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Qubit	Verfasst am: 24. März 2020 12:07    Titel: hshl hat Folgendes geschrieben: Oder ich unterteile den Stab in Abschnitte und berechnet den Drehimpuls für jeden Abschnitt (r zeigt dabei auf den Schwerpunkt des jeweiligen Stababschnittes). Ja, du kannst das auch algebraisch angehen, indem du den Stab in n gleiche Massenelemente zerlegt denkst und dann davon das k. Massenelement betrachtest: mit Für festes n: Für gleiches Massenelement, zB. n-tes (n>>1):
index_razor	Verfasst am: 24. März 2020 07:58    Titel: hshl hat Folgendes geschrieben: Mein (ursprünglicher) Ansatz war, dass ich den Radius r auf jeden Masse-Punkt des Stabes zeigen lasse und dann den Drehimpuls L berechne. Der Stab ist ja ein Kontinuum mit gleichverteilter Massendichte . Ein einzelner Punkt hat also keinen Drehimpuls, sondern nur eine Drehimpulsdichte Als Verteilung bezeichnet man normalerweise die Stammfunktion der Dichte , die in diesem Fall mit der Zusatzbedingung eindeutig wird. Zitat: Oder ich unterteile den Stab in Abschnitte und berechnet den Drehimpuls für jeden Abschnitt. Dann müsste ich eine ähnliche Aussage wie nachstehendes bekommen: Qubit hat Folgendes geschrieben: Was aber aus dem "Verteilungsansatz" klar wird, ist, dass die zweite halbe Stange mit Länge l/2 und Masse m/2 7/8 zum Drehimpuls beiträgt. Die erste halbe Stange mit Länge l/2 und Masse m/2 dagegen nur 1/8. Also wäre die Formel von index-razor für die Darstellung der Dreimpulsverteilung haranzuziehen, Ja, das das kommt auf dasselbe raus. Ein einzelner Abschnitt, dessen Länge viel kleiner ist, als der Stab, hat den Drehimpuls (weil die Masse dieses Abschnitts ist.) Wenn du das summierst und den Granzfall betrachtest landest du also beim Integral über .
hshl	Verfasst am: 24. März 2020 07:42    Titel: Hallo und danke nochmal für Eure Infos. Das ist ja komplizierter als ich erst dachte.... Mein (ursprünglicher) Ansatz war, dass ich den Radius r auf jeden Masse-Punkt des Stabes zeigen lasse und dann den Drehimpuls L berechne. Oder ich unterteile den Stab in Abschnitte und berechnet den Drehimpuls für jeden Abschnitt (r zeigt dabei auf den Schwerpunkt des jeweiligen Stababschnittes). Dann müsste ich eine ähnliche Aussage wie die von Qubit bekommen: Qubit hat Folgendes geschrieben: Was aber aus dem "Verteilungsansatz" klar wird, ist, dass die zweite halbe Stange mit Länge l/2 und Masse m/2 7/8 zum Drehimpuls beiträgt. Die erste halbe Stange mit Länge l/2 und Masse m/2 dagegen nur 1/8. Also wäre die Formel von index-razor für die Darstellung der Drehimpulsverteilung heranzuziehen, wenn ich das richtig sehen ?!
hshl	Verfasst am: 24. März 2020 07:41    Titel: hshl hat Folgendes geschrieben: Hallo und danke nochmal für Eure Infos. Das ist ja komplizierter als ich erst dachte.... Mein (ursprünglicher) Ansatz war, dass ich den Radius r auf jeden Masse-Punkt des Stabes zeigen lasse und dann den Drehimpuls L berechne. Oder ich unterteile den Stab in Abschnitte und berechnet den Drehimpuls für jeden Abschnitt. Dann müsste ich eine ähnliche Aussage wie die von Qubit bekommen: Qubit hat Folgendes geschrieben: Was aber aus dem "Verteilungsansatz" klar wird, ist, dass die zweite halbe Stange mit Länge l/2 und Masse m/2 7/8 zum Drehimpuls beiträgt. Die erste halbe Stange mit Länge l/2 und Masse m/2 dagegen nur 1/8. Also wäre die Formel von index-razor für die Darstellung der Dreimpulsverteilung haranzuziehen, wenn ich das richtig sehen ?!
hshl	Verfasst am: 24. März 2020 07:40    Titel: Hallo und danke nochmal für Eure Infos. Das ist ja komplizierter als ich erst dachte.... Mein (ursprünglicher) Ansatz war, dass ich den Radius r auf jeden Masse-Punkt des Stabes zeigen lasse und dann den Drehimpuls L berechne. Oder ich unterteile den Stab in Abschnitte und berechnet den Drehimpuls für jeden Abschnitt. Dann müsste ich eine ähnliche Aussage wie nachstehendes bekommen: Qubit hat Folgendes geschrieben: Was aber aus dem "Verteilungsansatz" klar wird, ist, dass die zweite halbe Stange mit Länge l/2 und Masse m/2 7/8 zum Drehimpuls beiträgt. Die erste halbe Stange mit Länge l/2 und Masse m/2 dagegen nur 1/8. Also wäre die Formel von index-razor für die Darstellung der Dreimpulsverteilung haranzuziehen, wenn ich das richtig sehen ?!
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 21. März 2020 18:53    Titel: Ja könnte sein. Andererseits schreibt er weiter unten, dass die Summe über alle dL einen parabelförmigen Verlauf ergibt... Naja egal, er hat sich anscheinend sowieso schon der Diskussion verabschiedet.
index_razor	Verfasst am: 21. März 2020 18:34    Titel: Das hat er doch weiter oben schon getan. hshl hat Folgendes geschrieben: Nils hat Folgendes geschrieben: 2. Einen Stab kann als Ansammlung von hintereinander liegenden infinitesimalen Punktmassen dm auffassen. Falls der Stab dann um eines seiner Ende rotiert, hat dann jede einzelne Punktmasse im Abstand r vom Drehzentrum den infinitesimalen Drehimpuls dL = dm*w*r². War es das was du gemeint hast? Ja, genau das habe ich gemeint. Ich fasse den Stab gerne als Menge aller aneinandergereihter Punktmassen auf. Das dL definiert eine Drehimpulsliniendichte, also auch eine zugehörige Verteilung.
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 21. März 2020 18:15    Titel: Jetzt wäre eigentlich mal eine gute Gelegenheit vom Fragesteller aufzuklären, welche der hier diskutierten Varianten denn jetzt gemeint war?
TomS	Verfasst am: 21. März 2020 16:22    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: Mathefix hat Folgendes geschrieben: Wie Nils bereits anmerkte, ist die Skizze falsch. Ein Stab hat einen Drehimpuls. L = f(r) besagt, dass Stäbe verschiedener Länge bei gleichem omega unterschiedliche Drehimpulse haben. Nein, die Verteilung des Drehimpulses entlang des Stabes der Länge L wäre die Funktion für . (Siehe z.B. auch die Begriffe der "Wahrscheinlichkeitsverteilung", "Massenverteilung" etc. die man völlig analog für alle additiven Größen definieren kann.) Das ergibt mit konstanter Massenliniendichte für den einen Stab. Bei ist also genau wie von Qubit behauptet. (Die Skizze ist allerdings trotzdem falsch.) Bingo. Der Unterschied zu meiner Idee ist, dass index_razor korrekterweise die Drehimpulsverteilung betrachtet, während ich die Drehimpulsdichte f(r) betrachtet habe. Die Grundidee bzgl. der Aufgabenstellung sollte klar sein, und ja, die Skizze ist falsch.
index_razor	Verfasst am: 21. März 2020 15:29    Titel: Mathefix hat Folgendes geschrieben: Wie Nils bereits anmerkte, ist die Skizze falsch. Ein Stab hat einen Drehimpuls. L = f(r) besagt, dass Stäbe verschiedener Länge bei gleichem omega unterschiedliche Drehimpulse haben. Nein, die Verteilung des Drehimpulses entlang des Stabes der Länge L wäre die Funktion für . (Siehe z.B. auch die Begriffe der "Wahrscheinlichkeitsverteilung", "Massenverteilung" etc. die man völlig analog für alle additiven Größen definieren kann.) Das ergibt mit konstanter Massenliniendichte für den einen Stab. Bei ist also genau wie von Qubit behauptet. (Die Skizze ist allerdings trotzdem falsch.)
Qubit	Verfasst am: 21. März 2020 15:25    Titel: Mathefix hat Folgendes geschrieben: Qubit hat Folgendes geschrieben: TomS hat Folgendes geschrieben: Sehe ich nicht so, in der Skizze steht im wesentlichen das selbe. Ich habe das x lediglich eingeführt, dass der Integrand die Dimension eines Drehimpulses hat. So hatte ich mir das schon zu Beginn vorgestellt. Naja, m und r sind schon globale Eigenschaften des Körpers, das scheint in der Skizze anders gemeint zu sein. Was aber aus dem "Verteilungsansatz" klar wird, ist, dass die zweite halbe Stange mit Länge l/2 und Masse m/2 7/8 zum Drehimpuls beiträgt. Die erste halbe Stange mit Länge l/2 und Masse m/2 dagegen nur 1/8. Das gleiche Ergebnis erhält man auch, wenn man so zwei getrennte Stangen mit Länge l/2 und Masse m/2 an diesen Orten betrachtet. Wie Nils bereits anmerkte, ist die Skizze falsch. Ein Stab hat einen Drehimpuls. L = f(r) besagt, dass Stäbe verschiedener Länge bei gleichem omega unterschiedliche Drehimpulse haben. Ja, okay. Mir ging es um die Beiträge gleicher Stäbe gleicher Winkelgeschwindigkeit zum Gesamtimpuls (in Abhängigkeit von r).
Mathefix	Verfasst am: 21. März 2020 14:46    Titel: Qubit hat Folgendes geschrieben: TomS hat Folgendes geschrieben: Sehe ich nicht so, in der Skizze steht im wesentlichen das selbe. Ich habe das x lediglich eingeführt, dass der Integrand die Dimension eines Drehimpulses hat. So hatte ich mir das schon zu Beginn vorgestellt. Naja, m und r sind schon globale Eigenschaften des Körpers, das scheint in der Skizze anders gemeint zu sein. Was aber aus dem "Verteilungsansatz" klar wird, ist, dass die zweite halbe Stange mit Länge l/2 und Masse m/2 7/8 zum Drehimpuls beiträgt. Die erste halbe Stange mit Länge l/2 und Masse m/2 dagegen nur 1/8. Das gleiche Ergebnis erhält man auch, wenn man so zwei getrennte Stangen mit Länge l/2 und Masse m/2 an diesen Orten betrachtet. Wie Nils bereits anmerkte, ist die Skizze falsch. Ein Stab hat einen Drehimpuls. L = f(r) besagt, dass Stäbe verschiedener Länge bei gleichem omega unterschiedliche Drehimpulse haben.
TomS	Verfasst am: 20. März 2020 21:16    Titel: Woher soll ich das alles wissen? Ist ja nicht meine Skizze.
Qubit	Verfasst am: 20. März 2020 15:01    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Sehe ich nicht so, in der Skizze steht im wesentlichen das selbe. Ich habe das x lediglich eingeführt, dass der Integrand die Dimension eines Drehimpulses hat. So hatte ich mir das schon zu Beginn vorgestellt. Naja, m und r sind schon globale Eigenschaften des Körpers, das scheint in der Skizze anders gemeint zu sein. Was aber aus dem "Verteilungsansatz" klar wird, ist, dass die zweite halbe Stange mit Länge l/2 und Masse m/2 7/8 zum Drehimpuls beiträgt. Die erste halbe Stange mit Länge l/2 und Masse m/2 dagegen nur 1/8. Das gleiche Ergebnis erhält man auch, wenn man so zwei getrennte Stangen mit Länge l/2 und Masse m/2 an diesen Orten betrachtet.
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 20. März 2020 14:50    Titel: In der Skizze steht doch die Formel L = m*w*r². Wenn das wirklich der Integrand des Linienintegrals sein soll, dann müsste ja m = rho*A sein. Im Text steht aber: "Ein Stab mit der gleichförmigen Masse m wird um sein eines Ende rotiert." Das passt also zumindest nicht ganz zusammen.
TomS	Verfasst am: 20. März 2020 14:04    Titel: Sehe ich nicht so, in der Skizze steht im wesentlichen das selbe. Ich habe das x lediglich eingeführt, dass der Integrand die Dimension eines Drehimpulses hat. So hatte ich mir das schon zu Beginn vorgestellt.
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 20. März 2020 12:38    Titel: Wenn man so schreibt ja, aber ich hab da so meine Zweifel, ob das tatsächlich so gemeint war. Die Skizze und die daneben stehende Formel legt ja die Funktion L(r) = m*r*w² nahe, was ja wohl was anderes ist.
TomS	Verfasst am: 20. März 2020 12:22    Titel: Man kann schon von einer „Verteilung des Drehimpulses“ entlang des Stabes sprechen. Dazu schreibt man mittels Substitution als mit Der Integrand hat die Dimension eines Drehimpulses.
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 20. März 2020 11:43    Titel: Dass deine Skizze und die Annahme einer "Verteilung des Drehimpulses" keinen Sinn ergibt, hast du mitbekommen?
hshl	Verfasst am: 20. März 2020 11:15    Titel: Mathefix hat Folgendes geschrieben: Du erhältst das gleiche Ergebnis ohne Integralrechnung mit dem Satz von Steiner Danke.
Mathefix	Verfasst am: 20. März 2020 10:49    Titel: hshl hat Folgendes geschrieben: Hallo, Nils hat Folgendes geschrieben: 2. Einen Stab kann als Ansammlung von hintereinander liegenden infinitesimalen Punktmassen dm auffassen. Falls der Stab dann um eines seiner Ende rotiert, hat dann jede einzelne Punktmasse im Abstand r vom Drehzentrum den infinitesimalen Drehimpuls dL = dm*w*r². War es das was du gemeint hast? Ja, genau das habe ich gemeint. Ich fasse den Stab gerne als Menge aller aneinandergereihter Punktmassen auf. Nils hat Folgendes geschrieben: 3. Betrachtet man den Stab als Ganzes muss man die Einzeldrehimulse von Punkt 2. alle addieren. Mathematisch führt das auf das Integral von Mathefix und man erhält: L = 1/3*M*R²*w Das Ingetral berechnet ja den "Flächeninhalt" des Drehimpulses über die Stablänge (wenn vom Stabanfang bis -ende integriert wurde), also die Summe aller Einzeldrehimpulse dL, wie Nils schreibt. Soweit ist alles klar. Mein Frage betrifft die (Form der) Verteilung (!) des Drehimpulses über den Stab. Wenn ich also alle Einzeldrehimpulse dL addiere, erhalte ich aufgrund der r²- Beziehung (die ja auch bei der Integration erhalten bleibt) einen paralbelförmigen Anstieg des Drehimpulses über die Stablänge (so wie ich skizziert habe). Nur dessen wollte ich mich vergewissern. TomS hat Folgendes geschrieben: Eine Verteilung des Drehimpulses entspräche dann dem Integranden in r-Richtung, nach Integration über den Querschnitt. Danke für Euren Input. Du erhältst das gleiche Ergebnis ohne Integralrechnung mit dem Satz von Steiner: I_s = Massenträgheitsmoment bezogen auf den Schwerpunkt. I = Massenträgheitsmoment bezogen auf die Rotationsachse
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 20. März 2020 09:42    Titel: hshl hat Folgendes geschrieben: Mein Frage betrifft die (Form der) Verteilung (!) des Drehimpulses über den Stab. Wenn ich also alle Einzeldrehimpulse dL addiere, erhalte ich aufgrund der r²- Beziehung (die ja auch bei der Integration erhalten bleibt) einen paralbelförmigen Anstieg des Drehimpulses über die Stablänge (so wie ich skizziert habe). Wenn man alle Einzeldrehimpuls addiert, erhält man natürlich überhaupt keine Verteilung mehr, sondern nur eine einzige Zahl.
hshl	Verfasst am: 20. März 2020 08:28    Titel: Hallo, Nils hat Folgendes geschrieben: 2. Einen Stab kann als Ansammlung von hintereinander liegenden infinitesimalen Punktmassen dm auffassen. Falls der Stab dann um eines seiner Ende rotiert, hat dann jede einzelne Punktmasse im Abstand r vom Drehzentrum den infinitesimalen Drehimpuls dL = dm*w*r². War es das was du gemeint hast? Ja, genau das habe ich gemeint. Ich fasse den Stab gerne als Menge aller aneinandergereihter Punktmassen auf. Nils hat Folgendes geschrieben: 3. Betrachtet man den Stab als Ganzes muss man die Einzeldrehimulse von Punkt 2. alle addieren. Mathematisch führt das auf das Integral von Mathefix und man erhält: L = 1/3*M*R²*w Das Ingetral berechnet ja den "Flächeninhalt" des Drehimpulses über die Stablänge (wenn vom Stabanfang bis -ende integriert wurde), also die Summe aller Einzeldrehimpulse dL, wie Nils schreibt. Soweit ist alles klar. Mein Frage betrifft die (Form der) Verteilung (!) des Drehimpulses über den Stab. Wenn ich also alle Einzeldrehimpulse dL addiere, erhalte ich aufgrund der r²- Beziehung (die ja auch bei der Integration erhalten bleibt) einen paralbelförmigen Anstieg des Drehimpulses über die Stablänge (so wie ich skizziert habe). Nur dessen wollte ich mich vergewissern. TomS hat Folgendes geschrieben: Eine Verteilung des Drehimpulses entspräche dann dem Integranden in r-Richtung, nach Integration über den Querschnitt. Danke für Euren Input.
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 19. März 2020 18:20    Titel: hshl hat Folgendes geschrieben: Der Term mr² entspricht doch dem Trägheitsmoment, wenn der Stab um sein Ende rotiert wird, oder nicht ? Ich habe auch eine Skizze meinen beiden vorangegangenen Posts beigefügt (und diesem Post auch), welche die Situation aufzeigt - bitte anschauen. Ich glaube, hier geht ein bisschen was durcheinander. Vielleicht mal zur Klärung: 1. L = mwr² ist der Drehimpuls einer punktförmigen Masse m, die mit der Winkelgeschwindigkeit w einen Kreis mit Radius r durchläuft. 2. Einen Stab kann als Ansammlung von hintereinander liegenden infinitesimalen Punktmassen dm auffassen. Falls der Stab dann um eines seiner Ende rotiert, hat dann jede einzelne Punktmasse im Abstand r vom Drehzentrum den infinitesimalen Drehimpuls dL = dm*w*r². War es das was du gemeint hast? 3. Betrachtet man den Stab als Ganzes muss man die Einzeldrehimulse von Punkt 2. alle addieren. Mathematisch führt das auf das Integral von Mathefix und man erhält: L = 1/3*M*R²*w Hierbei bezeichnen M und R die Masse und die Länge des Stabes. Nils
Mathefix	Verfasst am: 19. März 2020 13:39    Titel: hshl hat Folgendes geschrieben: Hallo, hshl hat Folgendes geschrieben: ein Stab mit der gleichförmigen Masse m wird um sein eines Ende rotiert. Der Term mr² entspricht doch dem Trägheitsmoment, wenn der Stab um sein Ende rotiert wird, oder nicht ? Ich habe auch eine Skizze meinen beiden vorangegangenen Posts beigefügt (und diesem Post auch), welche die Situation aufzeigt - bitte anschauen. Also: ich meine, dass der Verlauf des Drehimpulses über die Länge des Stabes parabelförmig zunehmen müsste (wegen der Beziehung dL = dm*r²*w, da r im Quadrat zunimmt). Da ich mir aber nicht 100%ig sicher bin, meine Nachfrage hier im Board. Danke soweit. ⁸ Für einen dünnen Stab gilt Alles klar?
hshl	Verfasst am: 19. März 2020 13:15    Titel: Hallo, hshl hat Folgendes geschrieben: ein Stab mit der gleichförmigen Masse m wird um sein eines Ende rotiert. Der Term mr² entspricht doch dem Trägheitsmoment, wenn der Stab um sein Ende rotiert wird, oder nicht ? Ich habe auch eine Skizze meinen beiden vorangegangenen Posts beigefügt (und diesem Post auch), welche die Situation aufzeigt - bitte anschauen. Also: ich meine, dass der Verlauf des Drehimpulses über die Länge des Stabes parabelförmig zunehmen müsste (wegen der Beziehung dL = dm*r²*w, da r im Quadrat zunimmt). Da ich mir aber nicht 100%ig sicher bin, meine Nachfrage hier im Board. Danke soweit.
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 19. März 2020 12:19    Titel: Ja, das wäre natürlich besser. Bin aber auch nicht 100%ig sicher was gemeint war. Vielleicht kommt ja nochmal eine Rückmeldung.
Mathefix	Verfasst am: 19. März 2020 12:09    Titel: Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: Ich glaube, hshl meint den Drehimpuls eines Masselements an der Position r. In dem Fall, stimmt die angegebene Formel. Hätte er dann nicht schreiben müssen?
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 19. März 2020 11:30    Titel: Ich glaube, hshl meint den Drehimpuls eines Masselements an der Position r. In dem Fall, stimmt die angegebene Formel.
Mathefix	Verfasst am: 19. März 2020 10:22    Titel: In Deiner Formel stimmt das Massenträgheitsmoment nicht. Richtig ist bei einem dünnen Stab
hshl	Verfasst am: 19. März 2020 08:55    Titel: Danke, und ja, der Term m r² entspricht dem Trägheitsmoment. Die Integration müsste meines Erachtens die parabelförmige Verteilung ergeben, die ich grafisch im Bild zeige ... ?!
TomS	Verfasst am: 19. März 2020 08:43    Titel: Der Drehimpuls eines starren Körpers folgt aus der Berechnung der Trägheitsmomente; in diese geht die Massendichte ein. Eine Verteilung des Drehimpulses entspräche dann dem Integranden in r-Richtung, nach Integration über den Querschnitt.
hshl	Verfasst am: 19. März 2020 08:22    Titel: Verteilung des Drehimpulses bei einem rotierenden Stab Hallo, ein Stab mit der gleichförmigen Masse m wird um sein eines Ende rotiert. Wie verteilt sich der Drehimpuls entlang des Stabes ? Die Formel L = m * r² * w legt eine parabelförmige Verteilung nahe (siehe beigefügtes Bild). Ist das richtig ? Danke !

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