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tom_
BeitragVerfasst am: 30. Jul 2018 19:42    Titel: Re: Vorzeichenproblem beim Runge-Lenz-Vektor
Das ist ein Artefakt welches durch die Verwendung von PowerExpand in Mathematica entsteht!

Code:

n[v_] := Sqrt[v.v]
er = {Cos[phi], Sin[phi], 0};
v1 = (1 - a) er
v2 = b er


Erster Versuch:
Code:

v1/n[v1] // FullSimplify // PowerExpand

ergibt
Code:

{-Cos[phi], -Sin[phi], 0}


Zweiter Versuch:
Code:

v2/n[v2] // FullSimplify // PowerExpand

ergibt
Code:

{Cos[phi], Sin[phi], 0}


Wieder was gelernt.
tom_
BeitragVerfasst am: 30. Jul 2018 18:39    Titel: Re: Vorzeichenproblem beim Runge-Lenz-Vektor
Danke, Myon.

Du hast mich falsch verstanden. Ich glaube nicht, dass Plus richtig ist. Ich habe alle möglichen Beweisarten des Runge-Lenz-Vektors durchgerechnet und komme immer auf Minus.

Also muss der Fehler bei den Lösungen liegen bzw. . Aber die sehen für mich richtig aus. Leider habe ich nirgends eine Lösung in der Literatur finden können um zu vergleichen. Und bei der Herleitung meiner Lösungen finde ich einfach den Fehler nicht.
Myon
BeitragVerfasst am: 30. Jul 2018 18:03    Titel: Re: Vorzeichenproblem beim Runge-Lenz-Vektor
tom_ hat Folgendes geschrieben:
Setzt man das in den Runge-Lenz-Vektor ein, so ist dieser nur dann konstant, wenn die Formel

lauten würde.

Ich weiss nicht genau, wie Du darauf kommst, dass ein Pluszeichen stehen müsste. Man kann ohne Rechnen sehen, dass der obige Vektor mit „+“ nicht konstant sein kann: Bei einer Drehung im Gegenuhrzeigersinn zeigt in z-Richtung. Betrachet man nun den Vektor am Perihel und Aphel, so zeigen beide Summanden jeweils in Richtung von . Mit einem Pluszeichen würde somit an den beiden Punkten in entgegengesetzte Richtung (jeweils radial nach aussen) zeigen und wäre nicht konstant.
tom_
BeitragVerfasst am: 30. Jul 2018 14:29    Titel: Vorzeichenproblem beim Runge-Lenz-Vektor
Hi,

der Runge-Lenz-Vektor (https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Runge-Lenz-Vektor) ist für ein Sonne-Planet-System definiert durch

Das scheint auch so zu stimmen. Ich habe es n-mal formal überprüft und es steht auch so überall in der Literatur.

Die Bahnkurve des Planeten als Funktion des Winkels lautet (-große Halbachse, -numerische Exzentrizität):

Die Geschwindigkeit ist:

Plottet man das (siehe unten), so sieht alles gut aus. Die Bahnkurve ist eine Ellipse, die sich entgegen dem Uhrzeigersinn dreht. Die Geschwindigkeit passt ebenfalls dazu.

Setzt man das in den Runge-Lenz-Vektor ein, so ist dieser nur dann konstant, wenn die Formel

lauten würde. Hat jemand eine Idee?

Hier noch der Mathematica-Code:
Code:

n[v_] := Sqrt[v.v]
er = {Cos[phi], Sin[phi], 0};
ep = {-Sin[phi], Cos[phi], 0};
ey = {0, 1, 0};
r = a (1 - ek^2)/(1 + ek Cos[phi]) er;
v = Sqrt[(G M)/(a (1 - ek^2))] (ep + ek ey);

Cross[m v, Cross[r, m v]] - G m^2 M r/n[r] // FullSimplify // PowerExpand // FullSimplify
Cross[m v, Cross[r, m v]] + G m^2 M r/n[r] // FullSimplify // PowerExpand // FullSimplify

Der Output ist:
Code:

{G m^2 M (ek + 2 Cos[phi]), 2 G m^2 M Sin[phi], 0}
{ek G m^2 M, 0, 0}


Zum Plotten:
Code:

paras = {ek -> 0.9, a -> 1, G -> 1, m -> 1, M -> 1};
plotrng = {{-2.5, 2.5}, {-1, 1}};
pl1 = ParametricPlot[(r /. paras)[[1 ;; 2]], {phi, 0, 2 Pi * 3/4}, PlotRange -> plotrng];
pl2 = Graphics[Arrow[Table[{r[[1 ;; 2]], r[[1 ;; 2]] + 0.2 v[[1 ;; 2]]}, {phi, 0, 2 Pi, Pi/2}] /. paras], Axes -> True, PlotRange -> plotrng];
Show[pl1, pl2]

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