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| TomS |
 Verfasst am: 01. Sep 2017 19:54 Titel: |
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Nein, ich meinte schon freie bzw. Fockzustände der elementaren Felder. Ich habe die Zeitentwicklung evtl. etwas seltsam geschrieben.
In der skalaren QED wäre ein 2-Teilchen Fockzustand mit zwei Elektronen mit Impulsen p, q von der Form
Die Zeitentwicklung gemäß der freien Theorie entspräche der mittels des von dir o.g. freien Hamiltonoperator. Dabei würde gelten
\rangle = e^{-iH_0t} \, a_p^\dagger\,a_q^\dagger\,|0\rangle = e^{-iE_0t} \, a_p^\dagger\,a_q^\dagger\,|0\rangle)
Die Zeitentwicklung der freien Theorie ohne Wechselwirkung erhält demnach die Struktur des zu Beginn vorliegenden Zustandes.
Tatsächlich liegt jedoch keine freie Theorie vor, sondern wir haben eine wechselwirkende Theorie, in der der Hamiltonian Terme mit drei oder mehr Erzeugern und/oder Vernichtern enthält. Schreiben wir allgemein
wobei der zweite Term alle weiteren Terme umfasst.
Damit ist
\rangle = e^{-i(H_0 + H_\text{int})t} \, a_p^\dagger\,a_q^\dagger\,|0\rangle = e^{-i(H_0 + H_\text{int})t} \, a_p^\dagger\,a_q^\dagger \, e^{i(H_0 + H_\text{int})t} \, e^{-i(H_0 + H_\text{int})t} \, |0\rangle)
Der letzte Term, der direkt auf das Vakuum wirkt, sollte sich bei entsprechender Normalordnung auf die Eins reduzieren, d.h. es bleibt
\rangle = e^{-i(H_0 + H_\text{int})t} \, a_p^\dagger\,a_q^\dagger \, e^{i(H_0 + H_\text{int})t} |0\rangle)
Der Zustand zum Zeitpunkt t wird also Teilchen enthalten, die durch
t} \, a_p^\dagger\,a_q^\dagger \, e^{i(H_0 + H_\text{int})t} )
erzeugt werden, um das sind nicht nur die beiden ursprünglich vorhanden Teilchen mit Impulsen p, q. D.h. die Wechselwirkung ändert die Impulse der vorhanden Teilchen (Streuung) zu p', q' und führt i.A. außerdem zur Erzeugung weiterer Teilchen. |
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| index_razor |
| Verfasst am: 01. Sep 2017 18:56 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Eine Wechselwirkung kann man so auffassen, dass sich dieser Zustand unter Zeitentwicklung nicht-trivial ändert (d.h. nicht nur einen trivialen Phasenfaktor exp[-iEt] erhält). Diese Wechselwirkung wird nun genau so wie in der normalen Quantenmechanik durch den Zeitentwicklungsoperator U bzw. den Hamiltonoperator H vermittelt, d.h.
\rangle = e^{-iHt}\,|\psi(0)\rangle)
Wenn keine Wechselwirkung vorliegt, dann gilt
\rangle = e^{-iEt}\,|\psi(0)\rangle)
Wenn dagegen eine Wechselwirkung vorliegt, dann ist notwendigerweise
\rangle = a\,e^{-iEt}\,|\psi(0)\rangle + \ldots )
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Ich denke du verwechselst freie Zustände mit stabilen Zuständen.
Ich betrachte der Einfachheit halber eine Theorie mit einem einzigen skalaren Teilchen ohne innere Quantenzahlen. Freie Zustände in dieser Theorie erfüllen (im Schrödingerbild) die Gleichung
mit
Das ist unabhängig davon, ob es sich bei ihnen auch um Eigenzustände von  handelt. Es muß also nicht zwansgläufig
gelten. Ich denke, es ist sogar typisch, daß das gar nicht gelten kann, da hier ein rein kontinuierliches Spektrum hat (alle positiven Zahlen größer oder gleich m.)
Eine Wechselwirkung beschreibt man hingegen durch die Schrödingergleichung
\psi,)
wobei V ein Raumintegral über ein Polynom von Feldoperatoren ist, hier also z.B.
^4.)
Nun kann es, abhängig vom Kopplungsparameter  und was weiß ich..., sein, daß die Wechselwirkung V stabile Bindungszustände aus mehreren  -Teilchen erlaubt. Diese wären dann Eigenzustände des kompletten Hamiltonians  und erfüllten folglich deine zweite Gleichung
(Für Zweiteilchen-Bindungszustände typischerweise mit E < 2m). Wegen der Anwesenheit von V in H würde man sie aber nicht unbedingt als "frei" bezeichnen. (Wobei es wahrscheinlich vom Kontext abhängt, ob man z.B. noch andere Wechselwirkungen neben dem  -Term betrachten möchte, die auch auf Bindungszustände wirken. So könnte man z.B. von einem "elektromagnetisch freien" Proton sprechen, auch wenn ein Proton ein QCD-Bindungszustand und damit nicht "QCD-frei" ist. Mein Punkt ist, daß der Unterschied zwischen "frei" und "nicht frei" mit der Zerlegung zu tun hat und m.E. nichts mit der Energieunschärfe von einzelnen Zuständen. ) |
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| gnt |
| Verfasst am: 01. Sep 2017 14:33 Titel: |
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| OK. Vielen Dank! |
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| TomS |
| Verfasst am: 01. Sep 2017 14:03 Titel: |
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Das ist eine schwierige Frage.
Zunächst müssen wir dazu eine Unterscheidung treffen: die Feldoperatoren sind nicht Träger von Eigenschaften (wie Energie, Impuls, Spin, Ladung, ...), sie sind lediglich formale Objekte. Träger von Eigenschaften sind die Zustandsvektoren.
D.h. dass in der QFT die Feldgleichungen in Gleichungen für Feldoperatoren überführt werden, in der QED die Dirac-Gleichung mit Kopplungsterm sowie die Maxwell-Gleichungen ebenfalls mit Kopplungsterm. Die Form dieser Gleichungen wird - anders als in der klassischen Feldtheorie - nicht davon beeinflusst, welche spezielle Situation wir betrachten. Die Gleichungen sehen immer identisch aus, egal ob wir von einem freuen Elektron sprechen, von Laserlicht, vom Positronium oder der Comptonstreuung.
Die Information über die spezielle Situation - den Zustand eines Systems - ist ausschließlich im Zustandsvektor kodiert. In der Streutheorie betrachtet man nun meist Zustände freier Teilchen, d.h. z.B. einen Zustandsvektor, der Impuls und Spin eines Elektrons sowie Impuls und Polarisation eines Photons kodiert. Eine Wechselwirkung kann man so auffassen, dass sich dieser Zustand unter Zeitentwicklung nicht-trivial ändert (d.h. nicht nur einen trivialen Phasenfaktor exp[-iEt] erhält). Diese Wechselwirkung wird nun genau so wie in der normalen Quantenmechanik durch den Zeitentwicklungsoperator U bzw. den Hamiltonoperator H vermittelt, d.h.
Wenn keine Wechselwirkung vorliegt, dann gilt
Wenn dagegen eine Wechselwirkung vorliegt, dann ist notwendigerweise
Im zweiten Term ... sind alle die Zustände enthalten, die nicht einer freien Propagation des ursprünglichen Zustandes entsprechen, d.h. z.B. anderer Impuls und Spin des Elektrons sowie anderer Impuls und Polarisation des Photons - oder sogar andere Teilchen wie zusätzliche Elektron-Photon-Paare.
Ich würde dir empfehlen, zunächst mal ein Kapitel über formale Streutheorie sowie den Zusammenhang zwischen S- und T- Matrix mit dem Zeitentwicklungsoperator U in einem Buch über nicht-relativistische Quantenmechanik nachzulesen. |
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| gnt |
| Verfasst am: 01. Sep 2017 12:58 Titel: |
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Danke Euch!
Jetzt habe ich die Kapitel 2 bis 5 in P&S durchgearbeitet bzw. durchgelesen, und ein etwas besseres Verständnis entwickeln können.
Leider ist mir aber noch immer nicht klar, wie ich mir Wechselwirkungen vorstellen muss: Es ist zwar offensichtlich, dass Dirac- und Photonfeld sich gegenseitig beeinflussen, aber wie ist es beispielsweise möglich, dass zwei Elektronen a und b nur auf jeweils das andere kräftemässig wirken? Bestimmt ist meine Vorstellung falsch, aber wenn a A anregt, dann wirkt doch A nicht nur auf b, sondern auch auf a. Wenn das eine Anregung=ein Photon ist, ist das ja richtig, aber wenn es nur um Kraftübertragung geht... Was sehe ich hier falsch? |
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| TomS |
| Verfasst am: 31. Aug 2017 10:14 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: | | gibt es auch Vorteile der Dirac-Darstellung? |
Ja.
Der 4er-Spinor wird zunächst geschrieben als
In der Dirac-Notation und unter Annahme der nicht-relativistischen Näherung ist der untere 2er-Spinor "klein", d.h. es gilt
\,\psi_+)
Setzt man dies in die Gleichung für den oberen 2er-Spinor ein, so folgt die nicht-relativistische Pauli-Gleichung. |
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| TomS |
| Verfasst am: 31. Aug 2017 09:53 Titel: |
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Zustimmung.
Man kann Darstellungen der gamma-Matrizen ineinander überführen gemäß
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| jh8979 |
| Verfasst am: 28. Aug 2017 17:29 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: | | P&S bauen aber das ganze Buch auf der Weyl-Darstellung der gamma-Matrizen auf. - Steht unter Formel (3.25). Oder verstehe ich Dich falsch? |
1. Weyl-Fermionen sind nicht gleich Weyl-Darstellung der Gamma-Matrizen.
2. Welche Darstellung man für die Gamma-Matrizen nimmt ist egal, da man die explizite Form fast nie benutzen muss. Nur ab und zu eignen sich bestimmte Darstellungen bei bestimmten Problemen, z.B. Weyl-Darstellung wenn m=0 um die Entkopplung zu sehen => ein Dirac-Fermion = 2 Weyl-Fermionen; andere eignen sich z.B. um sich den nicht-relativistischen Grenzfall anzusehen, etc. |
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| gnt |
| Verfasst am: 28. Aug 2017 15:27 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: | | Was mir aber besonders aufgefallen ist, als ich einen Blick auf den Dirac-Strom geworfen habe: In der Weyl-Darstellung ergibt sich diese Quelle in der Bewegungsgleichung des Viererpotentials einzig aus den im Dirac-Spinor kodierten 3D-Vektoren, in der Dirac-Darstellung spielt hingegen auch die Phase der beiden Spinorkomponenten eine Rolle. Mir ist nicht klar, welche Konsequenz dieser Unterschied für A hat. Ist das auch für A nur eine Symmetrietransformation? - Nur ist mir dann nicht klar, wie die Definition von A in Abhängigkeit von E und B für die beiden Darstellungen identisch sein kann, oder wird die Eichung irgendwie angepasst? |
Ich habe gerade gemerkt, dass diese Phasenabhängigkeit eine Phasendifferenz ist, und diese immer gleich pi/2 ist, und damit heraus fällt. War also ein Irrtum!  |
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| gnt |
| Verfasst am: 28. Aug 2017 14:37 Titel: |
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| P&S bauen aber das ganze Buch auf der Weyl-Darstellung der gamma-Matrizen auf. - Steht unter Formel (3.25). Oder verstehe ich Dich falsch? |
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| jh8979 |
| Verfasst am: 28. Aug 2017 14:26 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: |
Was mir aber besonders aufgefallen ist, als ich einen Blick auf den Dirac-Strom geworfen habe: In der Weyl-Darstellung ergibt sich diese Quelle in der Bewegungsgleichung des Viererpotentials einzig aus den im Dirac-Spinor kodierten 3D-Vektoren, in der Dirac-Darstellung spielt hingegen auch die Phase der beiden Spinorkomponenten eine Rolle. Mir ist nicht klar, welche Konsequenz dieser Unterschied für A hat. Ist das auch für A nur eine Symmetrietransformation? - Nur ist mir dann nicht klar, wie die Definition von A in Abhängigkeit von E und B für die beiden Darstellungen identisch sein kann, oder wird die Eichung irgendwie angepasst?
Könntet Ihr mir das bitte erklären? |
Ich hab ehrlich gesagt keine Ahnung wovon Du hier sprichst... Ich würde mir aber im Moment noch keine so grossen Gedanken über Weil-Fermionen machen, sondern erstmal das ganze mit Dirac-Fermionen lernen. Eine Baustelle zur Zeit. |
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| gnt |
| Verfasst am: 28. Aug 2017 14:21 Titel: |
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Inzwischen habe ich die Weyl-Darstellung genauer angesehen. Der Vorteil gegenüber der Dirac-Darstellung ist vor allem bei verschwindender Masse offensichtlich, aber gibt es auch solche Vorteile der Dirac-Darstellung?
Was mir aber besonders aufgefallen ist, als ich einen Blick auf den Dirac-Strom geworfen habe: In der Weyl-Darstellung ergibt sich diese Quelle in der Bewegungsgleichung des Viererpotentials einzig aus den im Dirac-Spinor kodierten 3D-Vektoren, in der Dirac-Darstellung spielt hingegen auch die Phase der beiden Spinorkomponenten eine Rolle. Mir ist nicht klar, welche Konsequenz dieser Unterschied für A hat. Ist das auch für A nur eine Symmetrietransformation? - Nur ist mir dann nicht klar, wie die Definition von A in Abhängigkeit von E und B für die beiden Darstellungen identisch sein kann, oder wird die Eichung irgendwie angepasst?
Könntet Ihr mir das bitte erklären? |
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| gnt |
| Verfasst am: 26. Aug 2017 10:54 Titel: |
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| Gut, Danke Euch! |
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| TomS |
| Verfasst am: 25. Aug 2017 22:54 Titel: |
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@gnt:
Die Quantisierung ist dann exakt, wenn ich den Feldoperator phi(x) und den konjugierten Impuls pi(x) mit den korrekten kanonischen Vertauschungsrelationen sowie die notwendigen Observablen wie insbs. den Hamiltonoperator hingeschrieben habe; das ist letztlich trivial (*)
Die Darstellung mittels Erzeugern und Vernichtern ist eine mathematisch exakte Umformulierung für phi(x) und pi(x)
In
=\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^3}(A_k\,u_k(x) + A_k^\dagger\,\bar{u}_k(x)))
ist zu jeder beliebigen Orthonormalbasis u(x) die Definition entsprechender A bzgl. genau dieser Orthonormalbasis zulässig (**) Die Wahl einer bestimmten Basis ist lediglich deswegen sinnvoll, da sich die Rechnungen vereinfachen und/oder die Störungsreihe schneller konvergiert.
Zwei zusätzliche Schwierigkeiten, die wir jedoch auf später verschieben sollten:
(*) die Observablen sind ggf. nicht wohldefiniert und müssen regularisiert werden
(**) verschiedene Quantisierungen bzgl. unterschiedlicher Orthonormalbasen sind möglicherweise nicht unitär äquivalent |
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| index_razor |
| Verfasst am: 25. Aug 2017 22:37 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Und das bedeutet, dass man egal wie man es dreht und wendet, man nur eine näherungsweise genau quantisierte Theorie geschaffen hat. Man kann demnach einerseits niemals ein Teilchen erzeugen oder vernichten, wie es nötig wäre, um vollkommen genau zu sein,
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Was hast du nur immer mit deiner exakten Teilchenerzeugung? Was verstehst du darunter? |
Ich verstehe darunter, dass keine Näherungen verwendet werden.
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Selbst wenn man zur Konstruktion der Einteilchenzustände des kompletten Hamiltonians Näherungen verwendet, hat das noch lange nichts mit einer "ungenauen Quantisierung" zu tun. Das scheint mir einfach ein sinnloses Konzept zu sein.
| Zitat: |
Mit Näherungen habe ich aber grundsätzlich natürlich kein Problem. Mein Problem besteht darin - das hast Du oben wohl ausgeräumt -, dass ich davon ausgegangen bin, dass der Feldoperator selbst eine Näherung ist.
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Nicht der Feldoperator, sondern die Zeitentwicklung der Theorie ist nur näherungsweise handhabbar. Diese wird irgendwie zwischen Zuständen und Feldern aufgeteilt. Eine spezifische Aufteilung nennt man in der Quantenmechanik "Bild". Wenn in ) zur Zeit t die Phase  vorkommt, nennt man das "Wechselwirkungsbild" oder "Dirac-Bild". Das ist an sich noch keine Näherung, sondern bedeutet nur, daß die ganze Komplikation der Zeitentwicklung auf den Zuständen lastet, anstatt auf den Feldern. |
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| jh8979 |
| Verfasst am: 25. Aug 2017 19:41 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: | | jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | gnt hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Das Problem, keine exakten Lösungen zu kennen, hat man überall in der Physik. In der klassischen Theorie oder in der nicht-relativistischen QM. Mir ist nicht klar, ob du denkst, das sei ein Spezialproblem der QFT. |
Dass dieses Problem in weiten Teilen der Physik besteht, ist mir schon bewusst. Was ich aber nicht wusste, und mir missfällt oder mich stört, ist, dass dadurch nicht einmal die Quantisierung exakt möglich ist. Das muss ich wirklich erst einmal verdauen.
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Ich weiss nicht, wie Du das meinst. Was soll denn eine "exakt mögliche Quantisierung" sein? Eine Quantisierung ist möglich, aber man kann halt die meisten Probleme nur naeherungsweise Lösen... |
Naja, ich habe es so verstanden, dass keine allgemeingültige Lösung für z.B.  ,  und A gefunden werden kann. Damit ist, auch wenn man für die Erzeuger und Vernichter durch Anti-/Kommutatoren die Quantisierung exakt definieren kann, dennoch kein exakter Feldoperator vorhanden. Und das bedeutet, dass man egal wie man es dreht und wendet, man nur eine näherungsweise genau quantisierte Theorie geschaffen hat. Man kann demnach einerseits niemals ein Teilchen erzeugen oder vernichten, wie es nötig wäre, um vollkommen genau zu sein, und andererseits (hier bin ich unsicher - möglicherweise trifft das nicht zu, wenn die Formeln linear sind) könnte in einem allgemeinen Fall evtl. sogar die Symmetrie zwischen Erzeugung und Vernichtung verloren gehen.
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Nein. Die Theorie ist exakt: eine quantisieren Feldtheorie. Nur können damit die meisten Probleme halt nicht exakt gelöst werden, sondern nur naeherungsweise. Das ist nichts anderes als in der nicht-relativitsichen QM. Die Theorie, z.B. mit Wellenfunktion und Schroedinger-Gleichung, ist wohl definiert. Einige Probleme lassen sich exakt lösen, z.B. der Harmonische Oszillator, andere nicht, z.B. der anharmonische Oszillator. Das verhält sich in der QFT nicht anders.
Ich schlage aber immer noch vor, dass Du diese Theorie erstmal ordentlich lernst, zumindest wie man damit rechnet. Vorher wirst Du es nicht verstehen können. |
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| gnt |
| Verfasst am: 25. Aug 2017 19:19 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | gnt hat Folgendes geschrieben: |
Naja, ich habe es so verstanden, dass keine allgemeingültige Lösung für z.B. , und A gefunden werden kann. Damit ist, auch wenn man für die Erzeuger und Vernichter durch Anti-/Kommutatoren die Quantisierung exakt definieren kann, dennoch kein exakter Feldoperator vorhanden.
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Das ist einfach falsch. Was man nicht exakt kennt, ist die Zeitentwicklung des Feldoperators im Heisenberg-Bild. Das heißt aber nicht, daß mit dem Feldoperator zu irgendeinem beliebigen festen Zeitpunkt t oder der Quantisierung etwas nicht stimmt. |
Hmm. OK. Ich kann das zwar (noch) nicht nachvollziehen, aber ich will es Dir einfach glauben.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Und das bedeutet, dass man egal wie man es dreht und wendet, man nur eine näherungsweise genau quantisierte Theorie geschaffen hat. Man kann demnach einerseits niemals ein Teilchen erzeugen oder vernichten, wie es nötig wäre, um vollkommen genau zu sein,
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Was hast du nur immer mit deiner exakten Teilchenerzeugung? Was verstehst du darunter? |
Ich verstehe darunter, dass keine Näherungen verwendet werden.
Mit Näherungen habe ich aber grundsätzlich natürlich kein Problem. Mein Problem besteht darin - das hast Du oben wohl ausgeräumt -, dass ich davon ausgegangen bin, dass der Feldoperator selbst eine Näherung ist. Genauer: Ich war (und bin es zugegebenermassen innerlich irgendwie noch immer) der Meinung, dass in den Feldoperatoren die  nur für freie Felder gelten, und diese Faktoren für eine allgemeine Lösung so kompliziert sind, dass sie nicht gefunden werden können, also wählt man eine Näherung.
Aber gut, Du hast das oben schon beantwortet.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | gnt hat Folgendes geschrieben: |
Kann sein, dass ich das noch falsch verstehe: Die QFTen sind doch sowas wie ein Bauplan für einzelne Theorien wie die QED. Wenn man nun die QED konstruiert, dann gehört es doch noch zu dieser Konstruktion, Feldoperatoren zu ermitteln. Und hier treten schon zwangsläufig Näherungen auf, also noch im Prozess der Theorienkonstruktion.
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Nein, das verstehst du m.E. grundlegend falsch. Welche Probleme es auch immer bei der Konstruktion von Quantenfeldtheorien gibt, diese haben absolut nichts damit zu tun, daß in die Definition der Felder irgendwelche Näherungen eingehen müssen.
| Zitat: |
Ich halte es für eine andere Qualität, eine Näherung in der Konstruktion einer Theorie einsetzen zu müssen, als wie in Deinem Beispiel mit dem Pendel - die klassische Mechanik ist näherungsfrei formulierbar, aber ein bestimmtest Problem erfordert die Näherung. |
Da irrst du dich. Die Situation ist analog. Man muß bei der Konstruktion der Theorie "keine Näherung einsetzen". Wenn man mal von mathematischen Subtilitäten absieht (die übrigens auch nicht unbedingt speziell mit der QFT zu tun haben), ist die Theorie exakt definiert. Was Probleme bereitet, ist, eine exakte Lösung für die Theorie zu finden. |
Danke! |
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| index_razor |
| Verfasst am: 25. Aug 2017 18:29 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Übertrage deine Aussage doch einfach mal ins Schrödingerbild.
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Oder bleibe im Heisenbergbild und übertrage sie in die nicht-relativistische QM mit einem ganz schrecklich komplizierten Hamilton-Operator, sagen wir dem eines Blei-Atoms. Versuche mal die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen in diesem Fall exakt zu lösen. Das ist im wesentlichen dasselbe Problem. |
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| index_razor |
| Verfasst am: 25. Aug 2017 18:23 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: |
Kann sein, dass ich das noch falsch verstehe: Die QFTen sind doch sowas wie ein Bauplan für einzelne Theorien wie die QED. Wenn man nun die QED konstruiert, dann gehört es doch noch zu dieser Konstruktion, Feldoperatoren zu ermitteln. Und hier treten schon zwangsläufig Näherungen auf, also noch im Prozess der Theorienkonstruktion.
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Nein, das verstehst du m.E. grundlegend falsch. Welche Probleme es auch immer bei der Konstruktion von Quantenfeldtheorien gibt, diese haben absolut nichts damit zu tun, daß in die Definition der Felder irgendwelche Näherungen eingehen müssen.
| Zitat: |
Ich halte es für eine andere Qualität, eine Näherung in der Konstruktion einer Theorie einsetzen zu müssen, als wie in Deinem Beispiel mit dem Pendel - die klassische Mechanik ist näherungsfrei formulierbar, aber ein bestimmtest Problem erfordert die Näherung. |
Da irrst du dich. Die Situation ist analog. Man muß bei der Konstruktion der Theorie "keine Näherung einsetzen". Wenn man mal von mathematischen Subtilitäten absieht (die übrigens auch nicht unbedingt speziell mit der QFT zu tun haben), ist die Theorie exakt definiert. Was Probleme bereitet, ist, eine exakte Lösung für die Theorie zu finden. |
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| index_razor |
| Verfasst am: 25. Aug 2017 18:16 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: |
Naja, ich habe es so verstanden, dass keine allgemeingültige Lösung für z.B. , und A gefunden werden kann. Damit ist, auch wenn man für die Erzeuger und Vernichter durch Anti-/Kommutatoren die Quantisierung exakt definieren kann, dennoch kein exakter Feldoperator vorhanden.
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Das ist einfach falsch. Was man nicht exakt kennt, ist die Zeitentwicklung des Feldoperators im Heisenberg-Bild. Das heißt aber nicht, daß mit dem Feldoperator zu irgendeinem beliebigen festen Zeitpunkt t oder der Quantisierung etwas nicht stimmt. Übertrage deine Aussage doch einfach mal ins Schrödingerbild. Physikalisch macht das keinen Unterschied, aber die Feldoperatoren sind zu allen Zeiten konstant  = \phi(\vec{x},0)) . Natürlich hat man nun die Probleme mit der Zeitentwicklung des Zustands. Aber das sind dieselben Probleme, die man im Prinzip auch in der nicht-relativistischen QM und im wesentlichen sogar in der klassischen Physik hat. Sobald mehr als zwei Dinge miteinander interagieren, wird es schnell kompliziert.
| Zitat: |
Und das bedeutet, dass man egal wie man es dreht und wendet, man nur eine näherungsweise genau quantisierte Theorie geschaffen hat. Man kann demnach einerseits niemals ein Teilchen erzeugen oder vernichten, wie es nötig wäre, um vollkommen genau zu sein,
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Was hast du nur immer mit deiner exakten Teilchenerzeugung? Was verstehst du darunter? "Teilchen" sind einfach nur irgendwelche Quantenzustände, die ein bestimmtes Transformationsverhalten unter Poincare-Transformationen aufweisen. Es gibt keine "exakten" oder "unexakten" Teilchen. (Was du vielleicht meinst ist, daß sich das Spektrum des Hamiltonoperators, und damit auch die Eigenschaften dieser "Teilchen", drastisch ändern kann, wenn sich die Wechselwirkung ändert. Aber das ist auch eigentlich nicht anders zu erwarten. Ich sehe keinen Grund, da so ein Mysterium draus zu machen.) Selbst Quantenfeldtheorie ohne irgendwelche "Teilchen" ist kein grundsätzliches Problem.
| Zitat: |
und andererseits (hier bin ich unsicher - möglicherweise trifft das nicht zu, wenn die Formeln linear sind) könnte in einem allgemeinen Fall evtl. sogar die Symmetrie zwischen Erzeugung und Vernichtung verloren gehen.
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Was soll die "Symmetrie" zwischen "Erzeugung" und "Vernichtung" sein? Und was hat sie mit der Linearität zu tun? Ich verstehe überhaupt nicht, wovon du hier sprichst. |
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| gnt |
| Verfasst am: 25. Aug 2017 17:59 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Besteht für dich ein prinzipieller Unterschied zu der Situation, daß man bei einem gekoppelten Pendel im Prinzip die Bahn jedes einzelnen Pendels kennen muß um die Bahn des anderen zu bestimmen oder -- anders formuliert -- , daß man eben beide gleichzeitig bestimmen muß? |
Nein. Oder insofern ja, als dass das Problem schon auftritt, bevor man zu konkreten Fragestellungen an die Natur kommt.
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Was heißt "insofern ja"? Das Problem, von dem du sprichst ist nichts anderes als die Kopplung der relevanten Freiheitsgrade innerhalb der Bewegungsgleichungen. Diese Kopplung kann man praktisch als Definition von "Wechselwirkung" ansehen. Das ist doch kein störendes Ärgernis, welches in "weiten Teilen der Physik" auftritt; das ist Physik. |
Kann sein, dass ich das noch falsch verstehe: Die QFTen sind doch sowas wie ein Bauplan für einzelne Theorien wie die QED. Wenn man nun die QED konstruiert, dann gehört es doch noch zu dieser Konstruktion, Feldoperatoren zu ermitteln. Und hier treten schon zwangsläufig Näherungen auf, also noch im Prozess der Theorienkonstruktion. Ich halte es für eine andere Qualität, eine Näherung in der Konstruktion einer Theorie einsetzen zu müssen, als wie in Deinem Beispiel mit dem Pendel - die klassische Mechanik ist näherungsfrei formulierbar, aber ein bestimmtest Problem erfordert die Näherung. |
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| gnt |
| Verfasst am: 25. Aug 2017 17:47 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | gnt hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Das Problem, keine exakten Lösungen zu kennen, hat man überall in der Physik. In der klassischen Theorie oder in der nicht-relativistischen QM. Mir ist nicht klar, ob du denkst, das sei ein Spezialproblem der QFT. |
Dass dieses Problem in weiten Teilen der Physik besteht, ist mir schon bewusst. Was ich aber nicht wusste, und mir missfällt oder mich stört, ist, dass dadurch nicht einmal die Quantisierung exakt möglich ist. Das muss ich wirklich erst einmal verdauen.
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Ich weiss nicht, wie Du das meinst. Was soll denn eine "exakt mögliche Quantisierung" sein? Eine Quantisierung ist möglich, aber man kann halt die meisten Probleme nur naeherungsweise Lösen... |
Naja, ich habe es so verstanden, dass keine allgemeingültige Lösung für z.B. , und A gefunden werden kann. Damit ist, auch wenn man für die Erzeuger und Vernichter durch Anti-/Kommutatoren die Quantisierung exakt definieren kann, dennoch kein exakter Feldoperator vorhanden. Und das bedeutet, dass man egal wie man es dreht und wendet, man nur eine näherungsweise genau quantisierte Theorie geschaffen hat. Man kann demnach einerseits niemals ein Teilchen erzeugen oder vernichten, wie es nötig wäre, um vollkommen genau zu sein, und andererseits (hier bin ich unsicher - möglicherweise trifft das nicht zu, wenn die Formeln linear sind) könnte in einem allgemeinen Fall evtl. sogar die Symmetrie zwischen Erzeugung und Vernichtung verloren gehen.
Ich habe aber gerade noch eine andere Frage, die in dem Buch wegen der Einheitenwahl mit  nicht deutlich wird. Bei den Anti-/Kommutatoren der Feldoperatoren und Erzeuger und Vernichter gehört ja eigentlich ein  hin. Ist das sonst auch noch wo der Fall? |
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| index_razor |
| Verfasst am: 25. Aug 2017 17:40 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Das Problem, keine exakten Lösungen zu kennen, hat man überall in der Physik. In der klassischen Theorie oder in der nicht-relativistischen QM. Mir ist nicht klar, ob du denkst, das sei ein Spezialproblem der QFT. |
Dass dieses Problem in weiten Teilen der Physik besteht, ist mir schon bewusst. Was ich aber nicht wusste, und mir missfällt oder mich stört, ist, dass dadurch nicht einmal die Quantisierung exakt möglich ist. Das muss ich wirklich erst einmal verdauen.
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Das kann ich auch nicht ganz nachvollziehen. Wenn man nach der Zeitentwicklung irgendwelcher Quantenfelder fragt, dann hat man doch schon eine Quantisierung.
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Besteht für dich ein prinzipieller Unterschied zu der Situation, daß man bei einem gekoppelten Pendel im Prinzip die Bahn jedes einzelnen Pendels kennen muß um die Bahn des anderen zu bestimmen oder -- anders formuliert -- , daß man eben beide gleichzeitig bestimmen muß? |
Nein. Oder insofern ja, als dass das Problem schon auftritt, bevor man zu konkreten Fragestellungen an die Natur kommt.
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Was heißt "insofern ja"? Das Problem, von dem du sprichst ist nichts anderes als die Kopplung der relevanten Freiheitsgrade innerhalb der Bewegungsgleichungen. Diese Kopplung kann man praktisch als Definition von "Wechselwirkung" ansehen. Das ist doch kein störendes Ärgernis, welches in "weiten Teilen der Physik" auftritt; das ist Physik. |
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| jh8979 |
| Verfasst am: 25. Aug 2017 17:03 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Das Problem, keine exakten Lösungen zu kennen, hat man überall in der Physik. In der klassischen Theorie oder in der nicht-relativistischen QM. Mir ist nicht klar, ob du denkst, das sei ein Spezialproblem der QFT. |
Dass dieses Problem in weiten Teilen der Physik besteht, ist mir schon bewusst. Was ich aber nicht wusste, und mir missfällt oder mich stört, ist, dass dadurch nicht einmal die Quantisierung exakt möglich ist. Das muss ich wirklich erst einmal verdauen.
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Ich weiss nicht, wie Du das meinst. Was soll denn eine "exakt mögliche Quantisierung" sein? Eine Quantisierung ist möglich, aber man kann halt die meisten Probleme nur naeherungsweise Lösen... |
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| gnt |
| Verfasst am: 25. Aug 2017 16:53 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Das Problem, keine exakten Lösungen zu kennen, hat man überall in der Physik. In der klassischen Theorie oder in der nicht-relativistischen QM. Mir ist nicht klar, ob du denkst, das sei ein Spezialproblem der QFT. |
Dass dieses Problem in weiten Teilen der Physik besteht, ist mir schon bewusst. Was ich aber nicht wusste, und mir missfällt oder mich stört, ist, dass dadurch nicht einmal die Quantisierung exakt möglich ist. Das muss ich wirklich erst einmal verdauen.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Besteht für dich ein prinzipieller Unterschied zu der Situation, daß man bei einem gekoppelten Pendel im Prinzip die Bahn jedes einzelnen Pendels kennen muß um die Bahn des anderen zu bestimmen oder -- anders formuliert -- , daß man eben beide gleichzeitig bestimmen muß? |
Nein. Oder insofern ja, als dass das Problem schon auftritt, bevor man zu konkreten Fragestellungen an die Natur kommt.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
Weil in Deiner Beschreibung wird ja die Kraft (oder wie man das hier nennen sollte) zu einer nicht der Theorie entsprungenen Grösse. Eigentlich sollte doch (den Punkt habe ich auch noch nicht verstanden), aus A sowohl die Kraft als auch Photonen folgen. Wenn man jetzt das Coulomb-Feld klassisch hinzufügt, hat man dann den Teil nicht doppelt, weil ja A auch noch wirkt... ? |
Nein, man zählt nichts doppelt. Man geht lediglich davon aus, daß Strahlungskorrekturen, die man mit Hilfe der quantenmechanischen Beschreibung der Dynamik des EM-Feldes berechnen will, lediglich einen keinen Effekt zusätzlich zu dem statischen Coulomb-Potential, durch den das Elektron an das Proton gebunden wird, beisteuern. Wenn das nicht der Fall ist, dann versagt der ganze Ansatz. |
Ah, OK, das hatte Tom offenbar mit der Formulierung "als Fluktuationen auf dem Coulomb-Feld" gemeint. |
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| index_razor |
| Verfasst am: 25. Aug 2017 15:59 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Ich denke man kann V, wenn man will, als "Potential" für die Wechselwirkung bezeichnen. Es hat aber erstmal mit "einer weiteren Feldgleichung" nichts zu tun, auch wenn die Felder aus denen man V konstruiert im allgemeinen relativistische Feldgleichungen erfüllen. |
Mein Punkt ist eigentlich der, dass man bei wechselwirkenden Feldern - sofern ich das richtig sehe - prinzipiell keine explizite, exakte Formel für den Feldoperator errechnen kann.
|
Ja, das stimmt schon. Gekoppelte Feldgleichungen sind eben einfach schwierig zu lösen, bzw. nur in einfachen Fällen oder eben näherungsweise. Aus diesem Grunde macht man ja normalerweise Störungstheorie. Das Problem, keine exakten Lösungen zu kennen, hat man überall in der Physik. In der klassischen Theorie oder in der nicht-relativistischen QM. Mir ist nicht klar, ob du denkst, das sei ein Spezialproblem der QFT.
| Zitat: |
Sowohl bei den Fermionfeldern als auch beim Photonfeld ist dabei immer dieser lästige Wechselwirkungsterm, der eine separate Lösung unmöglich macht, im Weg. Zumindest erkenne ich jetzt nicht, wie man ohne bekannte Lösung für das jeweils andere Feld zu einem Feldoperator kommen kann.
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Gar nicht. Man müßte im Prinzip alle Gleichungen simultan lösen, wenn man an einer exakten Lösung interessiert ist. Besteht für dich ein prinzipieller Unterschied zu der Situation, daß man bei einem gekoppelten Pendel im Prinzip die Bahn jedes einzelnen Pendels kennen muß um die Bahn des anderen zu bestimmen oder -- anders formuliert -- , daß man eben beide gleichzeitig bestimmen muß?
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Wie funktioniert so etwas vom Prinzip her? Oder grob skizziert am Beispiel des Wasserstoffatoms? Wie würde z.B. ein n=2 Wasserstoffatom beschrieben, bei dem man den Übergang nach n=1 "beobachten" könnte? |
Wie meinst du das? Übergänge kann man normalerweise nur beobachten, wenn keine Energieeigenzustände vorliegen. Das hat aber, denke ich, erstmal wenig mit Quantenelektrodynamik zu tun. Diese benötigt man eher um Korrekturen zu den Energieniveaus zu berechnen, die man aus der nichtrelativistischen QM berechnet hat. |
Mit "beobachten" meinte ich nicht messtechnisch, sondern rein mathematisch, wie die zeitliche Entwicklung verläuft. Vom Prinzip her wie die zeitliche Entwicklung des Zustandsvektors im Falle der nicht-relativistischen QM.
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Die Frage enthält auch bereits die Antwort. Quantenfeldtheorie ist zuallererst Quantentheorie -- mit Zuständen, Hilberträumen, und Hamilton-Operatoren. Der Unterschied zwischen "relativistisch" und "nichtrelativistisch" äußert sich in den zugrunde liegenden Raumzeitsymmetrien, nach denen man Zustände klassifiziert. Diese Symmetrien strukturieren den Hilbertraum, schränken die möglichen Hamilton-Operatoren ein (im relativistischen Fall, deutlich stärker, als im nicht-relativistischen), aber sie ändern überhaupt nichts prinzipielles daran, wie man die Zeitentwicklung von Zuständen zu behandeln hat.
Dazu, wie die technische Behandlung des Wasserstoffatoms erfolgt, hat ja TomS schon einiges gesagt.
| Zitat: |
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Hier geht man etwas anders vor: man betrachtet zunächst das Proton sowie dessen Coulomb-Feld klassisch. Dann quantisiert man das Dirac-Feld nach der o.g. Methode, allerdings verwendet man nicht freie ebene Wellen, sondern der Symmetrie des Problems angepasste Lösungen der Dirac-Gleichung im Coulomb-Feld. Ebenso quantisiert man das elektromagnetische Feld nicht als Fluktuationen auf dem Vakuum sondern als Fluktuationen (gekennzeichnet durch ~) auf dem Coulomb-Feld, d.h. ... |
Das erscheint mir für speziell dieses Problem sinnvoll.
Es gibt ja aber auch ganz extreme Beispiele, wie es bei den Experimenten in Teilchenbeschleunigern der Fall ist. Dort weiss man im Vorhinein ja nicht, wie ausgeformte (klassische) Potentiale auftreten. Deshalb dachte ich, dass all' die denkbaren Möglichkeiten aus H "hervorploppen" müssten.
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Das ist auch so. Auch beim Wasserstoffatom weiß man nicht, daß man den Einfluß des Protons im wesentlichen als klassisches Coulomb-Potential ansetzen kann, bevor man das innerhalb der Quantenelektrodynamik gezeigt hat. Dieses klassische Potential "ploppt" dann unter den Bedingungen, die im Wassertsoffatom gelten aus der Theorie hervor.
Die Begründung für diese Tatsache ist aber nicht gerade unkompliziert.
| Zitat: |
Also, vom Prinzip her so, wie Du das geschrieben hast, nur statt mit dem bekannten Coulomb-Feld des Protons mit einem unbekannten/undefinierten, dynamischen A.
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Ja, genauso funktioniert das. Und dann stellt man fest, daß wenn man es mit einem nichtrelativistischen schweren Teilchen zu tun hat, welches einen elektromagnetischen Bindungszustand mit einem leichten Teilchen eingehen kann, man ersteres genauso gut einfach als Quelle eines äußeren klassisches Coulomb-Potentials ansetzen kann. Das ist natürlich eine Näherung, aber ohne Näherungen kommt man allgemein nicht weit, wenn man das elektromagnetische Feld als eigenständigen Freiheitsgrad behandeln will.
| Zitat: |
Weil in Deiner Beschreibung wird ja die Kraft (oder wie man das hier nennen sollte) zu einer nicht der Theorie entsprungenen Grösse. Eigentlich sollte doch (den Punkt habe ich auch noch nicht verstanden), aus A sowohl die Kraft als auch Photonen folgen. Wenn man jetzt das Coulomb-Feld klassisch hinzufügt, hat man dann den Teil nicht doppelt, weil ja A auch noch wirkt... ? |
Nein, man zählt nichts doppelt. Man geht lediglich davon aus, daß Strahlungskorrekturen, die man mit Hilfe der quantenmechanischen Beschreibung der Dynamik des EM-Feldes berechnen will, lediglich einen keinen Effekt zusätzlich zu dem statischen Coulomb-Potential, durch den das Elektron an das Proton gebunden wird, beisteuern. Wenn das nicht der Fall ist, dann versagt der ganze Ansatz. |
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| jh8979 |
| Verfasst am: 25. Aug 2017 14:29 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: | Vielen Dank für Euere Antworten!
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | gnt hat Folgendes geschrieben: | | Ich hege die Befürchtung, dass all das analytisch zu berechnen, und darzustellen völlig unmöglich ist. |
So gut wie immer richtig. Daher macht man Störungstheorie. Kommt im Peskin in Kapitel 4. |
In dieses Kapitel habe ich auch schon ein wenig hinein gelesen. Soweit ich das erkennen kann, geht es darin aber nur um Streuprozesse, und wie man dafür Näherungen entwickelt, jedoch ohne auf die Zustände, insbesondere gebundene einzugehen. - Aber vielleicht erkenne ich das nur noch nicht...
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Das ist richtig. Weil gebundene Zustände viel schwerer zu beschreiben sind. Ich würde daher an Deiner Stelle erstmal die QFT anhand von Streuprozessen versuchen zu verstehen. Da hast Du erstmal genug zu tun mit. |
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| gnt |
| Verfasst am: 25. Aug 2017 14:12 Titel: |
|
Vielen Dank für Euere Antworten!
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | gnt hat Folgendes geschrieben: | | Ich hege die Befürchtung, dass all das analytisch zu berechnen, und darzustellen völlig unmöglich ist. |
So gut wie immer richtig. Daher macht man Störungstheorie. Kommt im Peskin in Kapitel 4. |
In dieses Kapitel habe ich auch schon ein wenig hinein gelesen. Soweit ich das erkennen kann, geht es darin aber nur um Streuprozesse, und wie man dafür Näherungen entwickelt, jedoch ohne auf die Zustände, insbesondere gebundene einzugehen. - Aber vielleicht erkenne ich das nur noch nicht...
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Ich denke man kann V, wenn man will, als "Potential" für die Wechselwirkung bezeichnen. Es hat aber erstmal mit "einer weiteren Feldgleichung" nichts zu tun, auch wenn die Felder aus denen man V konstruiert im allgemeinen relativistische Feldgleichungen erfüllen. |
Mein Punkt ist eigentlich der, dass man bei wechselwirkenden Feldern - sofern ich das richtig sehe - prinzipiell keine explizite, exakte Formel für den Feldoperator errechnen kann. Sowohl bei den Fermionfeldern als auch beim Photonfeld ist dabei immer dieser lästige Wechselwirkungsterm, der eine separate Lösung unmöglich macht, im Weg. Zumindest erkenne ich jetzt nicht, wie man ohne bekannte Lösung für das jeweils andere Feld zu einem Feldoperator kommen kann.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Wie funktioniert so etwas vom Prinzip her? Oder grob skizziert am Beispiel des Wasserstoffatoms? Wie würde z.B. ein n=2 Wasserstoffatom beschrieben, bei dem man den Übergang nach n=1 "beobachten" könnte? |
Wie meinst du das? Übergänge kann man normalerweise nur beobachten, wenn keine Energieeigenzustände vorliegen. Das hat aber, denke ich, erstmal wenig mit Quantenelektrodynamik zu tun. Diese benötigt man eher um Korrekturen zu den Energieniveaus zu berechnen, die man aus der nichtrelativistischen QM berechnet hat. |
Mit "beobachten" meinte ich nicht messtechnisch, sondern rein mathematisch, wie die zeitliche Entwicklung verläuft. Vom Prinzip her wie die zeitliche Entwicklung des Zustandsvektors im Falle der nicht-relativistischen QM.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | gnt hat Folgendes geschrieben: | | Hätte man ein äusseres Potential, würde man wohl zwei Arten von Lösungen für Feldoperatoren bekommen - freie und gebundene, wie man in der nicht-relativistischen QM Lösungen für positive und negative Energieeigenwerte bekommt. ... Oder grob skizziert am Beispiel des Wasserstoffatoms? |
Hier geht man etwas anders vor: man betrachtet zunächst das Proton sowie dessen Coulomb-Feld klassisch. Dann quantisiert man das Dirac-Feld nach der o.g. Methode, allerdings verwendet man nicht freie ebene Wellen, sondern der Symmetrie des Problems angepasste Lösungen der Dirac-Gleichung im Coulomb-Feld. Ebenso quantisiert man das elektromagnetische Feld nicht als Fluktuationen auf dem Vakuum sondern als Fluktuationen (gekennzeichnet durch ~) auf dem Coulomb-Feld, d.h. ... |
Das erscheint mir für speziell dieses Problem sinnvoll.
Es gibt ja aber auch ganz extreme Beispiele, wie es bei den Experimenten in Teilchenbeschleunigern der Fall ist. Dort weiss man im Vorhinein ja nicht, wie ausgeformte (klassische) Potentiale auftreten. Deshalb dachte ich, dass all' die denkbaren Möglichkeiten aus H "hervorploppen" müssten. Also, vom Prinzip her so, wie Du das geschrieben hast, nur statt mit dem bekannten Coulomb-Feld des Protons mit einem unbekannten/undefinierten, dynamischen A.
Weil in Deiner Beschreibung wird ja die Kraft (oder wie man das hier nennen sollte) zu einer nicht der Theorie entsprungenen Grösse. Eigentlich sollte doch (den Punkt habe ich auch noch nicht verstanden), aus A sowohl die Kraft als auch Photonen folgen. Wenn man jetzt das Coulomb-Feld klassisch hinzufügt, hat man dann den Teil nicht doppelt, weil ja A auch noch wirkt... ? |
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| TomS |
| Verfasst am: 25. Aug 2017 09:27 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: | | Zum Konzept muss ich noch etwas fragen, nämlich wie Wechselwirkungen in Bezug auf Zustände und Teilchenerzeugung zu behandeln sind |
In der QED setzt man die Lösungen der freien Dirac-Gleichung (s.o.) sowie die Lösung der freien Maxwell-Gleichungen zur Quantisierung der Felder an. der Wechselwirkungsterm jA ist bilinear in der Dirac-Feldern und linear in den Eichfeldern, d.h. er enthält drei Erzeuger und/oder Vernichter.
| gnt hat Folgendes geschrieben: | | Hätte man ein äusseres Potential, würde man wohl zwei Arten von Lösungen für Feldoperatoren bekommen - freie und gebundene, wie man in der nicht-relativistischen QM Lösungen für positive und negative Energieeigenwerte bekommt. ... Oder grob skizziert am Beispiel des Wasserstoffatoms? |
Hier geht man etwas anders vor: man betrachtet zunächst das Proton sowie dessen Coulomb-Feld klassisch. Dann quantisiert man das Dirac-Feld nach der o.g. Methode, allerdings verwendet man nicht freie ebene Wellen, sondern der Symmetrie des Problems angepasste Lösungen der Dirac-Gleichung im Coulomb-Feld. Ebenso quantisiert man das elektromagnetische Feld nicht als Fluktuationen auf dem Vakuum sondern als Fluktuationen (gekennzeichnet durch ~) auf dem Coulomb-Feld, d.h.
wiederum mit der Symmetrie des Problems angepasste Lösungen der Maxwell-Gleichung.
Letztlich verwendet man also zur Quantisierung der Felder eine andere Basis, d.h. die ebenen Wellen in
=\int\frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}(a_p e^{i p x}+a_p^\dagger e^{-i p x}))
werden durch ein angepasstes, ebenfalls vollständiges Funktionensystem ersetzt
Die Erzeuger (Vernichter) erzeugen (vernichten) dann andere Fluktuationen, nämlich die u's statt der üblichen ebenen Wellen. Die A's erfüllen die selben Kommutatorrelationen. Das Integral über p wird durch eine Integral (plus ggf. eine Summe) über einen allgemeinen kontinuierlichen (diskreten) Index ersetzt. |
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| index_razor |
| Verfasst am: 25. Aug 2017 00:16 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: |
Zum Konzept muss ich noch etwas fragen, nämlich wie Wechselwirkungen in Bezug auf Zustände und Teilchenerzeugung zu behandeln sind:
Hätte man ein äusseres Potential, würde man wohl zwei Arten von Lösungen für Feldoperatoren bekommen - freie und gebundene, wie man in der nicht-relativistischen QM Lösungen für positive und negative Energieeigenwerte bekommt. in der QFT fehlt aber ein Potential - wenn ich das richtig sehe, weiss man eigentlich gar nichts, nur dass eine weitere Feldgleichung gilt.
|
Der freie Hamiltonian hat die Form (Definitionen von  wie im Weinberg)
Dieser ist so definiert, daß die freien N-Teilchen-Zustände  Eigenzustände zur Gesamtenergie
sind. Wechselwirkungen beschreibt man dadurch, daß man weitere Terme
\\ \times a^\dagger_{p_{i_1},\sigma_{i_i},n_{i_1}}\cdots a^\dagger_{p_{i_N},\sigma_{i_N}, n_{i_N}}a_{p_{k_1},\sigma_{k_1},n_{k_1}}\cdots a_{p_{k_M},\sigma_{k_M},n_{k_M}})
hinzufügt, die im allgemeinen M Teilchen vernichten und N neue erzeugen. Die Koeffizienten-Funktionen  müssen bestimmte physikalisch wichtige Eigenschaften erfüllen, die z.B. mit der Lorentz-Invarianz und dem Clusterzerlegungsprinzip zu tun haben. Aus beiden Gründen konstruiert man V normalerweise aus lokalen Feldern. Ich denke man kann V, wenn man will, als "Potential" für die Wechselwirkung bezeichnen. Es hat aber erstmal mit "einer weiteren Feldgleichung" nichts zu tun, auch wenn die Felder aus denen man V konstruiert im allgemeinen relativistische Feldgleichungen erfüllen. Dies können aber durchaus freie Gleichungen sein, denn wenn die Zerlegung  sinnvoll ist, bedeutet das normalerweise, daß man im Dirac-Bild rechnen kann und in diesem gehorchen alle Operatoren den Bewegungsgleichungen des freien Hamilton-Operators, also gilt
 = e^{iH_0 t}\psi(x,0)e^{-iH_0 t}.)
(Das muß aber nicht immer vorteilhaft sein.)
| Zitat: |
Wie funktioniert so etwas vom Prinzip her? Oder grob skizziert am Beispiel des Wasserstoffatoms? Wie würde z.B. ein n=2 Wasserstoffatom beschrieben, bei dem man den Übergang nach n=1 "beobachten" könnte? |
Wie meinst du das? Übergänge kann man normalerweise nur beobachten, wenn keine Energieeigenzustände vorliegen. Das hat aber, denke ich, erstmal wenig mit Quantenelektrodynamik zu tun. Diese benötigt man eher um Korrekturen zu den Energieniveaus zu berechnen, die man aus der nichtrelativistischen QM berechnet hat. |
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| jh8979 |
| Verfasst am: 24. Aug 2017 20:31 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: | | Ich hege die Befürchtung, dass all das analytisch zu berechnen, und darzustellen völlig unmöglich ist. |
So gut wie immer richtig. Daher macht man Störungstheorie. Kommt im Peskin in Kapitel 4. |
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| gnt |
| Verfasst am: 24. Aug 2017 16:43 Titel: |
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Mir ist schon ganz  vom vielen Lesen und den Formeln.
Zum Konzept muss ich noch etwas fragen, nämlich wie Wechselwirkungen in Bezug auf Zustände und Teilchenerzeugung zu behandeln sind:
Hätte man ein äusseres Potential, würde man wohl zwei Arten von Lösungen für Feldoperatoren bekommen - freie und gebundene, wie man in der nicht-relativistischen QM Lösungen für positive und negative Energieeigenwerte bekommt. in der QFT fehlt aber ein Potential - wenn ich das richtig sehe, weiss man eigentlich gar nichts, nur dass eine weitere Feldgleichung gilt.
Wie funktioniert so etwas vom Prinzip her? Oder grob skizziert am Beispiel des Wasserstoffatoms? Wie würde z.B. ein n=2 Wasserstoffatom beschrieben, bei dem man den Übergang nach n=1 "beobachten" könnte? Wie konstruiert man so etwas, obwohl: Ich hege die Befürchtung, dass all das analytisch zu berechnen, und darzustellen völlig unmöglich ist. |
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| index_razor |
| Verfasst am: 21. Aug 2017 21:07 Titel: |
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| Oh, danke für den Hinweis. Es war mir nicht mehr bewußt, daß Peskin, Schroeder hier eine andere Konvention verwenden. (Habe das Buch gerade nicht zur Hand.) |
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| jh8979 |
| Verfasst am: 21. Aug 2017 21:03 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Huch, in der Tat. Der Faktor vor der e-Funktion müßte lauten
gnt, bei dir fehlte auch die Wurzel über dem  . |
Bevor die nächste Frage kommt:
P&S haben andere Konventionen wo die 2*pi hinkommen. Bei P&S steht immer ein dp/(2*pi) pro Dimension, bei index_razor (wie im Weinberg) dp/√(2*pi). |
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| index_razor |
| Verfasst am: 21. Aug 2017 20:41 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | gnt hat Folgendes geschrieben: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Mehrteilchenzustände kann man also durch wiederholtes Anwenden von
 = \int \frac{\dd^3 p}{2 \sqrt{\pi^3 p^0}} e^{ipx}a^\dagger_{p})
|
Ist der Nenner richtig oder vertippt? Das sieht hier in P&S anders aus.
|
Vertippt... |
Huch, in der Tat. Der Faktor vor der e-Funktion müßte lauten
gnt, bei dir fehlte auch die Wurzel über dem . |
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| gnt |
| Verfasst am: 21. Aug 2017 18:38 Titel: |
|
Danke!
Dann bin ich wieder beim Lesen... |
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| jh8979 |
| Verfasst am: 21. Aug 2017 18:32 Titel: |
|
| gnt hat Folgendes geschrieben: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Mehrteilchenzustände kann man also durch wiederholtes Anwenden von
|
Ist der Nenner richtig oder vertippt? Das sieht hier in P&S anders aus.
|
Vertippt... |
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| gnt |
| Verfasst am: 21. Aug 2017 18:27 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | phi(x) ist kein Erzeugungsoperator. Nur die "positiven Frequenzanteile"
(proportional zu  ) erzeugen Teilchen, die negativen Frequenzanteile vernichten die zugehörgen Antiteilchen. |
Danke!
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Mehrteilchenzustände kann man also durch wiederholtes Anwenden von
|
Ist der Nenner richtig oder vertippt? Das sieht hier in P&S anders aus.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
auf den Vakuumzustand erhalten, z.B.
\phi^+(x)|0\rangle = |y,x\rangle)
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Gut, danke, dann funktioniert das demnach mit |0\rangle) also nur auf dem Vakuum. |
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| jh8979 |
| Verfasst am: 21. Aug 2017 18:25 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: |
Ich verstehe es so, dass  ein Teilchen mit Impuls p erzeugt, das jedoch nicht lokalisiert ist - eine ebene Welle im Raum. Und dass durch die Superposition des Impuls-Wellenpakets ein Teilchen erzeugt, das am Ort x lokalisiert ist, wobei: Dieses ist nicht scharf, sondern hat eine impulsabhängige "Standardbreite" - Ist das richtig? |
Ja. Weil  die Eigenschaften hat. die ein "Teilchen mit Impuls p" haben sollte (z.B. Hat Impuls p, Energie E gegeben durch relativistische Energie-Impuls-Beziehung), sagen wir per Definition  erzeugt ein "Teilchen mit Impuls p"
Analog für "Teilchen am Ort x":  \left| 0 \right>) ist im nichtrelativistischen Limit gerade  . Daher sagen wir per Definition ) erzeugt ein "Teilchen am Ort x".
Dies sind Definitionen was wir mit "Teilchen mit Impuls p" und "Teilchen am Ort x" meinen. |
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| gnt |
| Verfasst am: 21. Aug 2017 18:17 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Lies Dir nochmal die beiden Absätze unter (2.33) und den Rest von Seite 24 ab "Finally, let us consider..." durch. Das sollte helfen. |
Danke, aber das hilft mir leider nicht.
Ich verstehe es so, dass ein Teilchen mit Impuls p erzeugt, das jedoch nicht lokalisiert ist - eine ebene Welle im Raum. Und dass durch die Superposition des Impuls-Wellenpakets ein Teilchen erzeugt, das am Ort x lokalisiert ist, wobei: Dieses ist nicht scharf, sondern hat eine impulsabhängige "Standardbreite" - Ist das richtig?
Das einzige was mir sonst noch als Ergebnis als möglich erscheint, ist eine additive Überlagerung:
^3}\frac{1}{2 E_{p}}\left(e^{-i p x_2}+e^{-i p x_1}\right)|p\rangle)
Bin ich damit näher dran? |
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