem Einteilchensektor zu tun haben sollen. Ich denke es kann im allgemeinen kein derartig simpler Zusammenhang zwischen den Fockraumzuständen und den Heisenbergfeldern bestehen, wie du ihn vorschlägst. Die Rekonstruktion der Einteilchenzustände erfordert normalerweise Kenntnis der Spektralfunktion der Theorie. Ich denke, wir haben einen unterschiedlichen Begriff von Ein- bzw. n-Teilchenzuständen. Bei mir sind dies zunächst einfach Zustände, die die algebraisch definierten Erzeuger erzeugen und die der algebraisch definierte Teilchenzahloperator „zählt“. Evtl. missverstehen wir uns einfach. In der QCD verwendet man für die Konstruktion des Fockraums freier oder näherungsweise freier Quarks z.B. ebene Wellen; wir wissen jedoch, dass gerade diese Teilchen – freie Quarks – im IR-Sektor nicht existieren. Und da, wo sie existieren, erhalten diese Zustände einen nicht-triviale Beitrag von der Renormierung der Masse, d.h. wir verwenden sozusagen die falschen ebenen Wellen. Für mögliche Fockräume freier oder näherungsweise freier Gluonen erhalten wir – je nach Eichung – unterschiedliche Ergebnisse. In einer transversalen Eichung existieren zwei physikalische Felder, in anderen Eichungen existieren auch Fockraumzustände zu longitudinalen und damit unphysikalischen Gluonen sowie zusätzlich Fockraumzustände für Fadeev-Popov-Geister. In einem klassischen Background wie einem Instanton-Vakuum würden sich die propagierenden Einteilchenzustände nicht mehr auf diese freien Felder beziehen. Auch im Falle der Dualität des 2-dim. Sine-Gordon-Modells selbstwechselwirkender Skalarfelder mit dem 2-dim. Thirring-Modells selbstwechselwirkender Fermionen gibt es nicht den Fockraum. Die fundamentalen Fermionen des Thirring-Modells entsprechen den Solitonen des Sine-Gordon-Modells, d.h. die näherungsweise freien fermionischen Einteilchenzustände des Thirring-Modells entsprechen Vielteilchenzuständen im bosonischen Fockraum eines freien Klein-Gordon-Modells. Da ich derartige Diskussionen bzgl. der Lösungen der Theorie zum Zeitpunkt der Quantisierung noch gar nicht führen kann, lasse ich ganz allgemein zu, dass jedes System von Operatoren bzw. die daraus abgeleiteten mit geeigneten Kommutatoren einen möglichen Fockraum definiert. Ich sehe immer noch nicht, was mich mathematisch daran hindern sollte. index_razor hat Folgendes geschrieben: Es gibt einen Zusammenhang zwischen den Einteilchenzuständen der Theorie und den Lösungen der Feldgleichung . Ich denke dieser Zusammenhang ist für die Quantisierung fundamental (abgesehen von den Komplikationen, die ich oben erwähnt habe) und nicht lediglich eine Frage der Zweckmäßigkeit. Genau die komplexen Lösungen dieser Gleichung mit positiver Frequenz bilden im wesentlichen den 1-Teilchen-Hilbertraum der zugehörigen Quantentheorie. Moment. Meinst du jetzt mit Einteilchenzuständen solche, die du direkt aus Linearkombinationen von – ggf. nach Massenrenormierung – ableitest? Also im wesentlichen wieder die Struktur der freien Theorie? Das entspräche deiner Aussage Zitat: die komplexen Lösungen dieser Gleichung mit positiver Frequenz bilden im wesentlichen den 1-Teilchen-Hilbertraum der zugehörigen Quantentheorie. Oder meinst du Zitat: die stabilen Impulseigenzustände der QCD – Protonen plus Neutronen und Pionen – die allenfalls durch farbneutrale Produkte von wechselwirkenden Quarkfeldern interpoliert werden. Letztere haben zunächst nichts mit dem Fockraum zu tun, der im Zuge der Quantisierung konstruiert wird und in dem die n-Teilchen-Zustände von z.B. asymptotisch freien Quarks und Gluonen leben. Wie Mesonen und Baryonen im o.g. Fockraum definiert werden ist bis heute im wesentlichen unbekannt; und wie direkt ein physikalischer Fockraum inklusive der Erzeuger und Vernichter dieser physikalischen Zustände der Mesonen und Baryonen konstruiert wird, ebenfalls. Ich wollte an keiner Stelle andeuten, dass ich irgendetwas über eine Fockraumstruktur der Lösungen der QCD aussagen kann; ich wüsste noch nicht mal, ob es eine solche Fockraumstruktur gibt oder überhaupt geben muss (wenn es sie gibt, kann sie nicht unitär äquivalent zum Fockraum der freien Theorie sein). Und ein Zitat: Zusammenhang zwischen den [physikalischen] Einteilchenzuständen [wie Nukleonen] und den Lösungen der Feldgleichung ” ist im Falle der QCD unbekannt, d.h. die Aussage Zitat: dieser Zusammenhang ist für die Quantisierung fundamental kann nicht richtig sein, und Zitat: die komplexen Lösungen dieser Gleichung mit positiver Frequenz bilden im wesentlichen den 1-Teilchen-Hilbertraum der zugehörigen Quantentheorie. kann sich demnach doch nur auf den Fockraum der freien oder asymptotisch freien Theorie beziehen. index_razor hat Folgendes geschrieben: Zitat: Nach meinem Verständnis folgt eine Fockraumstruktur formal alleine aus den Vertauschungsrelationen der Erzeuger und Vernichter sowie aus der Vollständigkeit des Funktionensystems. Nein, das kann nicht stimmen. Die Fockraumstruktur kann doch nicht unabhängig von der Wechselwirkung sein. Wenn es stimmte, was du sagst, hätten Elektronen und Quarks im wesentlichen dieselben Zustände, denn ihre Vertauschungsrelationen sind eindeutig durch ihren Spin bestimmt, der für beide Teilchen gleich ist. Zunächst ist das – bis auf Color und Flavor – für die fermionischen Fockräume der freien Theorien tatsächlich der Fall; die Fockräume sind identisch. Im Falle der QED bleibt diese Struktur bis auf Renormierung im Wesentlichen erhalten, im Falle der QCD ist es komplizierter: man verwendet zwar den Fockraum der freien Theorie zur Quantisierung, allerdings bleibt dieser nur im asymptotisch freien Sektor der Theorie physikalisch relevant; im IR-Sektor der Baryonen und Mesonen ist eine Fockraumstruktur dieser physikalischen Freiheitsgrade unbekannt. index_razor hat Folgendes geschrieben: Ich bin mir aber nicht mal sicher, was du als "Einteilchenhilbertraum" auffaßt. Es scheinen nicht die üblichen irreduziblen Darstellungen der Poincare-Gruppe zu sein. Ein Einteilchenhilbertraum wird mittels Operatoren konstruiert die die entsprechenden Vertauschungsrelationen erfüllen (aber evtl. meine ich hier etwas anderes als du; sprichst du hier von Mesonen und Baryonen?) Wenn ich dazu ebene Wellen benutze, dann erhalte ich direkt die üblichen irreduziblen Darstellungen der Poincare-Gruppe. Wenn ich – wie z.B. im Falle des Sine-Gordon-Modells – Streuzustände auf einem Soliton-Background nutze, erhalte ich nicht diese Darstellungen der Poincare-Gruppe. Wenn ich – wie im Falle der QCD – ebene Wellen und damit den Fockraum der freien Theorie zur Quantisierung benutze, dann erwarte ich zwar wiederum irreduzible Darstellungen der Poincare-Gruppe für Mesonen und Baryonen, aber diese haben nichts mit den Darstellungen für Quarks und Gluonen zu tun, die mir die freie Theorie geliefert hat (gleiches gilt für die Flavor-Multiplets). *) Ich versuche meine Aussage – am Beispiel QCD – nochmal neu zu formulieren: Die kanonische Quantisierung auf Basis der fundamentalen Felder der Quarks und Gluonen sowie mittels ebener Wellen liefert (modulo Eichsymmetrie) den Fockraum der freien Theorie, noch ohne Kenntnis weiterer Strukturen oder Operatoren. Dieser Fockraum bleibt physikalisch relevant für den asymptotisch freien Sektor, der die “renormierten Streuzustände” der fundamentalen Felder enthält. Dieser Fockraum ist physikalisch irrelevant im IR-Sektor der gebundene Zustände, d.h. für Mesonen und Baryonen. Für letztere ist m.W.n. keine explizite Fockraumstruktur bekannt, d.h. man kann zwar so etwas wie für ein Nukleon mit Impuls k, Spin s und Flavor f schreiben, kennt dafür jedoch m.W.n. keine aus den fundamentalen Feldern ableitbare Darstellung von Erzeugern und Vernichtern dieser effektiven Freiheitsgrade, die – zumindest näherungsweise – die korrekten Vertauschungsrelationen erfüllen und somit einen Fockraum definieren würden. Man kennt im Rahmen der QCD noch nicht mal den physikalischen, nicht-perturbativen Vakuumzustand des IR-Sektors mit nicht-verschwindenden Kondensaten D.h. der Fockraum der freien Theorie dient hier lediglich als mathematisches Werkzeug und hat nichts mit den physikalischen Lösungen der Theorie zu tun, also dem nicht-perturbativen Vakuum, den Mesonen, Baryonen usw. (außer dass man annimmt, man könne letztere im selben Fockraum konstruieren). Insbs. verletzen die Fockraumzustände wobei I =„Impuls k, Spin s, Flavor f, Color i“ umfasst, die zwingend notwendige Ladungsneutralität bzgl. SU(N)-Color Meine Behauptung ist nun lediglich die folgende: gerade weil die Fockraumzustände der freien Theorie praktisch nichts mit den letztlich relevanten Zuständen der wechselwirkenden Theorie und damit den Lösungen = dem physikalischen Spektrum des Hamiltonians zu tun haben, existiert kein physikalisch zwingender Grund, für die Quantisierung gerade die ebenen Wellen der freien Theorie zu wählen; im asymptotisch freien Sektor ist das natürlich sinnvoll, im IR-Sektor dagegen irrelevant; jedes andere Funktionssystem ist prinzipiell zulässig. Und mit einem anderen Funktionssystem erhält man einen anderen – ich denke unitär äquivalenten – Fockraum; letzteres wäre zu zeigen. EDIT: Andere Funktionensysteme als ebene Wellen werden u.A. in der Festkörperphysik verwendet - Blochwellen.
index_razor	Verfasst am: 09. Jun 2020 20:12    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Hallo index_razor, danke für deinen Beitrag, und sorry für meine sehr späte Antwort. Keine Ursache, ich habe es ja nicht eilig. Zitat: Ja, wie vermutet lag das Missverständnis (implizit) im Bezug zur freien Theorie begründet. Du schreibst index_razor hat Folgendes geschrieben: Vielleicht ist das einfach deine Definition von .  Allerdings frage ich mich dann wie du das rechtfertigen willst.  Erzeuger und Vernichter definiert man ja nicht einfach als "irgendeine Linearkombination aus Feld und kanonisch konjugiertem".  Sie müssen doch die Randbedingungen erfüllen, wobei auf der rechten Seite Erzeuger von Streuzuständen stehen, die einen klar definierten Zusammenhang zu den Eigenzuständen des freien Hamiltonians haben. Das ist richtig, wenn ich einen mit der freien Theorie „verbundenen Sektor“ des vollen Hilbertraumes betrachte. Dann muss es möglich sein, diese Relation für die Erzeuger und Vernichter zu berücksichtigen. Ich habe mich hier ein bißchen dumm ausgedrückt, deswegen muß ich wohl wieder etwas klarstellen.  Ich schrieb jedoch absichtlich nur, daß "einen klar definierten Zusammenhang" zu den Eigenzuständen der freien Theorie haben.  Sie erzeugen aber trotzdem Streuzustände, also Eigenzustände der wechselwirkenden Theorie.  Ich habe bisher immer vorausgesetzt, daß Störungstheorie und Diracbild irgendwie sinnvoll anwendbar sind, weil die Wechselwirkung das Spektrum der Theorie nicht dramatisch ändert.  Deswegen habe ich nicht klar unterschieden zwischen Eigenzuständen der freien Theorie und solchen, die lediglich die Dispersionsrelation erfüllen.  Letztere impliziert, daß das Feld, welches diese Teilchen erzeugt, die "freie" Klein-Gordon-Gleichung erfüllt.  Allerdings ist m hier die physikalische, also renormierte, Masse und enthält somit Terme aus der wechselwirkenden Theorie.   Zitat: D.h. jedoch nur, dass man sich asymptotisch auf die freie Theorie bezieht, und dass man deswegen sinnvollerweise Funktionensysteme betrachtet, die zumindest asymptotisch zu ebenen Wellen führen. Nach meinem Verständnis ergibt das Anwenden von Erzeugern auf den Vakuumzustand ein Element aus dem Einteilchen-Sektor der Theorie und n-maliges Anwenden einen Fockraumzustand zur Teilchenzahl n.  Das ist meine Definition von "Erzeuger".   Mein Hauptproblem ist, daß ich nicht verstehe, was deine Operatoren überhaupt mit dem Einteilchensektor zu tun haben sollen.   Ich denke es kann im allgemeinen kein derartig simpler Zusammenhang zwischen den Fockraumzuständen und den Heisenbergfeldern bestehen, wie du ihn vorschlägst.  Die Rekonstruktion der Einteilchenzustände erfordert normalerweise Kenntnis der Spektralfunktion der Theorie.  Der Heisenbergoperator wird ja im allgemeinen nichtverschwindenden Überlapp mit Mehrteilchenzuständen besitzen  Wenn man aus einen Erzeuger für Einteilchenzustände rekonstruieren will, muß man eine Wellenfunktion wählen, deren Träger im 4-Impulsraum um einen einzelnen diskreten Eigenwert von H konzentriert ist  (Dies ist im vorliegenden Fall noch mit der Komplikation verbunden, daß es sich anscheinend um ein masseloses Feld handelt.)  Unter den eingangs erwähnten Annahmen, daß es im wesentlichen um eine Theorie eines einzelnen skalaren Teilchens mit Masse m handelt, folgt hieraus der Erzeuger dieses Teichens Man muß also zumindest wissen, wo das kontinuierliche Spektrum von H anfängt.  Keine derartige Überlegung geht in dein Argument ein, was seltsam ist. Und dabei haben wir noch nicht einmal in betracht gezogen, daß die Theorie eventuell Bindungszustände aus mehreren -Teilchen zuläßt, die ebenfalls im Einteilchensektor landen, oder daß möglicherweise gar keine freien -Teilchen unter den physikalischen Zuständen existieren.  In diesem Fall müssen die Erzeuger, wenn überhaupt, aus Produkten von -Operatoren (und eventuell deren Ableitungen ) zusammengebaut werden und nicht aus irgendeiner Linearkombination. Ich halte es nicht für wahrscheinlich, daß eine der letzten beiden Optionen zutrifft, aber sicher bin ich mir nicht.  Und dein Argument läßt es so aussehen, als sei das nicht mal Grund für irgendwelche Bedenken. Zitat: index_razor hat Folgendes geschrieben: Das war von dir aber offenbar nicht so gemeint, und meine Interpretation deiner paßt wohl auch nicht dazu, daß einfach irgendein Funktionensystem ohne jegliche Verbindung zu den Feldgleichungen ist.  Dadurch werden sie aber m.E. für die Quantisierung auch erstmal nutzlos.   Meine Interpretation ist wohl allgemeiner, aber sie ist deswegen für die Quantisierung sicher nicht nutzlos. Und das Funktionensystem wird in der Praxis sicher irgendeine Beziehung zu den Feldgleichungen haben, wenn auch nicht zwingend eine zur freien Theorie. Es gibt einen Zusammenhang zwischen den Einteilchenzuständen der Theorie und den Lösungen der Feldgleichung .  Ich denke dieser Zusammenhang ist für die Quantisierung fundamental (abgesehen von den Komplikationen, die ich oben erwähnt habe) und nicht lediglich eine Frage der Zweckmäßigkeit. Genau die komplexen Lösungen dieser Gleichung mit positiver Frequenz bilden im wesentlichen den 1-Teilchen-Hilbertraum der zugehörigen Quantentheorie.  Vielleicht sollte man diese Gleichung nicht als "freie" Gleichung bezeichnen, wie ich es getan habe. (Siehe dazu unten.)  Zitat: index_razor hat Folgendes geschrieben: ... weil ich sie für notwendig halte, da sie die Definition des Fockraums impliziert.  Das siehst du offenbar anders.  Sorry für die Verwirrung. Was mich allerdings wundert ist, daß du bis jetzt keine Bemerkung dazu machst, was deine Linearkombinationen von  überhaupt als "Erzeuger und Vernichter" qualifiziert.  Wie kommst du darauf, daß wiederholtes anwenden den kompletten Fockraum der Theorie aufspannt?  Nach deiner Konstruktion erscheint mir nicht mal offensichtlich, wie der Fockraum überhaupt aussehen könnte.  Ich finde das ist ein Punkt, auf den du bei deiner Diskussion der Quantisierung unbedingt eingehen solltest. Nach meinem Verständnis folgt eine Fockraumstruktur formal alleine aus den Vertauschungsrelationen der Erzeuger und Vernichter sowie aus der Vollständigkeit des Funktionensystems. Nein, das kann nicht stimmen.  Die Fockraumstruktur kann doch nicht unabhängig von der Wechselwirkung sein.  Wenn es stimmte, was du sagst, hätten Elektronen und Quarks im wesentlichen dieselben Zustände, denn ihre Vertauschungsrelationen sind eindeutig durch ihren Spin bestimmt, der für beide Teilchen gleich ist. Die stabilen Impulseigenzustände der QCD sind aber Protonen (plus Neutronen und Pionen, wenn man von der schwachen Wechselwirkung absieht), die also allenfalls durch farbneutrale Produkte von 3 (oder 2) wechselwirkenden Quarkfeldern interpoliert werden.  Im Gegensatz dazu enthalten die Einteilchenzustände der wechselwirkenden QED immer noch einzelne ("gedresste") Elektronen (ziemlich ähnlich zu deinem Beispiel unten), also die Quanten eines elementaren Feldes. Die Fockraumstruktur aus den wechselwirkenden Feldern zu rekonstruieren ist im allgemeinen eine ziemlich diffizile Angelegenheit.  Ich bin mir aber nicht mal sicher, was du als "Einteilchenhilbertraum" auffaßt. Es scheinen nicht die üblichen irreduziblen Darstellungen der Poincare-Gruppe zu sein. Ansonsten landest du ja bei der Feldgleichung für die Komponente jedes Feldes welche stabile 1-Teilchen-Zustände erzeugt. Zitat: Damit ist noch nicht gewährleistet, dass dieser Fockraum (bis auf unitäre Äquivalenz) eindeutig und für das konkrete Modell = den konkreten Hamiltonian sinnvoll oder nützlich ist (und dabei lassen wir mal die Fragestellung außen vor, ob der Hamiltonian sowie weitere Operatoren überhaupt mathematisch wohldefiniert sind). Mir ist bewusst, dass unterschiedliche Funktionensysteme zu unterschiedlichen Fockräumen führen können und dass diese gerade nicht zwingend unitär äquivalent sein müssen (Haagsches Theorem); m.a.W.: möglicherweise benötigt man für verschiedene Sektoren des Hilbertraumes unterschiedliche Fockräume, und möglicherweise ist das für eine konkrete Theorie ein echter Defekt (wir verstehen die Quantenfeldtheorie heute noch nicht besser). Ich verstehe nicht was das bedeuten soll.  Der Fockraum der Theorie ist die Summe aus (symmetrisierten) Produkten des kompletten Einteilchenhilbertraums.  Er enthält also per Definition alle Sektoren des Hilbertraums.  Verschiedene Sektoren müssen natürlich nicht zu unitär äquivalenten Darstellungen gehören.  Das ist ja bereits die Situation, wenn die Theorie Teilchen verschiedenen Spins enthält.  Also leuchtet mir nicht ganz ein, was hier auf irgendeinen Defekt hindeuten soll. Was deine Funktionensysteme betrifft, verstehe ich aber gar nicht, wieso sie überhaupt auf einen Fockraum führen sollen.  Das übliche Vorgehen bei zweiter Quantisierung ist ja ungefähr, den Einteilchensektor mit komplexen Lösungen der Feldgleichungen positiver Frequenz zu identifizieren.  Das müssen vielleicht nicht unbedingt ebene Wellen sein.    Aber ich sehe nicht, wie diese Prozedur funktionieren soll, wenn die Gleichungen nicht linear sind.  Dann bildet die Lösungsmenge nicht mal einen Vektorraum, wo soll also der Hilbertraum herkommen?   Zitat: Einige Beispiele: In der 1+1 dimensionalen QED auf dem Kreis kann man das elektrische Feld in der Weyl-Eichung bis auf einen dynamischen Zero-Mode a(t) vollständig ausintegrieren Damit erhält man „dressed Fermions“, wobei der Fluktuationsanteil des Eichfeldes in das Fermionfeld absorbiert wird; der Fluktuationsanteil ist durch den Constraint des Gaußschen Gesetz vollständig festgelegt und daher nicht dynamisch. Der Fockraum wird dann mittels ebener Wellen für die dressed Fermions konstruiert; freie Fermionfelder sind in dieser Formulierung aufgrund des unbekannten Eichfeldanteils nicht explizit bekannt. Das sehe ich natürlich ein.  Die Bezeichnung "freie Felder" war von mir nicht korrekt gewählt.  In der gewöhnlichen skalaren QFT im 3+1-dimensionalen Minkowskiraum meine ich damit irgendein Feld, welches die Gleichung erfüllt.  Hierbei ist ein Heisenbergfeld der wechselwirkenden Theorie oder ein Produkt aus solchen Feldern und ein diskreter Eigenwert des vollen Hamiltonians.  "Frei" habe ich das oben nur genannt, weil kein Quellterm auf der rechten Seite steht.  Auch Verallgemeinerungen sind denkbar z.B.   für Fermionen in einem äußeren (nichtdynamischen) Feld.   Das ist wohl die Essenz deines Beispiels hier.  Auch hier sehe ich kein besonderes Problem mit der Quantisierung.  Die Gleichung ist linear und obwohl die Lösungen für also von abhängen, bilden sie offensichtlich einen Vektorraum. Aber welchen Bezug hat dieses oder eines deiner anderen Beispiele zu der vorliegenden Theorie oder zu deiner Behauptung repräsentiere Erzeugungsoperatoren auf ihrem Fockraum?
TomS	Verfasst am: 07. Jun 2020 17:07    Titel: Noch zwei Beispiele: Man betrachte nicht-linear sigma-Modelle, Skyrme-Modelle sowie verallgemeinerte chiral-effective theories. Dabei verwendet man zunächst eine klassische Soliton-Lösung U_0(x) im 1-Nukleon Sektor, kollektive Koordinaten für deren Rotation A(t) sowie Translation X(t), sowie Fluktuationen d.h. Pionen im Soliton-Background: Die Quantisierung der Pionen erfolgt somit im 1-Nukleon-Sektor. Den Lagrangian entwickelt man bis zur gewünschten Ordnung in den pi. Die Soliton-Lösung kann numerisch bestimmt werden; es handelt sich letztlich um eine Funktion f(r). Die Fluktuationen können nur numerisch behandelt werden (aus ihnen folgen z.B. die Streuphasen zur Pion-Nukleon-Streuung; das ist jedoch lediglich relativistische Quantenmechanik). Die quadratische Ordnung in pi liefert 1-Loop-Korrekturen zur Baryon-Masse, zum Radius, zur axialen Kopplung sowie zu elektrischen und magnetischen Momenten sowie Formfaktoren. In höherer Ordnung erwartet man Korrekturen zur Elektro-Pion-Produktion sowie zur Pion-Nukleon-Streuung; ich weiß nicht, ob das schon berechnet wurde. Zur Berechnung der eichfeldabhängigen axialen Anomalie mittels der Fujikawa-Methode betrachtet man die Eigenfunktionen der kovarianten Ableitung sowie das Verhalten des Maßes unter der axialen Transformationen Der Index des Dirac-Operators entspricht gerade der Differenz der Anzahl linkshändiger und rechtshändiger Eigenfunktionen. Obwohl dies üblicherweise im Pfadintegralformalismus durchgeführt wird, existieren auch Berechnungen im kanonischen Formalismus, die eine Quantisierung der Fermionfelder mittels der o.g. Eigenfunktionen der kovarianten Ableitung nutzen, d.h. keine ebenen Wellen und keinen Bezug zur freien Theorie https://lib-extopc.kek.jp/preprints/PDF/2000/0036/0036729.pdf Sorry, ein besseres Paper habe ich nicht gefunden.
TomS	Verfasst am: 07. Jun 2020 17:04    Titel: Hallo index_razor, danke für deinen Beitrag, und sorry für meine sehr späte Antwort. Ja, wie vermutet lag das Missverständnis (implizit) im Bezug zur freien Theorie begründet. Du schreibst index_razor hat Folgendes geschrieben: Vielleicht ist das einfach deine Definition von . Allerdings frage ich mich dann wie du das rechtfertigen willst. Erzeuger und Vernichter definiert man ja nicht einfach als "irgendeine Linearkombination aus Feld und kanonisch konjugiertem". Sie müssen doch die Randbedingungen erfüllen, wobei auf der rechten Seite Erzeuger von Streuzuständen stehen, die einen klar definierten Zusammenhang zu den Eigenzuständen des freien Hamiltonians haben. Das ist richtig, wenn ich einen mit der freien Theorie „verbundenen Sektor“ des vollen Hilbertraumes betrachte. Dann muss es möglich sein, diese Relation für die Erzeuger und Vernichter zu berücksichtigen. D.h. jedoch nur, dass man sich asymptotisch auf die freie Theorie bezieht, und dass man deswegen sinnvollerweise Funktionensysteme betrachtet, die zumindest asymptotisch zu ebenen Wellen führen. index_razor hat Folgendes geschrieben: Das war von dir aber offenbar nicht so gemeint, und meine Interpretation deiner paßt wohl auch nicht dazu, daß einfach irgendein Funktionensystem ohne jegliche Verbindung zu den Feldgleichungen ist. Dadurch werden sie aber m.E. für die Quantisierung auch erstmal nutzlos. Meine Interpretation ist wohl allgemeiner, aber sie ist deswegen für die Quantisierung sicher nicht nutzlos. Und das Funktionensystem wird in der Praxis sicher irgendeine Beziehung zu den Feldgleichungen haben, wenn auch nicht zwingend eine zur freien Theorie. index_razor hat Folgendes geschrieben: ... weil ich sie für notwendig halte, da sie die Definition des Fockraums impliziert. Das siehst du offenbar anders. Sorry für die Verwirrung. Was mich allerdings wundert ist, daß du bis jetzt keine Bemerkung dazu machst, was deine Linearkombinationen von überhaupt als "Erzeuger und Vernichter" qualifiziert. Wie kommst du darauf, daß wiederholtes anwenden den kompletten Fockraum der Theorie aufspannt? Nach deiner Konstruktion erscheint mir nicht mal offensichtlich, wie der Fockraum überhaupt aussehen könnte. Ich finde das ist ein Punkt, auf den du bei deiner Diskussion der Quantisierung unbedingt eingehen solltest. Ja, sorry für die Verwirrung meinerseits. Du hast recht, das muss ich sicherlich erläutern. Vorab: ich seit ca. 20 Jahren raus aus der Forschung; das folgende sind im wesentlichen frühere Erkenntnisse – soweit noch in Erinnerung. Nach meinem Verständnis folgt eine Fockraumstruktur formal alleine aus den Vertauschungsrelationen der Erzeuger und Vernichter sowie aus der Vollständigkeit des Funktionensystems. Damit ist noch nicht gewährleistet, dass dieser Fockraum (bis auf unitäre Äquivalenz) eindeutig und für das konkrete Modell = den konkreten Hamiltonian sinnvoll oder nützlich ist (und dabei lassen wir mal die Fragestellung außen vor, ob der Hamiltonian sowie weitere Operatoren überhaupt mathematisch wohldefiniert sind). Mir ist bewusst, dass unterschiedliche Funktionensysteme zu unterschiedlichen Fockräumen führen können und dass diese gerade nicht zwingend unitär äquivalent sein müssen (Haagsches Theorem); m.a.W.: möglicherweise benötigt man für verschiedene Sektoren des Hilbertraumes unterschiedliche Fockräume, und möglicherweise ist das für eine konkrete Theorie ein echter Defekt (wir verstehen die Quantenfeldtheorie heute noch nicht besser). Einige Beispiele: In der 1+1 dimensionalen QED auf dem Kreis kann man das elektrische Feld in der Weyl-Eichung bis auf einen dynamischen Zero-Mode a(t) vollständig ausintegrieren Damit erhält man „dressed Fermions“, wobei der Fluktuationsanteil des Eichfeldes in das Fermionfeld absorbiert wird; der Fluktuationsanteil ist durch den Constraint des Gaußschen Gesetz vollständig festgelegt und daher nicht dynamisch. Der Fockraum wird dann mittels ebener Wellen für die dressed Fermions konstruiert; freie Fermionfelder sind in dieser Formulierung aufgrund des unbekannten Eichfeldanteils nicht explizit bekannt. Eine alternative Quantisierung mittels freier Fermionen plus der Eliminierung des nicht-dynamischen Fluktuationsanteil des Eichfeldes durch unitäre Transformation zur Fixierung der durch das Gaußsche Gesetz erzeugten residual gauge symmetry führt auf identische Vorhersagen, z.B. die explizit berechenbare axiale Anomalie. Diese Formulierung hielten wir in der Vergangenheit für präziser, sie rechtfertigt sozusagen den ad-hoc Ansatz mittels „dressed Fermions“. Ich habe mich lange mit der nicht-perturbativen, kanonischen Quantisierung der QCD befasst; in Ermangelung eines besseren Ansatzes haben wir damals auch immer ebene Wellen und damit den Fockraum der freien Theorie zur Quantisierung benutzt (auf dem Torus, d.h. zumindest dem Haagschen Theorem sind wir formal entkommen). Die Berechnungen zeigen, dass man mittels dieser Quantisierung auch das Confinement-Regime der QCD, in dem keine asymptotisch freien Felder existieren, vernünftig beschreiben kann (es gibt natürlich keinen mathematischen Beweis). Soweit ich das verstanden habe benutzt man heute auch sogenannte „dressed Quarks“, die aus einer teilweisen Ausintegration der Gluonfelder resultieren. Man spaltet das Gluonfeld in einen klassischen Anteil sowie Fluktuationen auf; erstere werden ausintegriert, letztere quantisiert. Erzeuger und Vernichter sowie Fockraum beziehen sich dann nicht mehr auf die freie Theorie sondern auf die dressed Quarks. Das so konstruierte Modell kann für Berechnungen im Confinement-Regime = für gebundenen Zuständen wie Mesonen und Baryonen verwendet werden; inwiefern eine Beziehung zum asymptotisch freien Regime und dessen Fockraum der Streuzustände möglich ist, kann ich nicht sagen. Im Sine-Gordon-Model existieren Vakuumsektoren sowie Solitonen – sogenannte n-Kinks – die durch die topologische Ladung des erhaltenen topologischen Stromes ausgezeichnet sind. Zeitabhängige Lösungen folgen durch Poincare-Transformation. Je Sektor n kann nun eine Aufspaltung des Feldes in n-Kink plus Fluktuationen vorgenommen werden; die Streuzustände werden dann bzgl. des jeweiligen n-Kinks betrachtet und zur Quantisierung verwendet. Man kann das Modell auch auf dem Kreis lösen. Natürlich ändert dies die klassischen Lösungen je Sektor n, allerdings bleiben die topologischen Sektoren erhalten. Für das neue Feld entspricht Q gerade der Windungszahl der Abbildung Auf dem Kreis verliert man – außer im Grenzfall sehr großer Radien – den Bezug zur freien Theorie, da keine asymptotisch freien Streuzustände vorliegen. Man erhält durch Quantisierung mittels der Fluktuationen zunächst je Sektor n einen eigenständigen Fockraum (1). Jedes sektor-spezifische Funktionensystem ist vollständig, d.h. klassisch sollte jeder Sektor m im Abschluss jedes beliebigen anderen Sektors n liegen (siehe Fourierreihen). Quantenmechanisch sollten die Sektoren alle in einem gemeinsamen „großen Fockraum“ leben, wobei die je Sektor definierten Quantisierungen untereinander unitär äquivalent sind (2). Ich weiß nicht, ob (1) oder (2) zutrifft, d.h. mir ist nicht bekannt, ob man die Existenz oder nicht-Existenz einer Äquivalenzrelation mittels unitärer Operatoren tatsächlich zeigen kann (die Indizes m,n bezeichnen die Sektoren, bzgl. derer die Quantisierung = der Fockraum konstruiert wurde. Für die sektor-spezifische Konstruktion des Hamiltonians müsste analog gelten. Die Sektoren sollten aufgrund der erhaltenen topologischen Ladung untereinander dynamisch isoliert bleiben, d.h. Das entspricht in etwa den theta-Vakua der QCD. Ich denke, diesen Punkt zur Äquivalenz verschiedener Fockräume sollten wir diskutieren.
index_razor	Verfasst am: 02. Jun 2020 10:55    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Lassen wir erst mal die Feldquantisierung, die freie Theorie bzw. Streuzustände beiseite; die von dir geschilderten Probleme zur Feldquantisierung mögen zusätzlich relevant werden, jedoch verstehe ich dein zuvor geäußertes Unbehagen bzgl. der Gleichungen (P1) und (P2) als bereits in der klassischen Theorie gegeben. Nein, ich glaube nicht. Mir war ja zuerst nicht klar, daß deine Gleichung für reine Definitionen sind. Das hattest du zunächst nicht dazugeschrieben (erst später, aber ich habe eine Weile gebraucht um meine Verwirrung aufzudröseln). Ich ging davon aus, daß wir schon eine Definition für haben, nämlich als die Heisenbergoperatoren, die zu im Diracbild gehören, d.h. Hier geht nur ein. Deswegen habe ich deine Beziehung Zitat: die ganze Zeit als zusätzliche Bedingung an aufgefaßt. (Die Äquivalenz ist nur gegeben, wenn .) Das war von dir aber offenbar nicht so gemeint, und meine Interpretation deiner paßt wohl auch nicht dazu, daß einfach irgendein Funktionensystem ohne jegliche Verbindung zu den Feldgleichungen ist. Dadurch werden sie aber m.E. für die Quantisierung auch erstmal nutzlos. Insofern bin ich jetzt gespannt, wie du auf dieser Basis weitermachst. Ich glaube also, daß meine zuletzt geäußerten Bedenken über die Quantisierung die einzig relevanten sind. Und sofern die ausgeräumt sind, haben wir die Sache geklärt. Zitat: Deine Bedenken bzgl. Gleichung (P1) und (P2) waren, dass die zuletzt genannten linearen Gleichungen mit den nicht-linearen Hamiltonschen Bewegungsgleichungen nicht konsistent sind, d.h. dass und - letzteres aufgelöst nach im Sinne von mit einer nicht-linearen Funktion f unverträglich sind. Anders formuliert, kann deiner Überlegung zufolge nicht gelten, weil die linke Seite linear, die rechte nicht-linear in bzw. ist. Ja, das alles aber natürlich nur, wenn es eine unabhängige Definition von gibt. Die hatte ich dir einfach unterstellt, weil ich sie für notwendig halte, da sie die Definition des Fockraums impliziert. Das siehst du offenbar anders. Sorry für die Verwirrung. Was mich allerdings wundert ist, daß du bis jetzt keine Bemerkung dazu machst, was deine Linearkombinationen von überhaupt als "Erzeuger und Vernichter" qualifiziert. Wie kommst du darauf, daß wiederholtes anwenden den kompletten Fockraum der Theorie aufspannt? Nach deiner Konstruktion erscheint mir nicht mal offensichtlich, wie der Fockraum überhaupt aussehen könnte. Ich finde das ist ein Punkt, auf den du bei deiner Diskussion der Quantisierung unbedingt eingehen solltest. Zitat: Wenn dieser Einwand in der klassischen Theorie stichhaltig wäre, dann hätte ich bisher irgendwo einen Fehler begangen. Ich habe jedoch ausschließlich Äquivalenzumformungen angewandt, eine Darstellung von Funktionen bzgl. einer Basis durchgeführt und definiert. Genau, das sehe ich auch so. Es ist zwar ungewöhnlich die Lösungen einer nichtlinearen Feldgleichung als Linearkombination zu schreiben, aber mathematisch falsch ist daran natürlich erstmal nichts. Auch aus den unbekannten klassischen Lösungen kannst du natürlich beliebige Linearkombination bilden und das Ergebnis dann "" etc. nennen. Klassisch muß man ja auch die Lösungsmenge nicht mit einer Hilbertraumstruktur versehen. Insofern sehe auch ich hier erstmal keinen Widerspruch. Zitat: Tatsache ist, dass diese letzte Gleichung nichts weiter ist als eine Umformulierung der Hamiltonschen Bewegungsgleichung in den Variablen bzw. . Dass du das anhand von bzw. diskutierst, tut letztlich überhaupt nichts zur Sache. In allen Fällen - angefangen bei den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen selbst - liegen Gleichungen der Form "linearer Term = nicht-linearer Term" vor. Anstatt zu vermuten, eine derartige Gleichung sei nicht korrekt oder mit anderen Gleichungen unverträglich, müsstest du in der jeweiligen Herleitung der Gleichung explizit einen Fehler aufzeigen. Da hast du recht, klassisch tut das alles nichts zu Sache. Aber klassisch tut ja auch deine Zerlegung eigentlich nichts zur Sache. Zitat: Wenn wir uns einig sind, dass kein Fehler vorliegt, können wir die Quantisierung diskutieren. Ok, ich glaube ich wäre so weit.
TomS	Verfasst am: 02. Jun 2020 00:20    Titel: Lassen wir erst mal die Feldquantisierung, die freie Theorie bzw. Streuzustände beiseite; die von dir geschilderten Probleme zur Feldquantisierung mögen zusätzlich relevant werden, jedoch verstehe ich dein zuvor geäußertes Unbehagen bzgl. der Gleichungen (P1) und (P2) als bereits in der klassischen Theorie gegeben. Du sagst bitte genau, welche der folgenden Überlegungen oder Gleichungen du nicht verstehst oder für falsch hältst. 1) Klassische Theorie Wir wissen In allen drei Gleichungen ist die rechte Seite i.A. nicht-linear, die Bewegungsgleichungen daher nicht geschlossen lösbar. Nun setzen wir an, dass die Funktionen als Funktionen von x über einem geeigneten Funktionenraum darstellbar sind mittels eines vollständigen Funktionensystem. D.h. Natürlich lassen sich die Funktionsscharen als Funktionen von x für jeden beliebigen Scharparameter t bzgl. des selben Funktionensystems darstellen. D.h. Nun schreiben wir und führen für die auftretenden Linearkombinationen die Bezeichnungen ein. Deine Bedenken bzgl. Gleichung (P1) und (P2) waren, dass die zuletzt genannten linearen Gleichungen mit den nicht-linearen Hamiltonschen Bewegungsgleichungen nicht konsistent sind, d.h. dass und - letzteres aufgelöst nach im Sinne von mit einer nicht-linearen Funktion f unverträglich sind. Anders formuliert, kann deiner Überlegung zufolge nicht gelten, weil die linke Seite linear, die rechte nicht-linear in bzw. ist. Wenn dieser Einwand in der klassischen Theorie stichhaltig wäre, dann hätte ich bisher irgendwo einen Fehler begangen. Ich habe jedoch ausschließlich Äquivalenzumformungen angewandt, eine Darstellung von Funktionen bzgl. einer Basis durchgeführt und definiert. Tatsache ist, dass diese letzte Gleichung nichts weiter ist als eine Umformulierung der Hamiltonschen Bewegungsgleichung in den Variablen bzw. . Dass du das anhand von bzw. diskutierst, tut letztlich überhaupt nichts zur Sache. In allen Fällen - angefangen bei den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen selbst - liegen Gleichungen der Form "linearer Term = nicht-linearer Term" vor. Anstatt zu vermuten, eine derartige Gleichung sei nicht korrekt oder mit anderen Gleichungen unverträglich, müsstest du in der jeweiligen Herleitung der Gleichung explizit einen Fehler aufzeigen. Wenn wir uns einig sind, dass kein Fehler vorliegt, können wir die Quantisierung diskutieren. Klassische Theorie Ende
index_razor	Verfasst am: 01. Jun 2020 18:52    Titel: Ich habe jetzt noch ein wenig weiter über deine Definition der Erzeuger und Vernichter nachgedacht und ich glaube tatsächlich, daß sich mein Unbehagen genau darauf zurückführen läßt. Ich habe nochmal nachgelesen, welche Aussagen du im Thread über deine quantisierten Felder gemacht hast. Zur Einführung schreibst du folgendes: TomS hat Folgendes geschrieben: Mittels Hermitizität, Beziehung zwischen k und -k bzw. h.c. usw. folgt Dabei können die u_k ebene Wellen sein, müssen sie aber nicht (z.B. QFT auf gekrümmten Raumzeiten) und weiter unten TomS hat Folgendes geschrieben: zweifelst du an, dass diese Darstellung für allgemeine nicht-lineare Hamiltonoperatoren und beliebige Funktionensysteme nicht zulässig ist? Ich habe erst nicht angezweifelt, daß dies zulässig ist, weil du ja lediglich von einer beliebigen Zerlegung eines Feldes bzgl. eines beliebigen vollständigen Funktionensystems sprichst. Ich hätte wohl allerdings noch etwas nachhaken sollen. Der Punkt dieser Zerlegung ist doch, daß man auf den klassischen Lösungen der Feldgleichungen eine Hilbertraumstruktur definieren will, in der die "Entwicklungskoeffizienten , bzw. mit physikalisch sinnvollen Zuständen identifiziert werden können. Nur in diesem Sinne redet man von "Erzeugern und Vernichtern". Dafür können die aber natürlich keine beliebigen Funktionen sein. Es muß sich um Lösungen der klassischen Feldgleichungen handeln. Das ganze ergibt dann aber nur Sinn, wenn das resultierende Feld ebenso eine Lösung dieser Gleichungen ist. Das ist wiederum nur dann der Fall, wenn die betrachteten Feldgleichungen linear sind. (Diese Bedingung fordert man auch bei der Quantisierung auf gekrümmten Raumzeiten.) Wenn das nicht gegeben ist, kannst du vielleicht deine Felder immer noch nach entwickeln, aber die Entwicklungskoeffizienten haben keinen offensichtlichen Zusammenhang mit physikalischen Zuständen des Feldes, einfach aus dem Grund, daß der Raum der klassischen Lösungen der Feldgleichungen keine offensichtliche Hilbertraumstruktur mehr besitzt. Ob für wechselwirkende Felder überhaupt eine entsprechende Quantentheorie existiert, ist ja auch im allgemeinen gar nicht klar. Bei dir sieht es so aus, als müsse man lediglich irgendein vollständiges Funktionensystem wählen und alle klassischen Lösungen danach entwickeln. Weil für wechselwirkende Felder aus den vollständigen Feldgleichungen nicht einfach so ein offensichtlicher Hilbertraum herauspurzelt, geht man ja hier den Umweg eigentlich immer über die freien Feldgleichungen. Diese sind linear, definieren also einen Hilbertraum. Wechselwirkungen führt man dann als Polynome (oder kompliziertere Funktionen wie hier) dieser freien Felder ein und hofft, daß das ganze konsistent bleibt. Man muß also auf jeden Fall bereits bei der Definition der Erzeuger und Vernichter die Feldgleichungen berücksichtigen. Und notgedrungen, wegen ihrer Linearität, werden dies die freien Feldgleichungen sein. In der Streutheorie begegnen einem diese freien Felder ja wieder durch die asymptotische Bedingung, daß in irgendeinem Sinne zu unendlich später und früher Zeit in eine Lösung der freien Gleichungen übergehen muß. Für diese hat man die bekannte Zerlegung nach Erzeugern und Vernichtern, die in diesem Fall Eigenzustände des freien Hamiltonoperators erzeugen, die physikalisch sinnvoll sind unter der Voraussetzung, daß sich Streuprobleme überhaupt störungstheoretisch behandeln lassen (was eigentlich immer "Lehrbuchannahme" ist). Wenn dies alles nicht der Fall ist, weder ein Diracbild existiert, noch die Gleichungen linear sind, hat man keine Definition des Fockraums und folglich zunächst keine Zerlegung der Felder in Erzeuger und Vernichter.
index_razor	Verfasst am: 01. Jun 2020 14:25    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: EDIT: Für den kanonischen Impuls gilt - s.o.: Das verwende ich im Nenner des Integranden Damit folgt Daß in meinem Integranden nichts anderes als steht, mußt du mir doch nicht beweisen. Ich habe dieses ja selbst vorher eingesetzt. Damit wollte ich nur demonstrieren, was ich mich die ganze Zeit frage. Wenn man nämlich in einsetzt, kommt erstmal eine komplizierte Reihe mit beliebig hohen Potenzen von und deren Ableitungen heraus, aber nichts was irgendwie offensichtlich linear in ist. (Es sei denn .) Damit hast du erstmal eine Definition von zuviel. Nämlich -- aufgefaßt als Reihe in etc. -- und also im Gegensatz dazu eine einfache Linearkombination von . Natürlich kommen die bei dir bis zu der Beziehung gar nicht vor. Vielleicht liegt hier auch genau der Hund begraben. Vielleicht ist das einfach deine Definition von . Allerdings frage ich mich dann wie du das rechtfertigen willst. Erzeuger und Vernichter definiert man ja nicht einfach als "irgendeine Linearkombination aus Feld und kanonisch konjugiertem". Sie müssen doch die Randbedingungen erfüllen, wobei auf der rechten Seite Erzeuger von Streuzuständen stehen, die einen klar definierten Zusammenhang zu den Eigenzuständen des freien Hamiltonians haben. Also hättest du in diesem Fall eine Definition von Erzeugern und Vernichtern zuviel, was das Problem nur verschiebt. Zitat: EDIT 2: index_razor hat Folgendes geschrieben: Und nun behauptest du einfach, das wäre gleich Das habe ich gezeigt. Und ich verstehe nicht, wo du das gezeigt haben willst. Du hast einfach eine Folge von Gleichungen hingeschrieben, nämlich TomS hat Folgendes geschrieben: Modulo diverser Konstanten: Mittels Hermitizität, Beziehung zwischen k und -k bzw. h.c. usw. folgt Keine davon hat irgendwas mit den Hamiltonschen Gleichungen zu tun. Im Gegenteil hast du sogar betont, daß der einzige explizite Zusammenhang zwischen und , der da steht, lediglich eine algebraische Definition ist. Zitat: index_razor hat Folgendes geschrieben: Wie wirst du die Zeitableitungen los? Wie zeigst du, daß (P2) konsistent mit (P1) ist? Wie gezeigt, durch verwenden des kanonischen Impulses. Das finde ich eben nicht offensichtlich. Du vielleicht schon, aber ich benötige dafür 1) und 2) Für den gegebenen Hamiltonian wüßte nichtmal wie ich anfangen sollte, das zu zeigen. (Außer eben , woraus in diesem Fall beide Bedingungen folgen.) Zitat: Umgekehrt: Wieso betrachtest du immer noch diesen Ausdruck? Weil ich anhand dieses Ausdrucks am besten klar machen kann, wo ich das Problem sehe. Zitat: Wir haben ihn ganz zu Beginn in der Legendre-Transformation von L zu H ersetzt. Im weiteren Verlauf muss diese Ersetzung ebenfalls möglich sein, andernfalls wäre die Legendre-Transformation irgendwie inkonsistent. Es ist natürlich sinnvoll, die Konsistenz aller Lagrangeschen Bewegungsgleichungen auch im hamiltonschen Formalismus zu prüfen, aber das dient doch nur zur Bestätigung, dass man richtig gerechnet hat, nicht der Prüfung der Konsistenz des Verfahrens an sich; Das Verfahren "an sich"-- ich nehme mal an damit meinst du die kanonische Quantisierung? -- beinhaltet ja auch nicht die Verwendung von Erzeugern und Vernichtern oder irgendeinen Zusammenhang der Form
TomS	Verfasst am: 30. Mai 2020 16:11    Titel: Der Ausdruck in (P1) unter dem Integral liefert gerade Die entsprechende Umformung nutzt man bereits bei der Ableitung des Hamiltonians aus dem Lagrangian. Damit ist P(1) = (P2). EDIT: Für den kanonischen Impuls gilt - s.o.: Das verwende ich im Nenner des Integranden Damit folgt EDIT 2: index_razor hat Folgendes geschrieben: Und nun behauptest du einfach, das wäre gleich Das habe ich gezeigt. index_razor hat Folgendes geschrieben: Wie wirst du die Zeitableitungen los? Wie zeigst du, daß (P2) konsistent mit (P1) ist? Wie gezeigt, durch verwenden des kanonischen Impulses. Umgekehrt: Wieso betrachtest du immer noch diesen Ausdruck? Wir haben ihn ganz zu Beginn in der Legendre-Transformation von L zu H ersetzt. Im weiteren Verlauf muss diese Ersetzung ebenfalls möglich sein, andernfalls wäre die Legendre-Transformation irgendwie inkonsistent. Es ist natürlich sinnvoll, die Konsistenz aller Lagrangeschen Bewegungsgleichungen auch im hamiltonschen Formalismus zu prüfen, aber das dient doch nur zur Bestätigung, dass man richtig gerechnet hat, nicht der Prüfung der Konsistenz des Verfahrens an sich; dass dieses immer funktioniert, war für mich offensichtlich. Ich verstehe deine grundsätzlichen Bedenken nicht. Aber wie weiter oben gesagt, ich habe grundsätzliche Bedenken, wenn es um eine echt quantenmechanische Formulierung geht, also bei Verwendung der Heisenbergschen, nicht nur der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen. Zunächst muss man geeignete Operatorordnungen finden und insbs. H auf eine selbstadjungierte Form bringen. Es ist keineswegs offensichtlich, wie man das so durchführen kann, dass gleichzeitig alle klassischen Gleichungen reproduziert werden.
index_razor	Verfasst am: 30. Mai 2020 15:51    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: index_razor hat Folgendes geschrieben: TomS hat Folgendes geschrieben: Aber das noch nur eine algebraische Definition. Was soll an diesem Zusammenhang nicht gelten können?? Daß im allgemeinen von und abhängen muß. Du setzt anscheinend . Ich denke das kann nicht sein. Was erhältst du denn für den Kommutator von H mit ? Wo setze ich das ein? Das wäre natürlich falsch. Das machst du nicht explizit. Aber deine Definition steht anscheinend im Widerspruch zu den Hamiltonschen Gleichungen. Wir haben doch also Aus den Hamiltonschen Gleichungen ergibt sich nun Und nun behauptest du einfach, das wäre gleich Wie kann das sein? Das ist nur offensichtlich, wenn ist. (Und selbst da eigentlich nur mit als Vorfaktor.) Nicht nur, daß es nicht offensichtlich ist, daß (P1) = (P2). Es ist nichtmal offensichtlich, wie man (P1) überhaupt als Linearkombination von schreiben kann, mit oder ohne Zeitableitungen. Wie wirst du die Zeitableitungen los? Wie zeigst du, daß (P2) konsistent mit (P1) ist?
TomS	Verfasst am: 30. Mai 2020 15:28    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: TomS hat Folgendes geschrieben: Aber das noch nur eine algebraische Definition. Was soll an diesem Zusammenhang nicht gelten können?? Daß im allgemeinen von und abhängen muß. Du setzt anscheinend . Ich denke das kann nicht sein. Was erhältst du denn für den Kommutator von H mit ? Wo setze ich das ein? Das wäre natürlich falsch.
index_razor	Verfasst am: 30. Mai 2020 14:54    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Aber das noch nur eine algebraische Definition. Was soll an diesem Zusammenhang nicht gelten können?? Daß im allgemeinen von und abhängen muß. Du setzt anscheinend . Ich denke das kann nicht sein. Was erhältst du denn für den Kommutator von H mit ?
TomS	Verfasst am: 30. Mai 2020 14:41    Titel: Aber das noch nur eine algebraische Definition. Was soll an diesem Zusammenhang nicht gelten können??
index_razor	Verfasst am: 30. Mai 2020 14:27    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Nochmal zurück auf los und eine einfache Frage: zweifelst du an, dass diese Darstellung für allgemeine nicht-lineare Hamiltonoperatoren und beliebige Funktionensysteme nicht zulässig ist? Nein, das zweifle ich nicht an. Ich bezweifle, daß für beliebige Hamiltonfunktionen der Zusammenhang gelten kann. Vielleicht war ich mit den Gradienten auf dem Holzweg. Wahrscheinlich muß man lediglich eine Entwicklung der Form irgendwie in aufnehmen, die ja vermutlich existieren muß. Allerdings funktioniert der Zusammenhang zwischen und der Zeitabhängigkeit von für mich immer noch nicht.
TomS	Verfasst am: 30. Mai 2020 14:22    Titel: Ok, hab’s gesehen. Nochmal zurück auf los und eine einfache Frage: zweifelst du an, dass diese Darstellung für allgemeine nicht-lineare Hamiltonoperatoren und beliebige Funktionensysteme nicht zulässig ist?
index_razor	Verfasst am: 30. Mai 2020 14:18    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: index_razor hat Folgendes geschrieben: Das paßt doch nicht zusammen. Aus der letzten Gleichung folgt Kannst du mir erklären, wie links eine reine t-Abhängigkeit übrigbleiben soll, wenn rechts eine komplizierte Funktion von x steht? Rechts steht eine Funktion von y unter dem dy-Integral. Du warst schneller, aber ich habe meinen Fehler hier inzwischen auch erkannt und meinen Beitrag editiert. TomS hat Folgendes geschrieben: index_razor hat Folgendes geschrieben: Nun ergibt sich mittels der Beziehung Auch deine Rechnung unten zeigt nicht, daß hier etwas herauskommt, was als Linearkombination von Erzeugern und Vernichtern geschrieben werden kann. Diese Gleichung existiert im kanonischen Formalismus so nicht, sie ist ein Relikt aus dem Lagrange-Formalismus. Das spielt hingegen keine Rolle. Die Gleichung ist lediglich die nach umgestellte Beziehung Beide müssen gelten.
TomS	Verfasst am: 30. Mai 2020 13:58    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: Nun ergibt sich mittels der Beziehung Auch deine Rechnung unten zeigt nicht, daß hier etwas herauskommt, was als Linearkombination von Erzeugern und Vernichtern geschrieben werden kann. Diese Gleichung existiert im kanonischen Formalismus so nicht, sie ist ein Relikt aus dem Lagrange-Formalismus. Die entsprechende Gleichung im kanonischen Formalismus ist wobei rechts ausschließlich stehen, jedoch kein ; und deren Ableitung habe ich gezeigt. index_razor hat Folgendes geschrieben: Das paßt doch nicht zusammen. Aus der letzten Gleichung folgt Kannst du mir erklären, wie links eine reine t-Abhängigkeit übrigbleiben soll, wenn rechts eine komplizierte Funktion von x steht? Rechts steht eine Funktion von y unter dem dy-Integral.
index_razor	Verfasst am: 30. Mai 2020 13:18    Titel: EDIT: erstmal das Ende meines Betrages lesen. TomS hat Folgendes geschrieben: Sorry, ich verstehe dein Problem nicht. Das ist doch nur Variablentransformation plus Differentialrechnung. Nochmal zur Klarstellung: analog. Ich hatte die implizite Zeitabhängigkeit nicht explizit hingeschrieben. Das mußtest du auch nicht. Die Gleichungen, die du hingeschrieben hattest, hatten bereits genügend Implikationen, die ziemlich deutlich im Widerspruch zu den kanonischen Gleichungen standen. Du definierst Dann folgt und Nun ergibt sich mittels der Beziehung Auch deine Rechnung unten zeigt nicht, daß hier etwas herauskommt, was als Linearkombination von Erzeugern und Vernichtern geschrieben werden kann. Zunächst ist klar, daß dort die nur im Zusammenhang mit auftauchen können, und umgekehrt die nur mit . Bei dir steht hingegen sowas (Die i-Faktoren fehlten, folgen aber aus den anderen Formeln, zusammen mit deiner Definition der .) Das kann aber nie und nimmer den kanonisch konjugierten Impuls des Heisenbergfeldes oben ergeben. Erstens fehlen die Terme mit völlig, woraus ich schließe, daß du implizit gesetzt hast, oder, was in diesem Fall dasselbe ist, den Zusammenhang verwendest. Unter dieser Voraussetzung gilt aber Daraus kann man zweitens folgern, daß . Wenn dies zu allen Zeiten gilt, folgt natürlich sofort also bis auf das fehlende derselbe Zusammenhang wie in der freien Theorie. Nun kann ich natürlich nicht wissen, ob das für alle Zeiten gilt, da du ja nur die Anfangsbedingungen für deine Felder festlegst. Aber ich glaube das spielt auch keine Rolle, denn bereits aus den vorliegenden Bedingungen müßte ja dann folgen, was m.E. auch nicht stimmen kann. Der Kommutator mit H und ergibt ja z.B. auch wieder Terme , die in selbst nicht vorkommen. Zitat: Man setzt einfach diese Reihen für irgendeinen vollständiges Orthonormalsystem an - mehr nicht. Du hast aber noch mehr gemacht, nämlich einen linearen Zusammenhang zwischen den Entwicklungskoeffizienten von und postuliert. Der wahre Zusammenhang ergibt sich aber aus den nichtlinearen kanonischen Gleichungen. Nur wenn du die freie Theorie verwendest, kommt für ebenfalls eine Linerakombination von heraus. Und zwar nur deshalb, weil in der freien Theorie die Beziehung gilt. Zitat: Zur Zeitentwicklung - aufgrund der o.g. Schwierigkeiten mit Operatorordnung lediglich klassisch gerechnet: 1) direkt ... das bekannte Ergebnis; passt. 2) für die die Darstellung mittels und beliebiges H Die erste Ableitung liefert gerade , die zweite das bereits bekannte Ergebnis. Mittels Vollständigkeit der folgt für die Summe über gerade ; passt. 3) explizit für dieses spezielle H Die Ableitung nach liefert das gewünschte , die Summe über k liefert wieder die delta-Funktion, es bleibt das bekannte Ergebnis; passt. Das paßt doch nicht zusammen. Aus der letzten Gleichung folgt Kannst du mir erklären, wie links eine reine t-Abhängigkeit übrigbleiben soll, wenn rechts eine komplizierte Funktion von x steht? EDIT: Den Einwand ziehe ich zurück. Ich hatte übersehen, daß das Argument in gleich der Integrationsvariable ist. Ich bin mir nun auch nicht mehr sicher, ob meine Einwände oben noch stichhaltig sind. Ich denke nochmal darüber nach.
TomS	Verfasst am: 30. Mai 2020 09:34    Titel: Sorry, ich verstehe dein Problem nicht. Das ist doch nur Variablentransformation plus Differentialrechnung. Nochmal zur Klarstellung: analog. Ich hatte die implizite Zeitabhängigkeit nicht explizit hingeschrieben. Man setzt einfach diese Reihen für irgendeinen vollständiges Orthonormalsystem an - mehr nicht. Zur Zeitentwicklung - aufgrund der o.g. Schwierigkeiten mit Operatorordnung lediglich klassisch gerechnet: 1) direkt ... das bekannte Ergebnis; passt. 2) für die die Darstellung mittels und beliebiges H Die erste Ableitung liefert gerade , die zweite das bereits bekannte Ergebnis. Mittels Vollständigkeit der folgt für die Summe über gerade ; passt. 3) explizit für dieses spezielle H Die Ableitung nach liefert das gewünschte , die Summe über k liefert wieder die delta-Funktion, es bleibt das bekannte Ergebnis; passt. 4) Wenn es für funktioniert, dann auch für , sind ja nur Linearkombinationen; passt. Für die Zeitentwicklung des Impulses geht das genauso, außer das es wegen noch lästiger wird. Das Vernachlässigen von h.c. und diverser Konstanten ist hoffentlich kein prinzipielles Problem. Was fehlt? Was wäre noch zu rechnen?
index_razor	Verfasst am: 29. Mai 2020 08:12    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Sorry, mir scheint, du hast den Faden verloren. Du klebst irgendwie an der freien Theorie, , ... Das ist alles unnötig. Ich habe behauptet, daß deine nicht die Bedingung erfüllen. Stammt die deiner Meinung nach aus der freien Theorie? Und wo siehst du da und ? Du redest davon, die unbekannte Zeitabhängigkeit in und zu stecken, erhältst dann aber wo von dieser Zeitabhängigkeit nichts mehr zu sehen ist. Offenbar denkst du diesem Problem zu entgehen, indem du nur den Zeitpunkt t=0 betrachtest. Aber müßte trotzdem sowohl -- jeweils bei t=0 --, als auch enthalten und zwar so, wie es die Hamiltonschen Gleichungen vorgeben.
TomS	Verfasst am: 28. Mai 2020 21:01    Titel: Sorry, mir scheint, du hast den Faden verloren. Du klebst irgendwie an der freien Theorie, , ... Das ist alles unnötig. Die Zeitentwicklung aller Operatoren folgt aus der Heisenbergschen Bewegungsgleichung. Eine explizite Zeitabhängigkeit der mittels hinzuschreiben ist völlig nutzlos, wenn man nicht die freie Theorie verwendet, denn nur dann wären die bekannt; andernfalls steckt die unbekannte Zeitabhängigkeit implizit in den . Natürlich können mittels desselben Funktionensystems dargestellt werden; das Funktionensystem ist völlig beliebig, es muss lediglich vollständig sein. Der Unterschied steckt in den . Und natürlich kann ich mittels eines beliebigen Funktionensystems für einen beliebigen Hamiltonian darstellen, bzw. wie du schreibst “ohne Hamiltonian definieren, obwohl offensichtlich ein Zusammenhang zur Zeitableitung besteht”. Kein Funktionensystem ist mathematisch ausgezeichnet, es muss lediglich vollständig sein. Und die Zeitableitung stammt aus der Heisenbergschen Bewegungsgleichung, der sind die Funktionensysteme jedoch völlig egal. Ich schreibe das alles nochmal auf, wird aber etwas dauern. Dann: Ja, die Mehrdeutigkeit der Operatorordnung ist zwar gegeben, spielt aber bei der Aufgabenstellung keine Rolle.
index_razor	Verfasst am: 28. Mai 2020 08:34    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: index_razor hat Folgendes geschrieben: Aber es erscheint mir trotzdem relativ offensichtlich, daß Zitat: nicht die Beziehung erfüllt. Oder siehst du das anders? Ja, das sehe ich anders. Zum ersten ist es sicher nicht offensichtlich. Ist es nicht? Wo stehen in deinem die -Terme? Und wie kann überhaupt linear von denselben u abhängen wie . Müßtest nicht du eher zeigen, daß zwischen und der von den kanonischen Gleichungen erforderte Zusammenhang gilt, anstatt nur zu behaupten, daß er nicht offensichtlich nicht gilt? Zitat: Zum zweiten kannst du das der Summendarstellung von alleine nicht ansehen, da diese zeitunabhängig ist - habe ich oben geschrieben. folgt erst mittels der Heisenbergschen Bewegungsgleichung, also unter Berücksichtigung des Hamiltonians. Daß deine Reihenentwicklung zeitunabhängig ist spielt keine Rolle. Du mußt trotzdem die kanonischen Gleichungen erfüllen. Und zwar zu jedem Zeitpunkt. Dafür mußt du natürlich den Hamiltonian berücksichtigen. Nichts anderes sage ich ja die ganze Zeit. Mich wundert lediglich, daß du annimmst, du könntest ohne Hamiltonian definieren, obwohl offensichltlich ein Zusammenhang zur Zeitableitung von besteht. Du kannst dich natürlich beschweren, daß H noch nicht eindeutig definiert ist. Aber von allen Möglichkeiten kann m.E. keine auf die führen, die du definiert hast. Es sei denn du setzt . Zitat: Zum dritten ist es gerade das Merkmal einer konsistenten Quantisierung, dass deine Gleichung für mittels reproduziert wird. Dabei tritt rechts kein auf. Was soll denn das bedeuten? Links tritt doch schon das auf. Wenn rechts auch eins aufträte, stünde da ja . Stattdessen tritt rechts eine Funktion von und auf, nämlich Diese Beziehung tritt bei dir hingegen überhaupt nicht auf, was bedeutet, daß du ein anderes als kanonische konjugierte Variable definierst. Zitat: Um diese Konsistenz zu zeigen musst du zunächst H selbstadjungiert konstruieren (haben wir noch nicht) anschließend die Heisenbergsche Bewegungsgleichung (für die unendlich vielen Möglichkeiten) berechnen und prüfen, ob (bzw. für welche Möglichkeiten) die klassische Poissonsche Bewegungsgleichung reproduziert wird - wobei rechts wiederum “i mal ein selbstadjungierter Operator” muss. Wenn du das nicht schaffst - und du schaffst es hier sicher nicht - liegt eine Quantisierungsanomalie vor; du hast eine Klasse von Hamiltonoperatoren, die lediglich im klassischen Limes übereinstimmen. Ich denke wir haben hier jetzt vollends den Faden verloren. Ich hatte nie vor zu zeigen, daß ich die gegebene wechselwirkende Feldtheorie konsistent quantisieren kann. Ich denke kein Mensch kann das zeigen. Die Operatorordnung ist dabei sicher nicht das schlimmste Problem. Alles was ich wollte, war zu klären, wie ich H bis zur linearen Ordnung durch Erzeuger und Vernichter ausdrücke.
index_razor	Verfasst am: 28. Mai 2020 08:15    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: [Operatorordnung] Die Taylorentwicklung kehrt das Problem unter den Teppich. Aber dann ist doch gut, daß wir sie nicht brauchen. Deine Frage war doch, wie ich ohne Taylorreihe in ein hermitesches H bekomme. Dafür erzeuge ich mir zuerst ein hermitesches Polynom X der Felder, welches klassisch dem Argument unter der Wurzel entspricht. Den Schritt hatte ich gestern vergessen, da hast du natürlich recht. Das geht aber offensichtlich leicht ohne Taylorreihe. Du hast es ja selbst vorgemacht. Von da an existiert also auch kein Problem mehr mit der Wurzel. War das nicht wonach du gefragt hast? Daß das so konstruierte H nicht eindeutig ist, spielt doch hier überhaupt keine Rolle.
TomS	Verfasst am: 27. Mai 2020 21:53    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: Aber es erscheint mir trotzdem relativ offensichtlich, daß Zitat: nicht die Beziehung erfüllt. Oder siehst du das anders? Ja, das sehe ich anders. Zum ersten ist es sicher nicht offensichtlich. Zum zweiten kannst du das der Summendarstellung von alleine nicht ansehen, da diese zeitunabhängig ist - habe ich oben geschrieben. folgt erst mittels der Heisenbergschen Bewegungsgleichung, also unter Berücksichtigung des Hamiltonians. Zum dritten ist es gerade das Merkmal einer konsistenten Quantisierung, dass deine Gleichung für mittels reproduziert wird. Dabei tritt rechts kein auf. Um diese Konsistenz zu zeigen musst du zunächst H selbstadjungiert konstruieren (haben wir noch nicht) anschließend die Heisenbergsche Bewegungsgleichung (für die unendlich vielen Möglichkeiten) berechnen und prüfen, ob (bzw. für welche Möglichkeiten) die klassische Poissonsche Bewegungsgleichung reproduziert wird - wobei rechts wiederum “i mal ein selbstadjungierter Operator” muss. Wenn du das nicht schaffst - und du schaffst es hier sicher nicht - liegt eine Quantisierungsanomalie vor; du hast eine Klasse von Hamiltonoperatoren, die lediglich im klassischen Limes übereinstimmen. Dabei tritt noch an keiner Stelle die Notwendigkeit der Summendarstellung von auf, die ist erst mal hinderlich. Ich habe mich mit derartigem Kram in der QCD rumgeschlagen. Das war kein Spaß, aber immer noch transparenter als hier, da die Eichsymmetrie die selbstadjungierte Form der Operatoren diktiert (so wie du bei der Quantisierung auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten einfach den Laplace-Beltrami-Operator nimmst und alles ist gut). Hier ist mit dieser Wurzel erst mal gar nichts gut, das o.g. H ist jedenfalls noch kein geeigneter Hamiltonian. Über deinen letzten Punkt muss ich nochmal nachdenken. Ich sehe das wesentliche Problem wie gesagt jedoch schon vorher.
TomS	Verfasst am: 27. Mai 2020 21:23    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: TomS hat Folgendes geschrieben: Wie zeigst du, dass der o.g. Hamiltonian selbstadjungiert ist bzw. selbstadjungiert umgeordnet werden kann, ohne dass du auf eine Taylorreihe in alpha zurückgreifest? Ich benutze, daß das Argument ein hermitescher Operator und die Wurzel eine reelle Funktion auf der positiven reellen Achse ist. Beides glaubst du mir hoffentlich ohne Taylorreihe. Das glaube ich dir zunächst nicht! Einfaches Beispiel: Der Operator ist nicht selbstadjungiert, denn Du benötigst also eine selbstadjungierte Erweiterung. Diese lautet natürlich Damit ist auch der o.g. Hamiltonian vom Typ nicht selbstadjungiert (f und p sind zwei Funktionen). Ich sehe beliebig viele Möglichkeiten, ihn selbstadjungiert zu erweitern, u.a. ... Diese Operatoren haben sicher unterschiedliches Spektrum - das sieht man schon für Taylorentwicklung plus Normalordnung führen auf einen möglichen Hamiltonoperator; aufgrund der Operator Ordering Ambiguity haben wir jedoch unendlich viele Kandidaten - der o.g. naive Ansatz ohne selbstadjungierte Erweiterung ist keine davon. Ohne weitere Hinweise wie Symmetrien bzw. Erhaltungssätze ist der o.g. Hamiltonian nicht “zu Ende gedacht”. Die Taylorentwicklung kehrt das Problem unter den Teppich.
index_razor	Verfasst am: 27. Mai 2020 17:58    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: index_razor hat Folgendes geschrieben: Setzen wir nicht voraus, daß wir einen hermiteschen Operator haben? Seine Hermitezität hängt doch nicht von irgendeiner Darstellung oder Tayorentwicklung ab. Wie zeigst du, dass der o.g. Hamiltonian selbstdjungiert ist bzw. selbstdjungiert umgeordnet werden kann, ohne dass du auf eine Taylorreihe in alpha zurückgreifest? Ich benutze, daß das Argument ein hermitescher Operator und die Wurzel eine reelle Funktion auf der positiven reellen Achse ist. Beides glaubst du mir hoffentlich ohne Taylorreihe. Da der Operator X außerdem positiv ist, muß auch ein wohldefinierter hermitescher Operator sein. Zitat: Sämtliche o.g. Größen sind für t=0 definiert. Die Zeitentwicklung folgt mittels Dabei brauche ich weder eine freie Theorie oder noch einen freien Hamiltonoperator. Ich verstehe zwar nicht warum du jetzt eine vollkommen neue Notation und diskrete Summen einführst. Aber es erscheint mir trotzdem relativ offensichtlich, daß Zitat: nicht die Beziehung erfüllt. Oder siehst du das anders? Die gilt in der wechselwirkenden Theorie für alle t, also auch t=0. So wie die i-Faktoren bei dir verteilt sind, sieht es so aus, als ob du implizit die Anfangsbedingung einführst. Und zwar genau an dieser Stelle Zitat: Das führt auf , d.h. vor den positiven Frequenzanteilen von steht ein und vor den negativen ein , genau wie man es bei einer Ableitung von nach t erwartet. Diese Bedingung kann aber nur für gelten. (Ich fand deine Rechnung allerdings etwas undurchsichtig, besonders weil die üblichen Koeffizienten überall fehlten. Ich verstehe nicht, wo die abgeblieben sind.)
TomS	Verfasst am: 27. Mai 2020 14:32    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: Setzen wir nicht voraus, daß wir einen hermiteschen Operator haben? Seine Hermitezität hängt doch nicht von irgendeiner Darstellung oder Tayorentwicklung ab. Wie zeigst du, dass der o.g. Hamiltonian selbstdjungiert ist bzw. selbstdjungiert umgeordnet werden kann, ohne dass du auf eine Taylorreihe in alpha zurückgreifest? index_razor hat Folgendes geschrieben: Und wie sieht der Zusammenhang zwischen und nun aus? Modulo diverser Konstanten: Mittels Hermitizität, Beziehung zwischen k und -k bzw. h.c. usw. folgt Dabei können die u_k ebene Wellen sein, müssen sie aber nicht (z.B. QFT auf gekrümmten Raumzeiten) Für den Hamiltonoperator H folgt dann Sämtliche o.g. Größen sind für t=0 definiert. Die Zeitentwicklung folgt mittels Dabei brauche ich weder eine freie Theorie oder noch einen freien Hamiltonoperator. Essentiell ist jedoch, dass das Integral berechnet werden kann. Wenn dies nicht gegeben ist - und im Falle des Wurzelausdrucks ist dies ohne Taylorentwicklung sicher nicht möglich - ist die Einführung von Erzeugern und Vernichtern ziemlich witzlos.
index_razor	Verfasst am: 26. Mai 2020 17:55    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Hallo index_razor, ich glaube nicht, dass die Zeitentwicklung ein prinzipielles Problem darstellt. Du setzt Bei geeigneten Vertauschungsrelationen der q,p folgen die korrekten Vertauschungsrelationen für phi,pi; durch Linearkombination der q,p folgen außerdem die Erzeuger und Vernichter. Und wie sieht der Zusammenhang zwischen und nun aus? Genau das ist doch die Frage. Ohne diese Information kann ich H nicht in der gewünschten Form darstellen. Daß es diesen Zusammenhang "prinzipiell" gibt, hilft mir doch nicht viel. Es geht doch nicht um die Frage unter welchen Voraussetzungen man kanonisch quantisieren kann. Zitat: Das ist das Grundgerüst der kanonischen Quantisierung; alle weitere ist optional. Ja, die Zeitentwicklung bleibt hier unbestimmt. Sie wird durch den vollen Hamiltonian generiert, d.h. eine freie Theorie wird nicht benötigt, um diese Quantisierung durchzuführen. Das behaupte ich doch gar nicht. Das Grundgerüst der kanonischen Quantisierung ist eine Lagrangefunktion mit Feldern und konjugierten Impulsen, die die kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen. Das ist alles bildunabhängig und gilt auch für wechselwirkende Felder. Freie Felder muß ich nur einführen, wenn ich den Hamiltonoperator durch Erzeuger und Vernichter ausdrücken will. Ansonsten habe ich keine Zerlegung für . Also muß sowohl der Zusammenhang zwischen und als auch die Zeitabhängigkeit von relativ simpel sein. Ansonsten stehe ich wieder am Anfang. Deswegen verwendet man im Diracbild. Wenn du noch eine andere Möglichkeit siehst, ist bis jetzt nicht so richtig klar geworden welche. Zitat: Zu meinem Beispiel: das Problem ist, dass du zur Normalordnung in einem Parameter entwickeln musst, um Polynomausdrücke zu erzeugen. Dabei bleibt unklar, ob bzw. in welchem Sektor des Hilbertraumes diese Taylorentwicklung konvergiert. Anders gefragt: wann darf ich eine derartige Taylorentwicklung durchführen? Nochmal anders gefragt: existieren Fockraumoperatoren, für die eine Taylorentwicklung nicht funktioniert? Auf die Taylorentwicklung kommt es hier doch gar nicht an. Die habe ich nur verwendet, weil man damit ein sehr explizites Resultat erhält. Anwenden darfst du sie immer, wenn sie für auf dem Spektrum von sinnvoll ist. Ich denke, das haut in diesem Fall schon hin, sofern kein Eigenwert von N ist. Ansonsten geht die Frage eher an dich zurück, wie du dein H überhaupt auf der Fockraumbasis definieren willst. Mehr als die Existenz der Matrixelemente in dieser Basis muß ich ja, laut Weinberg, nicht voraussetzen. Zitat: Ich kenne Beispiele aus der QCD, wo der Hamiltonian einen Jacobian enthält, den man wohl nicht entwickeln kann. Falls eine Taylorentwicklung möglich ist, folgt daraus natürlich auch eine selbstadjungierte Darstellung. Ich verstehe es immer noch nicht. Setzen wir nicht voraus, daß wir einen hermiteschen Operator haben? Seine Hermitezität hängt doch nicht von irgendeiner Darstellung oder Tayorentwicklung ab.
TomS	Verfasst am: 26. Mai 2020 11:01    Titel: Hallo index_razor, ich glaube nicht, dass die Zeitentwicklung ein prinzipielles Problem darstellt. Du setzt u_k steht für ein geeignetes orthogonales Funktionensystem. Bei geeigneten Vertauschungsrelationen der (bis auf Normierungen) konjugierten q_k,p_k folgen die korrekten Vertauschungsrelationen für phi,pi; durch Linearkombination der q_k, p_k folgen außerdem die Erzeuger und Vernichter. Das ist das Grundgerüst der kanonischen Quantisierung; alles weitere ist optional oder eben praktisch. Ja, die Zeitentwicklung bleibt hier unbestimmt; sie wird durch den vollen Hamiltonian generiert, d.h. eine freie Theorie wird nicht prinzipiell benötigt, um diese Quantisierung durchzuführen. Danke für deinen Hinweis auf den “Weinberg”. Zu meinem Beispiel: das Problem ist, dass du zur Normalordnung in einem Parameter entwickeln musst, um Polynomausdrücke zu erzeugen. Dabei bleibt unklar, ob bzw. in welchem Sektor des Hilbertraumes diese Taylorentwicklung konvergiert. Anders gefragt: wann darf ich eine derartige Taylorentwicklung durchführen? Nochmal anders gefragt: existieren Fockraumoperatoren, für die eine Taylorentwicklung nicht funktioniert? Ich kenne Beispiele aus der QCD, wo der Hamiltonian einen Jacobian enthält, den man wohl nicht entwickeln kann. Falls eine Taylorentwicklung möglich ist, folgt daraus natürlich auch eine selbstadjungierte Darstellung.
index_razor	Verfasst am: 26. Mai 2020 09:09    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Also letztlich hängst du an der Zeitentwicklung. Zunächst soll der Hamiltonoperator durch Erzeuger und Vernichter ausgedrückt werden, aber dabei müssen nicht zwingend Eigenzustände des freien Hamiltonoperators gemeint sein - wobei das natürlich oft praktisch ist und wohl implizit so gemeint war. I.A. würden Eigenzustände zum Generator einer Symmetrie ausreichen (z.B. Blochzustände, oder hier ebene Wellen als Eigenzustände des Impulsoperators). Ja, natürlich erzeugen sie in erster Linie Impulseigenzustände. Das Problem bei wechselwirkenden Feldern ist, daß dies nicht gleichzeitig Energieeigenzustände sind. Deswegen bekommen eine nichttriviale Zeitentwicklung. Allerdings wirst du über die Änderung von mit der Zeit auch etwas sagen müssen, sonst bekommst du keine Zerlegung von . Oder wie soll die hier aussehen? Im Diracbild ist das natürlich leicht, weil etc. Deswegen ist dies normalerweise der einzige Kontext, in dem man sie einführt. Zitat: Du hast recht, eine unbekannte Zeitentwicklung bzw. eine unbekannte Dispersionsrelation in der Fouriertransformation wäre sehr ungewöhnlich. Das ist wohl nicht gemeint. Wie gesagt, ich wüßte nicht mal was das hier bringen sollte. Wenn ich ansetze, dann bekomme ich Und nun weiß ich natürlich aus offensichtlichen Gründen nicht die Zerlegung von in Erzeuger und Vernichter. Also löst dieser Ansatz doch die Aufgabe nicht. Zitat: Zu deiner Bemerkung, dass jeder Operator auf dem Fockraum eine normalgeordnete Darstellung hat: ist das so? oder ist es nicht eher so, dass die Verwendung der Erzeuger und Vernichter die sinnvoll verwendbaren Operatoren einschränkt, so dass trivialerweise nur die Operatoren übrigbleiben, für dies zutrifft? Soweit ich weiß nicht. Alles was ich benötige, ist, daß der Operator endliche Matrixelemente besitzt, also im wesentlichen auf dem Fockraum definiert ist. Dann kann man induktiv beweisen, daß er eine Darstellung in Normalordnung hat. Der Beweis steht z.B. in Weinberg Band 1 auf Seite 175. Zitat: Was wäre mit mit einem geeigneten Polynom h und einem freien Parameter alpha, für den i.A. der Grenzwert gegen Null nicht zulässig ist? Welche Normalordnung hat dieses H? Wo ist da das Problem? Du entwickelst die Wurzel und dann tauscht du alle nach links. Den Grenzwert (der natürlich in der Tat nicht definiert ist) benötigt man dafür doch gar nicht. Zitat: So ein H wäre doch sinnvoll definiert, die Erzeuger und Vernichter wären die des harmonischen Oszillators, aber dass eine Entwicklung der Form sinnvoll oder zulässig ist, bleibt völlig offen. Was bleibt daran offen? Das verstehe ich nicht. Meinst du damit, daß ich die Matrixelemente nicht kenne? Zitat: Ich ziehe nicht in Zweifel, dass H wohldefiniert ist, ich sehe jedoch auch keine Möglichkeit, H ohne Rückgriff auf die Entwicklung um alpha=0 zu definieren. Bereits in dem von dir hergeleiteten Ausdruck ist unklar, ob und wie H selbstadjungiert geordnet werden kann - was ohnehin nicht eindeutig ist - und das macht mich stutzig. Kannst du das etwas ausführlicher erklären? Ich verstehe absolut nicht was du meinst. Was bedeutet "selbstadjungiert geordnet"? Ist das dasselbe wie normalgeordnet? Wenn H wohldefiniert ist, was hindert mich dann in jedem Spezialfall an dem Vorgehen, das Weinberg in seinem allgemeinen Beweis benutzt?
TomS	Verfasst am: 26. Mai 2020 00:24    Titel: Also letztlich hängst du an der Zeitentwicklung. Zunächst soll der Hamiltonoperator durch Erzeuger und Vernichter ausgedrückt werden, aber dabei müssen nicht zwingend Eigenzustände des freien Hamiltonoperators gemeint sein - wobei das natürlich oft praktisch ist und wohl implizit so gemeint war. I.A. würden Eigenzustände zum Generator einer Symmetrie ausreichen (z.B. Blochzustände, oder hier ebene Wellen als Eigenzustände des Impulsoperators). Du hast recht, eine unbekannte Zeitentwicklung bzw. eine unbekannte Dispersionsrelation in der Fouriertransformation wäre sehr ungewöhnlich. Das ist wohl nicht gemeint. Zu deiner Bemerkung, dass jeder Operator auf dem Fockraum eine normalgeordnete Darstellung hat: ist das so? oder ist es nicht eher so, dass die Verwendung der Erzeuger und Vernichter die sinnvoll verwendbaren Operatoren einschränkt, so dass trivialerweise nur die Operatoren übrigbleiben, für dies zutrifft? Was wäre mit mit einem geeigneten Polynom h und einem freien Parameter alpha, für den i.A. der Grenzwert gegen Null nicht zulässig ist? Welche Normalordnung hat dieses H? So ein H wäre doch sinnvoll definiert, die Erzeuger und Vernichter wären die des harmonischen Oszillators, aber dass eine Entwicklung der Form sinnvoll oder zulässig ist, bleibt völlig offen. Ich ziehe nicht in Zweifel, dass H wohldefiniert ist, ich sehe jedoch auch keine Möglichkeit, H ohne Rückgriff auf die Entwicklung um alpha=0 zu definieren. Bereits in dem von dir hergeleiteten Ausdruck ist unklar, ob und wie H selbstadjungiert geordnet werden kann - was ohnehin nicht eindeutig ist - und das macht mich stutzig.
index_razor	Verfasst am: 25. Mai 2020 22:55    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Das hast du doch alles so gemacht. Und dabei benötigst du an keiner Stelle und du musst noch nicht mal wissen, dass du später nach alpha entwickeln und einen freien Hamiltonoperator ableiten willst. index_razor hat Folgendes geschrieben: Dazu muß man also schon wissen, was ein geeignetes ist. Irgendwie habe ich anders gedacht. Ich habe die Rechnung einschließlich der Entwicklung nach alpha völlig ohne Vorausschau auf die Erzeuger und Vernichter durchgeführt, weil ich ja weiß, dass ich diese erst einführen kann, wenn ich die Entwicklung durchgeführt und so die Wurzel eliminiert habe. Ich muss sie doch aber nicht einführen. Muß man natürlich nicht. Aber das war doch die Aufgabe. Der Hamiltonoperator soll am Ende bis zum linearen Glied durch Erzeuger und Vernichter ausgedrückt werden. Und damit sind bestimmt Operatoren gemeint, die Eigenzustände von erzeugen oder vernichten. Zitat: index_razor hat Folgendes geschrieben: ... wenn man in der bekannten Weise nach Erzeugern und Vernichtern entwickelt (die widerum impliziert, daß es sich um ein freies Feld handelt.) Die Erzeuger und Vernichter kann ich auch einführen, wenn kein freies Feld vorliegt. Ja, kann man. Allerdings mit unbekannter Zeitabhängigkeit . Ich glaube wirklich nicht, daß das gemeint ist. Es wäre zumindest sehr ungewöhnlich. Und um ehrlich zu sein, wüßte ich nicht mal, wie man mit den Heisenbergoperatoren hier etwas vernünftiges herausbekommen sollte. Wenn du nicht freie Felder voraussetzt, wie lautet dann die Entwicklung von die man benötigt um durch Erzeuger und Vernichter auszudrücken? Das war die Frage, die ich mir selber gestellt habe und die mich erst stutzig gemacht hat. Zitat: Z.B. kann man die Gluonfelder der QCD durchaus kanonisch quantisieren, ohne dass es stört, dass sie nie wechselwirkungsfrei sind, und ohne je an alpha ~ 0 zu denken. Das einzige was man benötigt ist, dass keine Wurzeln u.ä. auftreten. Unter kanonischer Quantisierung verstehe ich auch nicht notwendigerweise das Diracbild. Aber das Diracbild verbinde ich mit Dies beschreibt nach meinem Verständnis ein freies masseloses Vektorfeld, da es die Gleichung (kein Quellterm) erfüllt. Zitat: Man kann die Erzeuger und Vernichter rein algebraisch immer einführen; sie sind kompatibel mit den Vertauschungsrelationen von phi und pi, mehr ist mathematisch nicht notwendig. Das bedeutet natürlich nicht, dass es immer physikalisch nützlich ist. Ich verstehe dein Problem irgendwie nicht ... Hm, ich wollte eigentlich nur die Aufgabe lösen. Wie würdest du das denn angehen? Zitat: Ich sehe jedoch ein anderes: ohne die Entwicklung in alpha kann ich H nicht normalordnen (renormieren wg. Power Counting ohnehin nicht), und bin meilenweit davon entfernt, zu verstehen, wie ich H selbstadjungiert formulieren soll. Das verstehe ich nun wieder nicht. Jeder Operator auf dem Fockraum hat eine normalgeordnete Darstellung. Also scheinst du hier in Zweifel zu ziehen, daß H überhaupt wohldefiniert ist. Renormierbar im engeren Sinne ist der Operator natürlich mit Sicherheit nicht.
TomS	Verfasst am: 25. Mai 2020 21:37    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: Was nicht immer gilt, ist der erforderliche Zusammenhang zwischen und , d.h. . Richtig, der gilt hier nicht. Stattdessen findet man index_razor hat Folgendes geschrieben: Dieser muß gelten, damit ich, zusammen mit den kanonischen Vertauschungsrelationen auf komme. Nee, wieso? Du setzt eliminierst die Zeitableitung aus der Legendre-Transformierten und erhältst den Hamiltonoperator. Zuletzt entwickelst du nach alpha. Das hast du doch alles so gemacht. Und dabei benötigst du an keiner Stelle und du musst noch nicht mal wissen, dass du später nach alpha entwickeln und einen freien Hamiltonoperator ableiten willst. index_razor hat Folgendes geschrieben: Dazu muß man also schon wissen, was ein geeignetes ist. Irgendwie habe ich anders gedacht. Ich habe die Rechnung einschließlich der Entwicklung nach alpha völlig ohne Vorausschau auf die Erzeuger und Vernichter durchgeführt, weil ich ja weiß, dass ich diese erst einführen kann, wenn ich die Entwicklung durchgeführt und so die Wurzel eliminiert habe. Ich muss sie doch aber nicht einführen. index_razor hat Folgendes geschrieben: ... wenn man in der bekannten Weise nach Erzeugern und Vernichtern entwickelt (die widerum impliziert, daß es sich um ein freies Feld handelt.) Die Erzeuger und Vernichter kann ich auch einführen, wenn kein freies Feld vorliegt. Z.B. kann man die Gluonfelder der QCD durchaus kanonisch quantisieren, ohne dass es stört, dass sie nie wechselwirkungsfrei sind, und ohne je an alpha ~ 0 zu denken. Das einzige was man benötigt ist, dass keine Wurzeln u.ä. auftreten. Man kann die Erzeuger und Vernichter rein algebraisch immer einführen; sie sind kompatibel mit den Vertauschungsrelationen von phi und pi, mehr ist mathematisch nicht notwendig. Das bedeutet natürlich nicht, dass es immer physikalisch nützlich ist. Ich verstehe dein Problem irgendwie nicht ... Ich sehe jedoch ein anderes: ohne die Entwicklung in alpha kann ich H nicht normalordnen (renormieren wg. Power Counting ohnehin nicht), und bin meilenweit davon entfernt, zu verstehen, wie ich H selbstadjungiert formulieren soll.
index_razor	Verfasst am: 25. Mai 2020 18:50    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Gerne. Der Rest ist klar: Feld und kanonisch konjugierter Impuls werden mittels Erzeuger und Vernichter bzgl. ebener Wellen dargestellt. Ich denke, das meinst du mit “... erfolgt die Zerlegung der Felder in Erzeuger und Vernichter auf Basis des freien Hamiltonians”. Was du mit “... die kanonischen Vertauschungsrelation beruhen ... was der gegebenen Lagrangefunktion zu widersprechen scheint” meinst, ist mir nicht klar. Die kanonischen Vertauschungsrelation gelten doch immer zwischen Feld und kanonisch konjugiertem Impuls, unabhängig von der Lagrangefunktion. Die Vertauschungsrelationen zwischen Feldern und deren kanonisch Konjugierten gelten natürlich immer. Was nicht immer gilt, ist der erforderliche Zusammenhang zwischen und , d.h. . Dieser muß gelten, damit ich, zusammen mit den kanonischen Vertauschungsrelationen auf komme. Er gilt aber nur für freie Felder, bzw. im Diracbild. Aus der Lagrangedichte folgt ja stattdessen Das meine ich mit dem "Widerspruch", der mich erst irritiert hatte. Das heißt man muß erst ins Diracbild transformieren und dann definieren mit anstelle des vollen Hamiltonians. Das ergibt und nicht die kanonisch konjugierte Variable aus (CC). Dazu muß man also schon wissen, was ein geeignetes ist. Das sieht man in diesem Fall erst nach der Entwicklung nach , deren Term nullter Ordnung gerade den Hamiltonian des masselosen freien Klein-Gordon-Feldes ergibt, welches bekanntlich die richtige Form (H0) liefert, wenn man in der bekannten Weise nach Erzeugern und Vernichtern entwickelt (die widerum impliziert, daß es sich um ein freies Feld handelt.)
TomS	Verfasst am: 25. Mai 2020 18:02    Titel: Re: Quantenfeldtheorie Hamiltonoperator durch a und a^(dagge Quantenloser hat Folgendes geschrieben: Für den zweiten Teil mit dem Alpha hab ich leider keine Idee, wie ich diesen geschickt ausrücken kann und wäre für jede Hilfe dankbar. Du setzt exakt den von index_razor angegeben Ausdruck für phi(x) und damit auch den für pi(x) in H_1 ein und berechnest alle Integrale in x, x’, ...; du erhältst im Wesentlichen delta-Funktionen sowie je Nabla einen Impuls p; damit bleiben Integrale in p, p’, ... über die Erzeuger und Vernichter stehen. Wenn du bereits im Zuge der Berechnung normalordnen darfst, sparst du dir Schreibarbeit. Und ja, das ist eine Sträflingsarbeit.
TomS	Verfasst am: 25. Mai 2020 17:54    Titel: Gerne. Der Rest ist klar: Feld und kanonisch konjugierter Impuls werden mittels Erzeuger und Vernichter bzgl. ebener Wellen dargestellt. Ich denke, das meinst du mit “... erfolgt die Zerlegung der Felder in Erzeuger und Vernichter auf Basis des freien Hamiltonians”. Was du mit “... die kanonischen Vertauschungsrelation beruhen ... was der gegebenen Lagrangefunktion zu widersprechen scheint” meinst, ist mir nicht klar. Die kanonischen Vertauschungsrelation gelten doch immer zwischen Feld und kanonisch konjugiertem Impuls, unabhängig von der Lagrangefunktion.
index_razor	Verfasst am: 25. Mai 2020 16:58    Titel: Re: Quantenfeldtheorie Hamiltonoperator durch a und a^(dagge TomS hat Folgendes geschrieben: Dein - ist korrekt, das + bei Quantenloser m.E. falsch. Aber ich erhalte ein 1/8, nicht 1/4. Ach stimmt, ich hatte am Ende das 1/2! von der Taylorreihe vergessen. Vielen Dank für's Nachrechnen. Zitat: Der Nabla kann nicht verschwinden, aber ich denke, das ist nur ein Schreibfehler. Ja, das hatte ich auch vermutet.
TomS	Verfasst am: 25. Mai 2020 16:52    Titel: Re: Quantenfeldtheorie Hamiltonoperator durch a und a^(dagge index_razor hat Folgendes geschrieben: Ich erhalte das selbe H sowie H_0, jedoch Dein - ist korrekt, das + bei Quantenloser m.E. falsch. Aber ich erhalte ein 1/8, nicht 1/4. Der Nabla kann nicht verschwinden, aber ich denke, das ist nur ein Schreibfehler.
index_razor	Verfasst am: 25. Mai 2020 12:06    Titel: Re: Quantenfeldtheorie Hamiltonoperator durch a und a^(dagge jh8979 hat Folgendes geschrieben: index_razor hat Folgendes geschrieben: Ehrlich gesagt finde ich das nicht gerade offensichtlich. Kannst du mal etwas ausführlicher erklären wie du darauf kommst? Wollte ich auch gerade schreiben Hat mich gerade zwei Anläufe gekostet. Sieht komisch aus, aber kommt anscheinend raus. Ja, das kommt tatsächlich raus. Siehe auch das editierte Ende meines vorigen Beitrages. Zitat: Zur Frage: Schreib das mal ordentlich auf: Fourier-Dekomposition der Felder, p-abhängige a/a^dagger, Fourier-Darstellung der Delta-Funktion,… Ist ein bisschen rumgeaste, aber relativ mechanisch... Der Fragesteller hatte ja die Idee einen Analogieschluß zur Klein-Gordon-Gleichung zu machen. Das finde ich eigentlich ganz schlau. Ein Punkt, über den ich dabei gestolpert bin, ist folgender. Der Zusammenhang zwischen der Form für ein freies masseloses Feld und der kanonischen Vertauschungsrelation beruht auf der Beziehung , was der gegebenen Lagrangefunktion zu widersprechen scheint. Aber natürlich erfolgt die Zerlegung der Felder in Erzeuger und Vernichter auf Basis des freien Hamiltonians. Man kann also argumentieren, daß einen geeigneten Hamiltonian für das freie skalare Feld definiert, weil er mit dem des masselosen Klein-Gordon-Feldes übereinstimmt, welches auf die korrekte Form (H0) führt, wenn man die kanonischen Vertauschungsrelationen für und fordert. Dann bleibt die Frage wie der Wechselwirkungsterm aussieht. Hier bekomme ich schon wieder etwas anderes heraus als der Fragesteller, nämlich Kann das jemand bestätigen oder berichtigen? Wenn dies richtig ist, kann man ab hier problemlos dem Vorschlag von jh8979 folgen und die Zerlegung verwenden, wobei durch die oben gerechtfertigte Analogie zum Klein-Gordon-Feld, und die Vertauschungsrelation erfüllen müssen.

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