Physikerboard.de :: Thema-Überblick - 2 Fermionen (ohne spin) im Potentialtiopf.Wellenfunktion und

Aristo · Verfasst am: 11. Jun 2018 19:27 Titel:

Kommt man dann auf folgende Antisymmetrie?

TomS · Verfasst am: 09. Jun 2018 16:53 Titel:

Das kann nicht sein.

Links steht korrekterweise eine Wellenfunktion in den beiden Variablen r_1 und r_2, rechts steht nur eine nur eine Konstante ohne r-Abhängigkeit. Du hast hier schon irgendetwas eingesetzt.

Ganz von vorne:

Der Ansatz für die Einteilchen-Lösung lautet

Nun musst du die Randbedingungen für das Potential einführen und die erlaubten k-Werte bestimmen.

Wie lauten dann A und B sowie k für die ersten beiden Zustände n = 1,2 in deinem Potential?

Wie lauten die beiden Lösungen für n = 1,2

d.h. die Einteilchen-Wellenfunktionen für den Grund- und den ersten angeregten Zustand?

Aristo · Verfasst am: 09. Jun 2018 16:23 Titel:

Okay. Dann bekommt Teilchen 1 die Amplitude A zugeschrieben und Teilchen 2 die Amplitude B. Wäre die Antsymmetrie dann richtig mit:

? Wenn psi(1,2) die Wellenfunktion des Zustndes für n=1 und m=2 angibt und die Ununterscheidbarkeit gilt, könnte man dann sagen, dass das die gesucht Wellenfunktion ist?

TomS · Verfasst am: 09. Jun 2018 15:52 Titel:

Aristo · Verfasst am: 09. Jun 2018 15:38 Titel:

Im Skript wird die Antisimmetrie bei n ungleich m = 0 gesetzt.
Wäre der Ansatz so also korrekt:

Hier =0 weil die Wellenfunktion nicht aus dem Kasten 'raustunneln' darf, da die Wände unendlich hoch sind.
Weiter also:

In Antisymmetrie einsetzen:

TomS · Verfasst am: 09. Jun 2018 14:57 Titel:

Zunächst mal ist deine Antisymmetrisierung falsch. Bei dir kommt rechts Null raus.

Der Grundzustand des Einteilchen-Systems ist n=1. Der des Zweiteilchensystems wäre m,n = 1,1. Dieser fällt jedoch wg. Antisymmetrisierung weg. Der nächstmögliche Zustand ist m,n = 1,2 bzw. 2,1. Diese beiden Möglichkeiten musst du in die Antisymmetrisierung reinstecken.

Aristo

Meine Frage:
Gegeben: Kastenpotential
V= 0 für -a/2 bis a/2
V= unendlich sonst
In dieser Aufgabe betrachten wir nun N > 1 spinlose Teilchen in diesem Potential, die aber in keiner Wechselwirkung miteinander stehen.
a) Betrachten Sie zunächst zwei Fermionen. Geben Sie die Wellenfunktion u(x1,x2) für den Grundzustand des Zweiteilchen-Systems sowie die zugehörige gemeinsame Aufenthaltswahrscheinlichkeit an. Skizzieren Sie Letztere als Funktion von x1 bei konstantem x2 = 0. Was fällt auf? Hinweis: Verwenden Sie die bereits bekannten Lösungen für das Einteilchen-Problem.

b) Betrachten Sie nun die Situation für eine beliebige Anzahl N an Teilchen. Bestimmen Sie die Grundzustandsenergie EB(N) für N Bosonen bzw. EF(N) für N Fermionen. Vergleichen Sie die Abhängigkeit der Grundzustandsenergie pro Teilchen von der Teilchenzahl wenn N groß wird.

Meine Ideen:
Zuerst habe ich alles gesammelt:
Pauli Prinzip: Die Fermionen dürfen nicht im gleichen Zustand sein und es gilt:

Lösungen Einteilchen Problem: von

Antisymmetrisch:

Ununterscheidbarkeit:
r_1 und r_2 können vertauscht werden.

Wie kann ich eine Wellenfunktion suchen, die im Grundzustand ist (n=1), bei der aber 2 Zustände vorherrschen, die nicht identisch sein dürfen? Das würde doch bedeuten, dass ein Zustand nicht vorhanden ist (n=0) sonst wäre doch die Energie irgendwie überschritten
Die Rechnung zum einteilchen Problem habe ich verstanden- solange das Ergebnis oben stimmt- Wie ich die Rechnung aber mit einer Kombination aus 2 Funktionen darstelle ergibt sich nicht für mich. Habe ich dann einfach ein (Ae^+Be^)(Ce^+de^)? Das könnte ich nicht lösen.
Wenn ich die Wellenfunktion habe sollte die Wahrscheinlichkeitsdichte kein Probem sein: Betragsquadrat bilden.
Auch hoffe ich,dass ich die b) lösen kann, wenn ich den Lösungsweg nachvollziehen kann, der zu einer Wellenfunktion geführt hat.

Hat jemand einen hilfreichen Tipp?
Liebe Grüße