Physikerboard.de :: Thema-Überblick - Harmonischer Oszillator mit quadratischer Störung

TomS · Verfasst am: 24. Jun 2018 11:10 Titel:

Ohne auf Details einzugehen: gegeben ist

1) Störungstheorie erster und zweiter Ordnung hast du berechnet - ich habe die Ergebnisse nicht geprüft

2) Für die exakte Lösung fasst du den zweiten und dritten Term einfach mit einer lambda-abhängigen Frequenz Omega zusammen

und berechnest damit die neuen Energieeigenwerte exakt:

Bei (2) bezeichnet n den n-ten exakten Eigenzustand des gestörten Systems.

Wyrdra

Meine Frage:
Hallo,
wie im Titel schon erwähnt habe ich einen harmonischen Oszillator, dessen Hamiltonoperator mit

gegeben ist.

und

sind dabei die Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren.
Zusätzlich habe ich eine quadratische Störung der Form

und ich weiß, dass

mit

.
Also eingesetzt:

Die Aufgabe ist es nun, die Energiekorrekturen erster und zweiter Ordnung zu bestimmen, und danach dieses Ergebnis mit der exakten Lösung von

zu vergleichen.
Mein Problem ist dabei der zweite Teil der Aufgabe.

Meine Ideen:
Ich bin soweit, dass ich die Energiekorrekturen berechnet habe. Sie sind:

Mein Ansatz für den kombinierten Operator war jetzt einfach

zu berechnen.
Hier tut sich jetzt aber das Problem auf, dass mir gerade die quadratischen Operatoren Zustände

liefern, mit denen ich an dieser Stelle nicht umzugehen weiß.
Weiterhin bin ich nicht ganz sicher ob ich die

überhaupt für das gestörte System verwenden darf, da sie ja eigentlich die Eigenzustände des ungestörten Systems sind. Das sollte vermutlich nichts ausmachen, da die explizite Form der Zustände in diesem Moment sowieso egal ist, aber sicher bin ich nicht.
Wie komme ich an dieser Stelle weiter? Bzw., sollte mein Ansatz wirklich falsch sein, was für andere Wege gibt es?