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franz	Verfasst am: 12. Apr 2019 21:01    Titel:
Myon	Verfasst am: 12. Apr 2019 20:46    Titel: Ich hab endlich den Grund für die scheinbare Diskrepanz gefunden. Es liegt an der Mehrdeutigkeit des arctan. Das hatte ich schon früher im Verdacht, aber ich hatte den Faktor 1/2 dabei nicht beachtet. Den optimalen Winkel kann man noch einfacher schreiben, denn es gilt falls phi>0 Bei der Rechnung im gedrehten System ergibt sich mit dasselbe, wenn man die Mehrdeutigkeit berücksichtigt und beachtet, dass sein muss.
Mathefix	Verfasst am: 12. Apr 2019 14:21    Titel: Myon hat Folgendes geschrieben: Mathefix hat Folgendes geschrieben: Ich meine doch, da durch die Drehung um phi die Wurfparabel im Koordinatensystem (x';y')symmetrisch wird. Nein, im x'/y'-System ist die Bahnkurve nicht achsensymmetrisch zu einer Achse parallel zur y-Achse. Das wäre ja auch eher seltsam, da in diesem System die Gewichtskraft nicht in y'-Richtung zeigt. .... Eigentlich wäre das ja nicht so wichtig, aber solche Sachen fuchsen mich etwas, denn es müsste sich doch derselbe Winkel ergeben... Aber g* cos phi zeigt in Richtung y' und g *sin phi in x'-Richtung- Eine Idee: Da es sich um ein Gefälle handelt, ist tan( phi) negativ. Wenn ich dann noch den Absprungwinkel zwischen v_0 und x' = alpha' = alpha setze - sozusagen v_0 mitdrehe-, erhalte ich das gleiche Ergebnis wie TomS.
Myon	Verfasst am: 12. Apr 2019 12:41    Titel: Mathefix hat Folgendes geschrieben: Ich meine doch, da durch die Drehung um phi die Wurfparabel im Koordinatensystem (x';y')symmetrisch wird. Nein, im x'/y'-System ist die Bahnkurve nicht achsensymmetrisch zu einer Achse parallel zur y-Achse. Das wäre ja auch eher seltsam, da in diesem System die Gewichtskraft nicht in y'-Richtung zeigt. Trotzdem komme ich dann auch auf diese Lösung Zitat: Hier liegt ja genau das Problem: dies ist der Winkel im System x'/y', und der Absprungwinkel im nichtgedrehten System ist dann . Mit dem Ansatz von TomS, also (phi wiederum positiv bei fallender Landepiste) folgt und Was nicht das Gleiche ist. Eigentlich wäre das ja nicht so wichtig, aber solche Sachen fuchsen mich etwas, denn es müsste sich doch derselbe Winkel ergeben...
Mathefix	Verfasst am: 12. Apr 2019 11:01    Titel: GvC hat Folgendes geschrieben: Mathefix hat Folgendes geschrieben: Ich habe mit der Flugzeit t = 2 * Steigzeit gerechnet. Wie kommst Du denn da drauf? Der abfallende Ast der Parabel ist doch viel länger als der ansteigende. Das ändert sich auch nicht, wenn Du das Koordinatensystem drehst. Ich meine doch, da durch die Drehung um phi die Wurfparabel im Koordinatensystem (x';y')symmetrisch wird. Falls ich mich nicht verrechnet habe.
GvC	Verfasst am: 12. Apr 2019 10:33    Titel: Mathefix hat Folgendes geschrieben: Ich habe mit der Flugzeit t = 2 * Steigzeit gerechnet. Wie kommst Du denn da drauf? Der abfallende Ast der Parabel ist doch viel länger als der ansteigende. Das ändert sich auch nicht, wenn Du das Koordinatensystem drehst.
Mathefix	Verfasst am: 11. Apr 2019 20:19    Titel: Myon hat Folgendes geschrieben: Danke. Ich hab's heute morgen auch versucht, über eine Drehung der Koordinatenachsen nachzurechnen. Das führt auf die Gleichungen und dann Maximierung von x', . Eigentlich wird dann die Rechnung tatsächlich relativ einfach, aber irgendwo muss ich mich verrechnet haben, ich komme so einfach nicht auf das gleiche Resultat. Es scheint irgendwo ein Faktor 2 zu fehlen. Schau's vielleicht später nochmals an, eigentlich müsste es doch aufgehen... @Myon Ich habe mit der Flugzeit t = 2 * Steigzeit gerechnet. Vllt. ist das der Faktor 2, der in Deiner REchnung fehlt. Gruss Jörg
Myon	Verfasst am: 11. Apr 2019 10:33    Titel: Danke. Ich hab's heute morgen auch versucht, über eine Drehung der Koordinatenachsen nachzurechnen. Das führt auf die Gleichungen und dann Maximierung von x', . Eigentlich wird dann die Rechnung tatsächlich relativ einfach, aber irgendwo muss ich mich verrechnet haben, ich komme so einfach nicht auf das gleiche Resultat. Es scheint irgendwo ein Faktor 2 zu fehlen. Schau's vielleicht später nochmals an, eigentlich müsste es doch aufgehen...
Mathefix	Verfasst am: 11. Apr 2019 10:21    Titel: Myon hat Folgendes geschrieben: @Mathefix: Was verstehst Du hier unter „Koordinatentransformation“? Bei Deiner obigen Idee mit der Drehung des Koordinatensystems sehe ich nicht, wie das funktionieren soll. Die vertikale Richtung ist nun mal durch die Gravitationskraft ausgezeichnet. Im Koordinatensysten (x';y') mit und erhält man falls ich mich nicht verrechnet habe.
Myon	Verfasst am: 09. Apr 2019 18:19    Titel: @Mathefix: Was verstehst Du hier unter „Koordinatentransformation“? Bei Deiner obigen Idee mit der Drehung des Koordinatensystems sehe ich nicht, wie das funktionieren soll. Die vertikale Richtung ist nun mal durch die Gravitationskraft ausgezeichnet. Verwendet man den Ansatz von TomS und bestimmt anschliessend das Maximum von s durch Ableiten nach alpha, erhält man den oben angegebenen Winkel alpha für die maximale Reichweite (wobei dann phi positiv gewählt wurde bei sinkender Landebahn. Vereinfacht wird die Rechnung, wenn man die im ersten Beitrag angegebenen trigonometrischen Beziehungen benutzt).
Mathefix	Verfasst am: 07. Apr 2019 19:01    Titel: franz hat Folgendes geschrieben: Guten Abend Mathefix! Zitat: Bei horizontaler Landebahn beträgt der Absprungwinkel, der zur maximalen Reichweite führt 45°. Theoretisch schon, bei rund 100 km/h aber wohl eher Phantasie. Ich vermute, daß man schlicht in der Verlängerung des Schanzentisches abspringt (und versucht lebend anzukommen). Deshalb meine Frage oben. Hallo franz, natürlich alles Theorie: Schiefer Wurf landet auf schiefer Ebene. Habe meinen Ansatz über Koordinatentransformation und Deinen über Schnittpunkt Wurfparabel mit schiefer Ebene durchgerechnet. Beides führt zu dem Ergebnis ( mit Koordinatentransformation etwas einacher):
franz	Verfasst am: 06. Apr 2019 23:52    Titel: Guten Abend Mathefix! Zitat: Bei horizontaler Landebahn beträgt der Absprungwinkel, der zur maximalen Reichweite führt 45°. Theoretisch schon, bei rund 100 km/h aber wohl eher Phantasie. Ich vermute, daß man schlicht in der Verlängerung des Schanzentisches abspringt (und versucht lebend anzukommen). Deshalb meine Frage oben.
Mathefix	Verfasst am: 06. Apr 2019 18:45    Titel: Bei horizontaler Landebahn beträgt der Absprungwinkel, der zur maximalen Reichweite führt 45°. Im Fall der geneigten Landebahn schätze ich ca. 35°.
TomS	Verfasst am: 06. Apr 2019 15:17    Titel: Ich schlage folgenden Ansatz vor: Skispringer Auslauf Gleichsetzen der x- und y-Komponenten, dann Eliminieren von t: Einsetzen in die y-Gleichung mit Das ist eine quadratische Gleichung in s. Eine Lösung ist trivialerweise s = 0; das entspricht dem Absprungpunkt. Die zweite Lösung für s folgt durch Ausklammern bzw. Kürzen von s. s entspricht der Sprunglänge gemessen entlang des schrägen Auslaufs.
franz	Verfasst am: 06. Apr 2019 15:12    Titel: Re: Maximale Weite eines Skispringers berechnen Was heißt "maximal"? Welche Größe kann beeinflußt werden? Davon abgesehen, warum nicht den Schnittpunkt der Wurfparabel mit der Schanzengerade ausrechnen, eine quadratische Gleichung in x?
Mathefix	Verfasst am: 06. Apr 2019 14:19    Titel: Du suchst den Absprungwinkel, bei dem die maximale Weite erzielt wird, oder? Deine Formel x = ... stimmt dimensionsmässig nicht. Ich glaube der einfachste Weg ist, das Koordinatensystem (x,y) durch Drehung um den Winkel phi in das Koordinatensystem (x',y')zu transformieren. Mit x', y' den normalen schiefen Wurf rechnen. Der Absprungwinkel ist gamma = alpha +phi.
Harald1414	Verfasst am: 06. Apr 2019 11:51    Titel: Maximale Weite eines Skispringers berechnen Meine Frage: Ein Skispringer fährt eine Schanze herunter und springt am Ende der Schanze mit einer Geschwindigkeit v0 ab. Er springt in einem Winkel alpha nach oben, heißt, es gibt eine x und y Komponente ungleich 0 in der Geschwindigkeit. Am Ende der Schanze, wo er abspringt, beginnt die Landebahn, die in einem Winkel phi sinkt. Heißt, würde man am Absprungort eine waagerechte Linie weiterziehen, wäre der Winkel zwischen dieser Linie und der Landebahn phi. Der tan(phi) = 0.6 ist gegeben. Frage: Was ist die maximale Reichweite, die der Skispringer in x-Richtung springen kann? Meine Ideen: Erstmal weiß ich: vx0 = vx = v0 * cos(alpha) vy0 = v0 * sin(alpha) Damit weiß ich: x = v0 * cos(alpha) * t y = v0 * sin(alpha) * t + 1/2 * g * t^2 Überlegung: Wenn der Skispringer auf der Landebahn landet zum Zeitpunkt t' landet, dann ist seine Reichweite in der x-Ebene = x(t') und die Strecke die er in y-Richtung gefallen ist = y(t'). Das heißt, ich kann ein rechtwinkliges Dreieck bilden, so dass die Hypothenuse gleich der Landebahn ist, und in x-Richtung den Wert x(t') hat und in y-Richtung den Wert y(t') und der Winkel zwischen x Achse und Hypothenuse ist immer noch phi. Dann weiß ich: <==> Nun haben wir die Zeit t von alpha abhängig bestimmt. Das setzen wir in x(t) ein um x in Abhängigkeit von alpha zu bestimmen: In der Aufgabe stand noch drin, dass sich die Gleichungen: und als nützlich erweisen könnten. Dann hätten wir: Das wäre ja dann maximal, wenn cos^2 = 1 und sin(2x) = 0, also wenn alpha = 0. Ich bin mir nicht sicher ob das so stimmen kann. Zum einen könnte es Sinn ergeben, da je größer alpha wird, umso weniger Energie in die kinetische Energie in x-Richtung umgewandelt wird. Allerdings wird durch ein größeres alpha ja auch der Landezeitpunkt verzögert, was auch für eine größere Reichweite sprechen könnte.

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