 Verfasst am: 24. Apr 2020 13:40 Titel: |
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| So wie ich das sehe, sind unsere Lösungen im Prinzip unabhängig von den Startbedingungen und damit im Grunde identisch. Je nach Startbedingung muss der Startradius r0 in meiner Lösung bzw. der Parameter L0 in deiner Lösung einfach entsprechend gewählt werden. Starten die Ameisen z.B. an den Ecken des Quadrats ist r0 = L0/sqrt(2) und ich erhalte dein Ergebnis. | |
| Verfasst am: 24. Apr 2020 09:20 Titel: |
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| Ich komme mit meinem Ansatz auf eine ähnliche Lösung. Der Unterschied besteht lediglich darin, dass ich die Ameisen von den Ecken des Quadrates starten lasse und nicht von der Mitte der Kanten. (FPhysik sollte nochmal klarstellen, wo die Startpunkte tatsächlich liegen sollen.) Damit kann ich die Gleichung für die Kantenlänge des Quadrates sofort hinschreiben Für die Winkelgeschwindigkeit gilt und die Integration ergibt den Winkel wobei Das ergibt die Bewegungsgleichungen Das Ergebnis sieht dann so aus: |
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| Verfasst am: 23. Apr 2020 18:38 Titel: |
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| Ok, 2. Versuch: Im obigen Ansatz war noch der Fehler, dass zwar die Richtung von v zwar richtig war, aber noch nicht der Betrag. Laut Aufgabenstellung ist die Geschwindigkeit stets konstant, man muss im oben Ansatz also v noch normieren. Man erhält: v = [-x -y; x-y] / sqrt(2x² + 2y²) *v0 [a;b] soll hierbei die Schreibweise für einen Vektor mit den Elementen a und b sein und v0 der Betrag der (konstanten) Geschwindigkeit. Setzt man x = r*cos(phi) und y = r*sin(phi) ein, dann kürzt sich r weg und man erhält die Geschwindigkeit in Polarkoordinaten: v = v0/sqrt(2) [-cos(phi) - sin(phi); cos(phi) - sin(phi)] Dies muss gleich der zeitlichen Ableitung der Bahnposition [r*cos(phi); r*sin(phi)] sein. Wir leiten also ab und setzen dies komponentenweise mit dem Ausdruck für v gleich. Es folgt: (Ich mach mal mit dem Formeleditor weiter) Da diese Gleichungen für beliebige Winkel phi gelten müssen, müssen die Koeffizienten von sin und cos jeweils identisch sein. Es gilt also: und Mit der Anfangsbedingung r(0) = r0 folgt: Sowie: Ich denke, so müsste es passen. Viele Grüße, Nils Edit: Sieht ganz vernünftig aus: |
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| Verfasst am: 23. Apr 2020 16:51 Titel: |
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Ja, ich hatte im Ansatz ohne Einheiten gerechnet, um erstmal den prinzipiellen funktionalen Zusammenhang zu erkennen. Das rächt sich jetzt natürlich im Endergebnis, da mir jetzt ein paar Umrechnungsfaktoren fehlen. Wenn ich Zeit habe, gucke ich nochmal drüber. Bis dahin ziehe ich meine Antwort wieder zurück. |
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| Verfasst am: 23. Apr 2020 16:34 Titel: |
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Damit hab' ich Probleme. Ist t denn ein Winkel? Und wie groß ist |
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| Verfasst am: 23. Apr 2020 16:25 Titel: |
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| Ich komme mit meinem Ansatz von oben auf: Kann das jemand bestätigen? |
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| Verfasst am: 23. Apr 2020 15:54 Titel: Re: Dynamik von Massepunkten |
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Wenn 0/0 die Mitte des Quadrats ist, dann würde das bedeuten, dass A in der Mitte einer Kante und B auf einer Ecke sitzt. Wo sitzen dann die anderen beiden Ameisen? Wenn stattdessen alle Ameisen auf den Ecken starten sollen, dann bleiben sie während der gesamten Bewegung auf einem Quadrat, das sich ständig verkleinert und dabei dreht. Du könntest also Gleichungen für die Änderung der Kantenlänge und des Winkels ermitteln und mit dem Ergebnis Bewegungsgleichungen für die Ecke berechnen. |
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| Verfasst am: 23. Apr 2020 15:30 Titel: |
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| Wie wäre es mit folgendem Ansatz: Angenommen Ameise 1 hat die Koordinaten r=(x,y), so hat die Nachbarameise im Quadrant nebenan aus Symmetriegründen die Koordinaten r2 = (-y,x). Dies entspricht einer Drehung um 90°. Wenn Ameise 1 auf die Ameise 2 zuläuft, ist der Geschwindigkeitsvektor: v = r2 - r = (-x-y, x-y) (ohne Einheiten) Die Bewegungsgleichung lautet also: dr/dt = v bzw. dx/dt = -x - y dy/dt = x - y Oder als Matrix geschrieben: Die formale Lösung wäre also: r(t) = e^(A*t) b mit einem konstanten Vektor b. Hilft das erstmal weiter? Viele Grüße, Nils |
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| Verfasst am: 23. Apr 2020 14:54 Titel: Dynamik von Massepunkten |
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| Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Aufgabe zu lösen: 4 Ameisen sitzen auf einem Quadrat mit den Kantenlängen 20cm (z.B. A sitzt auf Punkt 10/0 & B auf 10/10 usw.) Sie bewegen sich mit Geschwindigkeit v=1 cm/s. Die Ameisen bewegen sich nun jeweils zu ihrem Nachbarn (gegen Uhrzeigersinn). Man soll die Bahnkurven für die Ameisen berechnen, sowie die Dauer, bis sie sich treffen. Meine Ideen: Mein Ansatz ist bisher, dass es sich um eine logarithmische Spirale handelt und die Ameisen sich im Mittelpunkt treffen werden. Allerdings fehlt mir der weitere Weg. Über Hilfe würde ich mich freuen. Viele Grüße  |
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