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Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 26. Jan 2020 14:04    Titel: Myon hat Folgendes geschrieben: @Mathefix: Sorry, ich sehe nach wie vor nicht, was Du nun bewiesen hast. Dass die in Schritt 2 („Integration“) genannte Gleichung für die beim Hebevorgang von der Auftriebskraft geleistete Arbeit (die übrigens posititv ist) gilt, soll doch genau gezeigt werden. Vielleicht kann ja sonst noch jemand Klarheit schaffen, denn mich würde eine Herleitung interessieren. Ich kann die Begründung von Mathefix leider auch nicht ganz nachvollziehen (insbesondere ist in meinem Schritt 4 die Halbkugel ja bereits aus dem Wasser - hier gibt es also gar keinen Auftrieb mehr). Aber ich denke die folgende Überlegung ist ganz hilfreich: Sei V das Volumen unter der Wasserlinie eines beliebigen Körpers, r die Eintauchtiefe, A(z) die horizontale Querschnittsfläche an der Stelle z (gemessen vom tiefsten Punkt des Körpers) und V(z) das Teilvolumen bis z. Beim Heben des Körpers wird dann die folgende Auftriebsarbeit frei Wir vertauschen die Reihenfolge der Integration und erhalten: Schauen wir uns das letzte Integral an. ist die Arbeit, die benötigt wird um die horizontale Flüssigkeitslamelle von der Stelle an die Oberfläche zu bringen. Die Integration über alle Lamellen ergibt also die Arbeit, die nötig ist, um ein Volumen V, das mit Wasser gefüllt ist, nach oben "leerzupumpen". Um diese Arbeit zu berechnen, kann man sich auch umgekehrt vorstellen, dass man ein Loch mit Volumen V von oberen Rand aus mit Wasser befüllt. Wie bereits weiter oben geschrieben, kann man sich dafür modellhaft vorstellen, dass man zuerst jedes Wassermolekül zum Schwerpunkt bringt und dann in dem Volumen verteilt. Macht man das für alle Moleküle, ergibt der erste Anteil die Arbeit m*g*sz (sz sei die Tiefe des Schwerpunkts, m die Gesamtmasse des Wassers). Der zweite Anteil ergibt exakt die Nettoarbeit Null, da man ja vom Schwerpunkt aus startet und sich daher positive und negative Arbeitsaufwände exakt kompensieren. Folglich ist die Auftriebsarbeit: Hier ist m die Gesamtmasse der verdrängten Flüssigkeit. Wie Frankx bereits bemerkt hat, ist dies die allgemeine Formel, die für beliebe homogene Körper und beliebige Eintauchtiefen gilt. Ist echt schön wie sich alles am Ende in Wohlgefallen auflöst... Viele Grüße, Nils ------------- EDIT: Oh Mann, manchmal sieht man echt den Wald vor lauter Bäumen nicht. Das obige Integral ist ja bereist der Schwerpunkt (mal m*g). Das heißt, hier ist man bereits fertig.
Myon	Verfasst am: 26. Jan 2020 13:38    Titel: OK, hatte ich eben auch gerade gesehen und war am Editieren meines Beitrags. Etwas rätselhaft ist für mich immer noch, dass eigentlich für einen beliebigen Körper die obige 3. Gleichung in meinem Betrag gelten müsste, was offensichtlich nicht der Fall ist.
Mathefix	Verfasst am: 26. Jan 2020 13:31    Titel: Frankx hat Folgendes geschrieben: Zitat: Die Verallgemeinerung auf Körper mit varierendem Querschnitt und Spiegelsymmetrie bezüglich einer mittleren Ebene folgt aber m.E. nicht ohne weiteres. ... Jeder beliebige Körper lässt sich in Quader mit inkremental kleiner Grundfläche und einer dem Körper an dieser Position entsprechender Höhe zerlegen. So sehe ich das auch. Macht man in jeder entsprechenden Statikaufgabe.
Frankx	Verfasst am: 26. Jan 2020 13:27    Titel: Zitat: Die Verallgemeinerung auf Körper mit varierendem Querschnitt und Spiegelsymmetrie bezüglich einer mittleren Ebene folgt aber m.E. nicht ohne weiteres. Wieso nicht. Wenn der Quader erst mal komplett im Wasser ist, dann ist die Auftriebskraft für alle größeren Tiefen konstant. Für die Auftriebsarbeit ergibt sich dann nur ein zusätzlicher Summand: rhow*g*V*z z=zusätzlicher Verschiebeweg des Schwerpunktes Also bleibt es dabei, dass die Auftriebsarbeit für den Quader linear mit der zusätzlichen Tiefe steigt. Jeder beliebige Körper lässt sich in Quader mit inkremental kleiner Grundfläche und einer dem Körper an dieser Position entsprechender Höhe zerlegen. .
Myon	Verfasst am: 26. Jan 2020 13:14    Titel: Dass die Gleichung mit dem Schwerpunkt für einen quaderförmigen (oder jeden Körper mit konstant verlaufendem Querschnitt) gilt, ist klar und folgt auch mathematisch sofort, siehe meinen obigen Beitrag. Jetzt sehe ich auch, dass daraus die Behauptung für beliebige Körper mit Spiegelsymmetrie bezüglich einer mittleren Ebene folgt, da man jeden solchen Körper aus Quadern zusammensetzen kann (allenfalls bestehen die Quader aus zwei nicht verbundenen Hälften im oberen und unteren Teil des Körpers). Mathematisch muss man also für diese Körper einfach über diese infinitesimalen Quader integrieren. Soweit demzufolge alles i.O.
Frankx	Verfasst am: 26. Jan 2020 13:06    Titel: Zitat: Das Zitat von Nils für einen speziellen Vorgang in seinem anschaulichen Beweis hat doch nichts mit der Herleitung hier zu tun, jedenfalls sehe ich den Zusammenhang nicht. Die reine Hubarbeit ist trivial und soll vorerst nicht weiter betrachtet werden. Die Auftriebsarbeit für einen masselosen geradeso untergetauchten Quader (Oberkante Quader berührt Wasseroberfläche) lässt sich als Integral der linear steigenden Auftriebskraft über den Eintauchweg h von 0 bis h1 darstellen. h1=Quaderhöhe h=Eintauchtiefe Nach Integration und Einsetzen der Grenzen erhält man: Wa=rhow*g*A*h1²/2 Wa=Auftriebsarbeit rhow=Dichte Wasser A=Grundfläche Quader der Term A*h1²/2 lässt sich darstellen als V*h1/2 V=Quadervolumen und h1/2 ist die Abstand des Schwerpunktes zur Wasseroberfläche. Nun könnte man jeden beliebigen (Hohl-)Körper in winzige Quader zerlegen und über alle Quader integrieren. Dabei ergibt sich letztlich, das die Auftriebsarbeit vom Volumen des untergetauchten Gesamtkörpers und der Position des Gesamtschwerpunktes des untergetauchten Körpers abhängig ist. .
Myon	Verfasst am: 26. Jan 2020 12:31    Titel: @Mathefix: Sorry, ich sehe nach wie vor nicht, was Du nun bewiesen hast. Dass die in Schritt 2 („Integration“) genannte Gleichung für die beim Hebevorgang von der Auftriebskraft geleistete Arbeit (die übrigens posititv ist) gilt, soll doch genau gezeigt werden. Vielleicht kann ja sonst noch jemand Klarheit schaffen, denn mich würde eine Herleitung interessieren. PS: Das Zitat von Nils für einen speziellen Vorgang in seinem anschaulichen Beweis hat doch nichts mit der Herleitung hier zu tun, jedenfalls sehe ich den Zusammenhang nicht.
Mathefix	Verfasst am: 26. Jan 2020 12:03    Titel: Myon hat Folgendes geschrieben: @Mathefix: Ich sehe nicht, was Du nun gezeigt oder bewiesen hast, denn Du bist ja von der Gleichung ausgegangen, die gezeigt werden soll. Wahrscheinlich entgeht mir etwas. Ich habe gezeigt, dass allgemein der Schwerpunktansatz zu dem gleichen Ergebnis führt wie die Integration. Nichts anderes hat Nils auf anderem Weg gezeigt. Zitat Nils: Schritt 4: Jetzt müssen wir nur noch die ursprüngliche Kugel wieder zusammenbauen. Um dies zu erreichen, drehen wir die untere Kugelhälfte ohne Arbeit verrichten zu müssen um 180° um ihren Schwerpunkt S (siehe Zeichnung) und heben sie anschließend solange nach oben bis sie die obere Hälfte berührt. Bezeichnen wir mit zs den Abstand des Schwerpunktes der Kugelhälfte zum Mittelpunkt der Kugel, so ist der dabei zurück gelegte Weg gleich r-2*zs. Ich bin von der einfachen Überlegung ausgegangen, dass die aus den infinitesimalen Auftriebskräften resultierende gesamte Auftriebskraft im Schwerpunkt angreift. Und um die untere Kugelhälfte auf den Wasserspiegel zu heben, die Arbeit W = -m x g x z_s verrichtet wird. Ich will das Thema aber nicht überdehnen.
Mathefix	Verfasst am: 26. Jan 2020 11:48    Titel: Frankx hat Folgendes geschrieben: Mathefix hat Folgendes geschrieben: Der Schwerpunktansatz ist nur dann vorteilhaft, wenn die Position des Schwerpunkts bekannt bzw. einfach zu bestimmen ist. Vorteilhaft oder nicht, ich denke, man wird um die direkte oder indirekte Bestimmung des Schwerpunktes nicht herum kommen. Oder hast Du noch andere Ansätze? Bei der Integration der (veränderlichen) Auftriebskraft über den Eintauchweg ist die Bestimmung der Schwerpunktes ja ebenfalls implizit enthalten, auch wenn es nicht gleich so offensichtlich ist. Man spart also letztlich nichts. . Nicht ganz. Der Schwerpunkt des untergetauchten Volumens liegt bei einem Quader bei h/2, bei einer Pyramide oder Kegel bei h/4. Das weiss man vielleicht noch aus der Schulzeit. Ansonsten stimmen wir überein: Kein Vorteil.
Myon	Verfasst am: 26. Jan 2020 11:27    Titel: @Mathefix: Ich sehe nicht, was Du nun gezeigt oder bewiesen hast, denn Du bist ja von der Gleichung ausgegangen, die gezeigt werden soll. Wahrscheinlich entgeht mir etwas. Die von der Auftriebskraft geleistete Arbeit ist ja und man müsste zeigen, dass dies gleich ist. Ich muss irgendwo einen totalen Knopf in der Leitung haben... Es müsste ja sein, was nur bei konstanter Funktion A(z) der Fall ist?? Edit: Fehlender Apostroph in letzter Gleichung eingefügt.
Frankx	Verfasst am: 26. Jan 2020 11:11    Titel: Mathefix hat Folgendes geschrieben: Der Schwerpunktansatz ist nur dann vorteilhaft, wenn die Position des Schwerpunkts bekannt bzw. einfach zu bestimmen ist. Vorteilhaft oder nicht, ich denke, man wird um die direkte oder indirekte Bestimmung des Schwerpunktes nicht herum kommen. Oder hast Du noch andere Ansätze? Bei der Integration der (veränderlichen) Auftriebskraft über den Eintauchweg ist die Bestimmung der Schwerpunktes ja ebenfalls implizit enthalten, auch wenn es nicht gleich so offensichtlich ist. Man spart also letztlich nichts. .
Frankx	Verfasst am: 25. Jan 2020 20:33    Titel: Zitat: Dies kann sich modellhaft so vorstellen, dass wir zuerst jedes Wassermolekül zum Schwerpunkt der Halbkugel bringen, und dann innerhalb der Halbkugel verteilen. Macht man das für alle Wassermolüle, dann ergibt der erste Anteil den Gesamtbeitrag m*g*sz (sz sei die Tiefe des Schwerpunktes). Das ist imho der richtige Ansatz. Wh=rhok*Vk*g*deltah Wa=rhow*Vu*g*zs Wges=Wh-Wa Wh=Hubarbeit für den Körper ohne Berücksichtigung des Auftriebs Wa=Auftriebsarbeit deltah=Hubweg des gesamten Körpers rhok=Dichte des Körpers rhow=Dichte Wasser zs=Abstand Schwerpunkt des untergetauchten Teils des Körpers zur Wasseroberfläche Vk=Volumen des gesamten Körpers Vu=Volumen des eingetauchten Teils des Körpers Diese Formel funktioniert für teilweise oder völlig untergetauchte Körper beliebiger Form und Dichte. Wichtig ist, dass bei nur teilweise eingetauchten Körpern bei Vu auch nur der untergetauchte Teil eingesetzt wird und sz der Abstand der Wasseroberfläche zum Schwerpunkt des untergetauchten Teiles des Gesamtkörpers (und nicht zum Schwerpunkt des Gesamtkörpers) ist. .
Mathefix	Verfasst am: 25. Jan 2020 19:28    Titel: Myon hat Folgendes geschrieben: Man müsste rechnerisch die Auftriebsarbeit auf die Definition des Schwerpunkts zurückführen, dann wäre der Zusammenhang gezeigt. Auftriebsarbeit A(y) Querschnittsfläche der eingetauchten Volumens h = Eintauchtiefe des Körpers m_w = Masse des verdrängten Wasservolumens rho_w = Dichte Wasser m = Masse des Körpers 1. Schwerpunktansatz Schwerpunkt der verdrängten Wassermassse Schwimmbedingung Auftriebsarbeit 2. Integration Auftriebsarbeit qed Der Schwerpunktansatz ist nur dann vorteilhaft, wenn die Position des Schwerpunkts bekannt bzw. einfach zu bestimmen ist.
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 25. Jan 2020 17:24    Titel: Vielleicht gibt es noch eine alternative Betrachtung. Die Arbeit zum Heben der Kugel ist ja die Summe der Arbeit die man hätte, wenn man die Kugel einfach in Luft anheben würde (=mgr) minus der - nennen wir sie mal - "Auftriebsarbeit": Die Auftriebsarbeit entspricht der Energie, die frei wird, wenn das Wasser in das frei werdende Volumen wieder zurückläuft. In unserem Beispiel also die Energie, die frei wird, wenn Wasser vom oberen Rand aus in ein halbkugelförmiges Loch mit Radius r läuft. Dies kann sich modellhaft so vorstellen, dass wir zuerst jedes Wassermolekül zum Schwerpunkt der Halbkugel bringen, und dann innerhalb der Halbkugel verteilen. Macht man das für alle Wassermolüle, dann ergibt der erste Anteil den Gesamtbeitrag m*g*sz (sz sei die Tiefe des Schwerpunktes). Der zweite Anteil ergibt jedoch exakt die Nettoarbeit Null, da ja vom Schwerpunkt aus gestartet wurde und sich negative und positive Arbeitsaufwände somit exakt kompensieren. Insgesamt kommt dann auch wieder auf: Rechnerisch ergibt sich natürlich wieder kein Vorteil, da wir ja immer noch die Lage des Schwerpunktes bestimmen müssen. Aber vielleicht ist diese Betrachtung sogar noch einfacher. Viele Grüße, Nils
Myon	Verfasst am: 25. Jan 2020 15:52    Titel: Ich bestreite doch nicht, dass die Auftriebskraft am Schwerpunkt des verdrängten Flüssigkeitsvolumens angreift (dieser Schwerpunkt ändert kontinuierlich während des Hebevorgangs), aber dies ist m.E. nicht relevant. Mir leuchtet deshalb nicht ein, wie man anschaulich auf die Gleichung für die Arbeit der Auftriebskraft kommt - abgesehen von Nils Begründung. Wie gesagt, diese Auftriebskraft ist über den Weg nicht konstant, und die Weglänge ist nicht einfach z_s. Aber vielleicht übersehe ich etwas. Man müsste rechnerisch die Auftriebsarbeit auf die Definition des Schwerpunkts zurückführen, dann wäre der Zusammenhang gezeigt.
Mathefix	Verfasst am: 25. Jan 2020 15:27    Titel: Myon hat Folgendes geschrieben: Mathefix hat Folgendes geschrieben: Schwimmbedingung: Auftriebskraft = Gewichtskraft Die Auftriebskraft greift im Massenschwerpunkt des eingetauchten Massenteils an. Die Arbeit, welche die Auftriebskraft bis zur Wasseroberfläche - Kugel vollständig aufgetaucht -, verrichtet ist also Die Gleichung, die Du für die Arbeit erhältst, ist zwar richtig, aber die Begründung dafür greift in meinen Augen nicht: Da bin ich anderer Meinung. Die Auftriebskraft greift im Schwerpunkt an; das ist unstrittig und Du kannst es nachlesen. z. Bsp.: https://www.stroemung-berechnen.de/auftrieb-berechnen/ Letzter Satz. Wir betrachten hier eine statische und keine Dynamische Situation (Schwimmstabiiltät). Die Summe der über die Eintauchtiefe wirkendenden Auftriebskräfte kann als einzelner im Schwerpunkt angreifender Kraftvektor angesehen werden. Die Arbeit ist dann diese Kraft multipliziert mit dem Schwerpunktabstand, weil der Weg der Kraft exakt vom Schwerpunkt bis zur Wasseroberfläche verläuft und nicht über den Radius. Darauf basiert mein Ansatz, den Du für richtig hältst.
Myon	Verfasst am: 25. Jan 2020 12:55    Titel: Mathefix hat Folgendes geschrieben: Schwimmbedingung: Auftriebskraft = Gewichtskraft Die Auftriebskraft greift im Massenschwerpunkt des eingetauchten Massenteils an. Die Arbeit, welche die Auftriebskraft bis zur Wasseroberfläche - Kugel vollständig aufgetaucht -, verrichtet ist also Die Gleichung, die Du für die Arbeit erhältst, ist zwar richtig, aber die Begründung dafür greift in meinen Augen nicht: -wo die Auftriebskraft am Körper angreift, ist hier nicht relevant. Dies wäre wichtig für die Stabilität, wirkende Drehmomente etc. -die Auftriebskraft ist während des Hebevorgangs nicht konstant, sondern nimmt von m*g auf null ab. -die Länge des Wegs, während der die Auftriebskraft Arbeit leistet, ist nicht s_z, sondern r. Rechnet man die Arbeit der Auftriebskraft korrekt aus, muss man wieder über das Volumen integrieren, das jeweils unter Wasser ist, man kommt also wieder auf die ursprüngliche Rechnung. Nils führte hingegen zur Bestimmung der verrichteten Arbeit den gesamten Hebevorgang auf alternative Vorgänge zurück, die insgesamt den gleichen Anfangs- und Endzustand haben und deren Arbeit anschaulich begründet ist.
Mathefix	Verfasst am: 25. Jan 2020 11:59    Titel: @Nils Deine Herleitung ist ohne Zweifel elegant, setzt aber die Kenntnis der Schwerpunktlage des eingetauchten Volumens voraus. Schwerpunkt eines Kugelsegments mit h = Eintauchtiefe Abstand zum Mittelpunkt Hätte ich ohne Formelsammlung nicht gewußt. Die Herleitung ist viel aufwendiger als die Herleitung der Auftriebskraft. In Kennntnis der Schwerpunktlage ist meine Überlegung ganz einfach: Schwimmbedingung: Auftriebskraft = Gewichtskraft Die Auftriebskraft greift im Massenschwerpunkt des eingetauchten Massenteils an. Die Arbeit, welche die Auftriebskraft bis zur Wasseroberfläche - Kugel vollständig aufgetaucht -, verrichtet ist also Die Arbeit die aufgewendet werden muss, um die Kugel zu heben Also ist Lt. Aufgabenstellung ist die Kugel halb (h = r) eingetaucht Gruss und schönes Wochende mathefix
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 24. Jan 2020 18:00    Titel: Oh, vielen Dank Euch allen! Das Kompliment darf ich zurückgeben. Ohne die vielen Anregungen hier im Forum wäre ich da nie drauf gekommen! Cheers, Nils @Frankx: Danke für den Hinweis, ist nun korrigiert.
Wolvetooth	Verfasst am: 24. Jan 2020 09:39    Titel: @Nils Um ehrlich zu sein, kann ich leider nicht alles nachvollziehen, was du schreibst aber vielen Dank, dass du so viel Energie und Motivation bei deinen Beiträgen benutzt. Persönlich finde ich das schön und das verbessert die Gemeinschaft von Physikerboard und dadurch das gegenseitiges Lernen Super gemacht!
Frankx	Verfasst am: 24. Jan 2020 09:33    Titel: Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: Es fängt an mit der Beobachtung, dass ein quaderförmiger Körper, der sich so weit unter Wasser befindet, dass seine Oberseite gerade so die Wasseroberfläche berührt und dessen Dichte genau die Hälfte der Dichte des Wassers ist ohne Nettoarbeit verrichten zu müssen aus der Flüssigkeit herausgehoben werden kann. Denn es gilt: ... Bei den Summanden in deiner Integralformel kommen unterschiedliche Einheiten zustande. Im zweiten Summanden fehlt imho der Faktor g. Ansonsten finde ich die Überlegungen gut. .
blödi123	Verfasst am: 24. Jan 2020 09:23    Titel: @ N.H. äußerst kreative Überlegungen - Bravo!
Myon	Verfasst am: 23. Jan 2020 23:15    Titel: @Nils: Wow, da kann ich nur gratulieren!! Wirklich eine allgemeingültige, schöne Lösung und sehr kreativ überlegt! Da wäre ich nie darauf gekommen. Und auch noch klar präsentiert und illustriert. Was das Integral angeht, müsste man natürlich für die Schwerpunktbestimmung der Halbkugel eigentlich auch ein solches lösen. Aber es bleibt dabei, es ist eine schöne Sache, und bei Kenntnis des Schwerpunkts gibt es nichts mehr zu rechnen. Auch wird deutlich, welche Grösse für die aufzubringende Arbeit relevant ist (relativ zu Körpern mit gleicher Masse/Volumen und vertikalen Ausmassen).
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 23. Jan 2020 22:19    Titel: Hallo Leute, Sorry, aber es hat mir echt keine Ruhe gelassen. Anscheinend gibt es doch eine "einfache" Betrachtungsweise, die es erlaubt die Aufgabe zu lösen, ohne ein kompliziertes Integral berechnen zu müssen. Es fängt an mit der Beobachtung, dass ein quaderförmiger Körper, der sich so weit unter Wasser befindet, dass seine Oberseite gerade so die Wasseroberfläche berührt und dessen Dichte genau die Hälfte der Dichte des Wassers ist ohne Nettoarbeit verrichten zu müssen aus der Flüssigkeit herausgehoben werden kann. Denn es gilt: Mit der Oberfläche , Länge und Dichte . Das war das letzte Integral, versprochen! ;-) Mit diesem Hintergrundwissen können wir nun durch folgende 4 Schritte die halb eingetauchte Kugel so aus dem Wasser bugsieren, dass die dabei verrichtete Arbeit ohne viel Aufwand berechnet werden kann (siehe angehängte Grafik). Die Überlegungen sollten allgemein für alle Körper funktionieren, die durch Drehung um 180° in sich übergehen. Schritt 1: Zuerst zerschneiden wir die Kugel horizontal in der Mitte und heben die obere Kugelhälfte um den Betrag r an. Die dabei verrichtete Arbeit ist Schritt 2: Den verbliebenen Teil unter Wasser zerlegen wir in viele kleine senkrechte Säulen (siehe Grafik). Schritt 3: Jetzt kommt der Witz: Aufgrund der obigen Beobachtung können wir nun jede Säule ohne Arbeitsaufwand aus dem Wasser heben! Als Ergebnis erhalten wir eine an der Wasseroberfläche gespiegelte Kugelhälfte. Das Wasser können wir uns von nun an wegdenken. Schritt 4: Jetzt müssen wir nur noch die ursprüngliche Kugel wieder zusammenbauen. Um dies zu erreichen, drehen wir die untere Kugelhälfte ohne Arbeit verrichten zu müssen um 180° um ihren Schwerpunkt S (siehe Zeichnung) und heben sie anschließend solange nach oben bis sie die obere Hälfte berührt. Bezeichnen wir mit zs den Abstand des Schwerpunktes der Kugelhälfte zum Mittelpunkt der Kugel, so ist der dabei zurück gelegte Weg gleich r-2*zs. Insgesamt haben wir also die folgende Arbeit verrichtet: Ja, und das wäre dann die allgemeine Formel für alle Körper mit zweizähliger Rotationssymmetrie. Im Falle einer Kugel ist sz = 3/8 r und der Ausdruck in der Klammer gleich 5/8 in Übereinstimmung mit der länglichen Rechnung von oben. Im Falle eines Würfels mit halber Seitenlänge r ist sz = r/2 und der Ausdruck in der Klammer gleich 1/2, usw. Danke an alle die bis hier hin mitgelesen haben! Viele Grüße, Nils
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 23. Jan 2020 16:20    Titel: GvC hat Folgendes geschrieben: Ja, als ich die Zahlen sah, hatte ich auch so ein Gefühl, dass das doch irgendwie einfacher gehen müsste. Mein Ansatz war, dass man ja erst solange Wasser in das Becken pumpen könnte bis sich die Kugel um R anhebt, dann die Kugel irgendwie an einem Haken befestigt und anschließend das Wasser wieder auf das Ursprungsniveau ablaufen lässt. Durch die Energiebilanz beim Pumpen - so mein Gedanke - sollte sich die Arbeit doch viel einfacher berechnen lassen... Aber nix da! Am Ende landet man immer bei diesem mistigen Kugelintegral. Und Myon hat natürlich Recht: bei Körpern, die in der Tiefe bauchig sind, profitiert man natürlich viel länger vom Auftrieb, daher muss der Faktor von der Form abhängig sein. Im Grenzfall ist die Arbeit sogar Null! Viele Grüße, Nils
Myon	Verfasst am: 23. Jan 2020 15:51    Titel: @GvC: Nein, ich glaube nicht, dass sich mit einer solchen Energiebetrachtung die Aufgabe lösen lässt, jedenfalls nicht in dieser einfachen Form. Die potentielle Energie des eingetauchten Körpers ist nicht nur von der Masse und dem Abstand des tiefsten Punktes von der Wasserlinie bzw. dem Hebeweg abhängig, sondern auch von der Form des Körpers. Die Kugelform geht in diese einfache Gleichung aber nicht mit ein. Bei einem Würfel ergäbe sich z.B. ein anderer Faktor (0.5 statt 0.625, wenn man mit R die halbe Würfelseite bezeichnet).
GvC	Verfasst am: 23. Jan 2020 14:23    Titel: Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: ....Damit ergibt sich schließlich: Das Ergebnis führt mich zu einer Überlegung, die ich allerdings noch nicht ganz abgeschlossen habe, nämlich ob die Aufgabe nicht von Vornherein mit dem Energieerhaltungssatz gelöst werden könnte. Wenn Du anstelle der Flüssigkeitsdichte hier die (doppelte) Kugeldichte einsetzt, ist Dein Ergebnis ja Das ließe sich so aufschlüsseln: Die ganze Kugel wird ja um die Strecke R angehoben. Der erste Summand kann deshalb als die Arbeit interpretiert werden, die zum Anheben der oberen Kugelhälfte aufzuwenden ist. Beim zweiten Summanden lässt sich der Faktor m/4 so interpretieren, dass die Halbkugel unter Wasser nur halb so viel "wiegt". Allerdings fehlt mir noch eine schlüssige Beweisführung für den Faktor 1/2. Kannst Du an dieser Idee vielleicht noch ein bisschen weiter entlangdenken?
Mathefix	Verfasst am: 23. Jan 2020 14:02    Titel: Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: Da ist wohl das "g" verloren gegangen Ansonsten komme ich mit meinem Ansatz auf das exakt gleiche Ergebnis,
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 22. Jan 2020 21:09    Titel: Um das Ganze mal abzuschließen, hier meine Rechnung. In meiner Rechnung bezeichnet y den senkrechten Abstand zwischen Wasserlinie und dem Südpol der Kugel. Damit ergibt sich für die Arbeit: Für die Masse des Körpers setzen wir ein und verwendet , da die Kugel halb eingetaucht schwimmt. Damit ergibt sich schließlich: Viele Grüße, Nils Edit: in meinem ursprünglichen Posting fehlte im letzten Ausdruck das g. Danke an Mathefix für den Hinweis!
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 22. Jan 2020 17:47    Titel: Wie gesagt auf der Wikipedia-Seite wird es hergeleitet. Edit: Oh sorry, hab gerade gesehen, dass bei dir y ja anders definiert ist als das h auf der Wiki-Seite. Ok, dann stimmt dein Ausdruck für Vk(y) doch. Aber ich glaube, die Wiki-Definition ist für deine Rechnung geschickter (nur 2 Terme statt 3).
Wolvetooth	Verfasst am: 22. Jan 2020 17:37    Titel: Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: Ich glaube, deine Formel für das Volumen der eingetauchten Kugelkappe stimmt nicht ganz. Analog zur Formel in Wikipedia (mit y statt h) sollte gelten: Vk(y) = pi*y²(r - y/3) Viele Grüße, Nils https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelsegment Ich habe die Formeln von Myon und Mathefix benutzt Hat jemand einen Rechenweg vielleicht? ich bin total durcheinander
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 22. Jan 2020 17:30    Titel: Ich glaube, deine Formel für das Volumen der eingetauchten Kugelkappe stimmt nicht ganz. Analog zur Formel in Wikipedia (mit y statt h) sollte gelten: Vk(y) = pi*y²(r - y/3) Viele Grüße, Nils https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelsegment
Wolvetooth	Verfasst am: 22. Jan 2020 15:49    Titel: Hallo! Vielen Dank an alle für die Lösung Da es jetzt so viele neue Beiträge gibt, weiß ich nicht, wie ich jetzt weiter kommen sollte. Würde die Lösung so erstmal aussehen? (Ich habe nicht das Integral bis zum Ende gemacht)
Mathefix	Verfasst am: 22. Jan 2020 13:59    Titel: blödi123 hat Folgendes geschrieben: zunächst mal: interessante Aufgabe alle Beiträge gehen von einem konstanten Wasserspiegel bei Entnahme der Kugel aus dem Wasser aus. Das sollte man auch in die Voraussetzungen aufnehmen (sonst wird´s zu kompliziert). Volumen Halbkugel Oberfläche Wasserbehälter Wenn die Halbkugel vollständig aus dem Wasser gezogen ist, ist der Wasserspiegel um gesunken. Um diesen Betrag muss die Halbkugel weniger gehoben werden, bis sie gerade die Wasseroberfläche tangiert Allerdings wird auch die Auftriebskraft während des Hebevorgangs durch den sinkenden Wasserspiegel um den Faktor verringert , sodass die Gesamtkraft steigt.
Mathefix	Verfasst am: 21. Jan 2020 16:07    Titel: blödi123 hat Folgendes geschrieben: zunächst mal: interessante Aufgabe alle Beiträge gehen von einem konstanten Wasserspiegel bei Entnahme der Kugel aus dem Wasser aus. Da der Durchmesser des Wasserbehälters nicht gegeben ist, muss diese Annahme getroffen werden.
blödi123	Verfasst am: 21. Jan 2020 15:59    Titel: klar, du hast völlig Recht: bevor man eine Aufgabe "löst", sollte man die Aufgabenstellung verstanden haben (mir fehlt der Schlaf einer Nacht...)
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 21. Jan 2020 11:32    Titel: Ich wiederhole auch: sie schwimmt. Nils
blödi123	Verfasst am: 21. Jan 2020 11:29    Titel: nein, nein - das hat damit nichts zu tun ich wiederhole: Kugel aus Stahl, zur Hälfte in Wasser eingetaucht...
Nils Hoppenstedt	Verfasst am: 21. Jan 2020 11:07    Titel: blödi123 hat Folgendes geschrieben: Wie aber kommst du auf rho_wasser = 2*rho ??? Na, weil sie halb eingetaucht schwimmt... Viele Grüße, Nils
blödi123	Verfasst am: 21. Jan 2020 10:47    Titel: Ooooops!!! @Danke Nils, natürlich fehlt der Faktor r^4 ! Duhast Recht: ich habe die Aufgabenstellung aus den Augen verloren - die Kugel ist ja nur zur Hälfte eingetaucht... Wie aber kommst du auf rho_wasser = 2*rho ??? Nehmen wir z.B. mal eine Kugel aus Stahl...

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