 Verfasst am: 24. März 2017 11:49 Titel: |
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| Vielen Dank für die Erklärungen! Dann schaue ich, dass ich wieder durch Lesen etwas weiter komme. |
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| Verfasst am: 24. März 2017 06:34 Titel: |
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Ja.
Im Falle des harmonischen Oszillators liefert das o.g. h_p bekanntermaßen eine Kombination aus kinetischer und potentieller Energie. In der QFT interpretiert man den selben Term als kinetische Energie im wechselwirkungsfreien Fall. Man spricht dann auch nicht von potentieller Energie, sondern von Wechselwirkungstermen, da kein äußeres Potential vorliegt. Die Konstruktion von Wechselwirkungstermen erfolgt mittels der Lagrangedichte auf Ebene der Felder, da man nur so alle notwendigen Symmetrien (Poincareinvarianz, Eichsymmetrie) einfach und offensichtlich berücksichtigen kann. Das Umschreiben mittels Erzeugern und Vernichtern ist dann ein zweiter Schritt: ableiten der Hamiltonfunktion H aus der Lagrangefunktion; darstellen der Feldoperatoren durch Fourierintegrale in dp über Erzeugern und Vernichter; ausführen aller dx-Integrale aus H; daraus resultiert ein Ausdruck mit dp-Integralen und Erzeugern und Vernichtern. Wechselwirkungsterme enthalten dabei Produkte aus mindestens drei Feldoperatoren. Im Falle der QED erhält man aus der WW des Eichfeldes A(x) mit dem fermionischen Strom j(x) z.B. Terme der Form (a_p steht für einen Vernichter des Photonfeldes, es gibt noch weitere strukturell ähnliche Terme w.g. Symmetrien, hermitesche Konjugation usw.) Der fermionische Strom im Impulsraum liefert (c_pq sind Konstanten) D.h. in Summe steht da ein trilinearer Ausdruck in Erzeugern und Vernichtern. Das liefert im Rahmen der Störungstheorie genau den Elektron-Positron-Photon-Vertex für die Feynmandiagramme. Der Coulombterm liefert soetwas wie Das q^-2 entspricht der Greensfunktion des Coulombpotentials. (wie übliche sind alle Lorentz- und Spin-Indizes unterdrückt)
Nein, diese Normalordnung benötigt man bereits in der freien Theorie, um die 1/2 aus dem harmonischen Oszillator loszuwerden, was zu einer unendlichen Konstante führen würde. Die Regularisierung der Wechselwirkungsterme ist jedoch teilweise komplizierter, da man dabei keine Symmetrien brechen darf. |
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| Verfasst am: 23. März 2017 23:35 Titel: |
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| Schön, Danke! Ich glaube, das habe ich verstanden, habe aber trotzdem ein paar Fragen: - Kann man das H so wie es hier steht, für die Zeitentwicklung eines Zustands einsetzen? - Es ist zwar offensichtlich, dass H die kinetische Gesamtenergie liefert, aber nicht die potentielle. Ergibt sich diese automatisch durch Einführung des u.a. Photonfeldes mit Kopplung an diese N? - Wobei ich jetzt nicht sehe, wie das so direkt gehen könnte. - Es gibt doch eine Regel, nach der man Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in eben dieser Reihenfolge von links nach rechts notieren muss. Spielt diese Regel erst bei Wechselwirkungen eine Rolle (weil hier hat man ja nur Summen von verschiedenen N)? |
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| Verfasst am: 23. März 2017 21:01 Titel: |
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Irgendwann werden es auch bei Weinberg Feldoperatoren Die Feldgleichungen gelten dann auch für die Operatoren (bis auf Regularisierung, Renormierung, mögliche Quantisierungsanomalien, ...)
Nein. a-dagger erzeugt ein Quant; vom harmonischen Oszilator ist außer der formalen Analogie nichts mehr übrig.
Ja; ich unterdrücke lediglich diese weiteren Indizes. Das (perturbative) Vakuum ist "leer", d.h. jeder Vernichtungsoperator führt auf Null. Wir lassen jetzt mal Kondensate u.ä. weg, dann muss man einen anderen, nicht-perturbativen Vakuumbegriff verwenden.
Schauen wir uns mal nur genau eine Impuls p an und lassen die anderen der Übersichtlichkeit zunächst halber weg. Im Vakuum haben wir In einem Eigenzustand des Teilchenzahloperators haben wir Dabei ist Außerdem kann man die Energie für diesen Impuls p definieren: Der Energieoperator für diesen Impuls p lautet dann Das kennen wir vom harmonischen Oszillator. Das 1/2 fällt weg, weil es eine unendliche, p-unabhängige Vakuumenergie erzeugen würde; man bezeichnet das als Normalordnung bzw. als einfachste Art der Regularisierung; man legt die Vakuumenergie (künstlich) zu Null fest, denn In einem Eigenzustand des Teilchenzahloperators mit sind also n_p Teilchen enthalten; diese tragen die Energie Der Energieoperator H über alle Impulse p (die ich der Einfachheit halber diskret annehme) ist dann Wenn man nun das Vakuum wieder so definiert, dass es von jedem Vernichter, also für jedes p annihiliert wird, dann gilt In einem Zustand, der zu jedem Teilchenzahloperator je p ein Eigenzustand ist, haben wir dann die Energie Die n_p sind dabei natürliche Zahlen, die unabhängig voneinander frei gewählt werden können; die Gesamtheit all dieser Eigenzustände zu jedem einzelne N_p bildet eine Basis des sogenannten Fockraumes. |
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| Verfasst am: 23. März 2017 13:42 Titel: |
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Vielen Dank für die Empfehlung! Ich schaue mal nach dem Inhalt... |
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| Verfasst am: 23. März 2017 13:29 Titel: |
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Schwer zu sagen. Was QFT konzeptuell angeht ist Weinberg wirklich das(!) beste Buch. Zum ersten Mal selber lernen ist es aber nicht ganz einfach. Vllt hilft der Peskin&Schroeder als zweites Buch. Dort geht es mehr darum, wie man QFTs benutzt, um Streuquerschnitte und so zu berechnen, weniger um die Konzepte an sich, aber es ist deutlich einfacher zu verstehen. (Und dort findest Du auch die Analogien zum harmonischen Oszillator ausführlicher dargestellt.) |
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| Verfasst am: 23. März 2017 13:05 Titel: |
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Ja.
OK, Danke. Hast Du Zeit, meine obigen Rückfragen anzusehen? Vor allem wegen dem harmonischen Oszillator, weil ich dazu zumindest in den vorderen Kapiteln bei Weinberg nichts gefunden habe. |
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| Verfasst am: 23. März 2017 12:56 Titel: |
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| Einstieg in was? QFT? Ich wüsste nicht, welches. QFT ist sauschwer; und ich denke, Weinberg ist didaktisch immer gut und bringt die Ideen und Konzepte rüber |
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| Verfasst am: 23. März 2017 11:03 Titel: |
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| Wäre es vernünftiger, wenn ich für den Einstieg ein anderes, evtl. leichter verständliches Buch verwenden würde? | |
| Verfasst am: 18. März 2017 16:12 Titel: |
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| Ohne Tom hier reingreifen zu wollen: Weinberg zieht es andersrum auflas die meisten QFT-Buecher: Erst führt er a und a-dagger ein (Kapitel 4.2), um zu zeigen, dass alle Operatoren mit a und a-dagger geschrieben werden koennen und dass insbesondere der Hamiltonoperator (bzw. seine Dichte), wenn er auf diese Weise geschrieben wird, dem Cluster Decomposition Principle (=weit voneinander entfernte Experimente haben keinen Einfluss aufeinander) genügt. Erst danach konstruiert Weinberg aus den a und a-dagger Felder, welche die korrekten Transformationseigenschaften (unter Lorentztransformationen) haben und zu einem kausalen Hamiltonoprator fuehren (d.h. [H(x),H(x')]=0, wenn x und x' raumartig voneinander getrennt sind). Wenn man also Feldtheorien diskutieren will und sich am Weinberg orientiert, muss man etwas darauf achten, dass Weinberg es anders aufzieht, als die meisten anderen QFT-Buecher, die meistens gleich mit der Zerlegung von (operatorwertigen) Feldern in a und a-dagger beginnen. |
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| Verfasst am: 18. März 2017 15:04 Titel: |
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| Vielen Dank für Deine Antwort! Leider verstehe ich davon einiges nicht.
Überwiegend, ja. Jedoch verwendet Weinberg nicht die Bra-Ket-Notation, und stützt praktisch alles auf Eigenschaften diverser mathematischer Objekte, was zumindest mein Verständnis nicht gerade fördert.
Das kann ich leider aus diesen Formeln und auch bei Weinberg nicht heraus lesen - Du schreibst, das seien Feldoperatoren und Weinberg einfach, dass das Felder seien, weshalb ich davon ausgegangen bin, dass das den Feldern in den Bewegungsgleichungen entspricht. Steckt der harmonische Oszillator in psi(x)? Erzeugt psi(x) am Ort x einen harmonischen Oszillator?
Meinst Du mit "allen", nicht nur egal welcher Impuls, sondern auch alle Spins und Teilchenarten, also alle, die man in Zusammenhang mit einer gegebenen Lagrangedichte entwickeln kann?
D.h. N zählt, wie viele Teilchen mit Impuls p erzeugt wurden? - Etwas in der Form ist mir (vielleicht wegen der anderen Notation) bei Weinberg nicht aufgefallen. Was macht man damit? |
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| Verfasst am: 18. März 2017 08:44 Titel: |
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| Orientierst du dich wieder an Weinberg? Zunächst: Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren werden eingeführt als Fourierkomponenten bei der Darstellung eines Feldoperators; d.h. wobei ich jetzt alle weiteren Vektor- oder Spinorindizes weglasse. psi ist ein Feldoperator, keine Wellenfunktion. Für psi gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen mit dem kanonisch konjugierten Impuls, der aus der Lagrangedichte bestimmt wird; aus diesen Vertauschungsrelationen und der Fourierdarstellung folgen dann die Vertauschungsrelationen wobei ich wieder Vektor- oder Spinorindizes weglasse. Damit entsprechen a bzw a-dagger rein formal für jeden Impuls p einem Vernichter bzw. Erzeuger eines harmonischen Oszillators für diesen Impuls p. Aufgrund der Fourierdarstellung vernichten bzw. erzeugen die Operaroren Zustände mit ebenen Wellen. Man könnte auch andere Funktionensysteme benutzen (z.B. für gebundene Zustände, distorted waves in der Streutheorie, Eigenzustände zu komplizierteren Differentialoperatoren wie im Falle der Hawkingstrahlung, ...) Soweit klar? Der Vakuumzustand |0> ist nun definiert als der Zustand, der von allen Vernichtern annihiliert wird: |0> ist dabei ein Zustandsvektor, jedoch nicht der Nullvektor bzw. die Zahl 0. In freien Quantenfeldtheorien ohne Wechselwirkung können der Zustand |0> sowie der Hamiltonoperator H so definiert werden, dass |0> auch mit dem Zustand tiefster Energie übereinstimmt, und gilt. Für wechselwirkende oder anderweitig nicht-triviale Quantenfeldtheorien ist dies nicht notwendigerweise der Fall, und man muss unterscheiden zwischen dem sogenannten perturbativen Vakuum und dem energetischen Grundzustand Nun zum Erzeugungsoperator und dem Anzahloperator je Impuls p. Dabei steht die "1" sozusagen an der p-ten Stelle (für diskretes p recht einfach), und liefert genau dann eine "1", wenn man an der Stelle p' mittels N_p' zählt, an der man zuvor den Erzeuger angewandt hat. Allgemein ist wobei es jetzt egal ist, was an den anderen Positionen im Vektor steht; N_p schaut immer nur auf genau eine Position. Wichtig ist, dass 0 und |0> nicht das selbe bedeuten. |
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| Verfasst am: 17. März 2017 14:52 Titel: |
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| Inzwischen habe ich noch einiges gelesen, und würde das gerne etwas vertiefen. Wenn man eine vollständige Theorie, also inkl. starker, schwacher und elektromagnetischer Wechselwirkung haben möchte, muss man deren Lagrangedichten doch einfach addieren. Und wenn man daraus die Bewegungsgleichungen berechnet, erhält man z.B. für den Teil der QED ein Gleichungssystem, bestehend aus der/den Dirac-Gleichung(en) und den Maxwell-Gleichungen, und die Lösung dieser beiden beschreiben die zeitliche Entwicklung und mögliche Zustände der Fermion-Spinoren Ist das so weit noch richtig? Jetzt heisst es, dass Teilchen durch Anwendung eines Erzeugungsoperators auf einen vorhandenen Zustand oder das Vakuum erzeugt werden: Wie ist das Vakuum Für diese Definition sehe ich eigentlich nur eine Möglichkeit: Nur, wie funktioniert das mathematisch? f() und g() mögen Raum- und Impulsintegrale repräsentieren, aber am Ende stehen da im Prinzip nur ein Spinor mit vier Elementen, der mit einem Vierervektor addiert wird - ich weiss: das klingt blöd und ist unsinnig, aber so sieht die Rechenregel für mich aus. Eben dieses Unverständnis zieht sich weiter, wenn es um das Hinzufügen von Teilchen geht, oder auch nur um die Verknüpfung mehrerer Zustände. (Für weitere Felder, wie z.B. reale oder komplexwertige Skalarfelder ebenso.) Dann sehen doch solche Operationen derart aus: Und das sollte vom Prinzip her in der Form berechnet werden: Wo liegt mein Fehler? |
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| Verfasst am: 12. März 2017 18:58 Titel: |
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| Das habe ich verstanden. Danke! Wäre T kein Lorentz-Skalar, würde das wohl bedeuten, dass physikalische Prozesse, und nicht nur deren Beobachtung einer Relativität unterliegen würden... |
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| Verfasst am: 12. März 2017 17:02 Titel: |
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| Nochetwas: der Streuoperator T ist konstruktionsbedingt immer ein Lorentz-Skalar. Er folgt aus der S-Matrix gem. und beinhaltet die echten Wechselwirkungsanteile ohne freie Propagation. D.h. für beliebige Lorentztransformationen Lambda gilt Nun betrachtet man ein Matrixelement Man unterscheidet offensichtlich zwei verschiedene Anwendungen der Lorentztransformation: 1) Erzeugung eines Zustandes durch Lorentzboost; in diesem Fall wirkt U auf genau einen Einzeilchenzustand. Möchte man mehrere Teilchen beschreiben, z.B. 2 einlaufende und n auslaufende, so benötigt man 2+n unterschiedliche Lorentztransformationen, die genau die gewünschten Impulse erzeugen. 2) Betrachtung des dadurch beschriebenen Zustandes bzw. des Streuprozesses in einem anderen Bezugsystem; in diesem Fall wirkt ein V (zur einfacheren Unterscheidung ein anderer Buchstabe) einheitlich auf alle Teilchen bzw. Zustände. Das o.g. Matrixelement lautet dann Nun kann man T noch umschreiben zu Offensichtlich fallen im Matrixelement alle Abhängigkeiten von V heraus. |
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| Verfasst am: 12. März 2017 14:01 Titel: |
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| Jetzt habe ich es kapiert! Vielen Dank für Deine Erklärungen und Engelsgeduld! |
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| Verfasst am: 12. März 2017 13:14 Titel: |
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| Kein Denkfehler, aber du machst es dir zu kompliziert. In der Quantenfeldtheorie wird strikt konservativ, orthodox und hemdsärmlig argumentiert. Man betrachtet immer nur ein einfaches quantenmechanisches System (zwei Teilchen) und einen klassischen Detektor; man nimmt nie den Detektor in das quantenmechanische System mit auf, d.h. man setzt immer voraus, dass dieser Heisenbergsche Schnitt funktioniert und erlaubt ist (man kann auch argumentieren, warum das so ist; s.o.: Dekohärenz auf einem Zustand ist eine Lorentz-kovariante Eigenschaft). Wenn du jedoch darauf bestehst, das Detektorteilchen mit aufzunehmen, dann würde das dennoch alles funktionieren; du hättest mit einem unbekannten Endzustand |X>. Die Indizes 1, 2, D stehen für das beschleunigte Proton, das Proton im Target sowie für den Detektor. Betrachtest du das jetzt aus einem anderen Bezugsystem, so muss du alle bra's und kets einzeln einer weiteren Lorentztransformation V unterwerfen, d.h. Die Lorentztransformation V führt zu rein kinematischen Korrekturen. Du könntest auch zuerst alles ohne V berechnen und dann das Endergebnis klassisch der Transformation V unterwerfen. Die eingangs genannte Entsprechung, dass zunächst L auf x wirkt und dies vermöge V(L) auf den Hilbertraum abgebildet werden kann (u.u.) stellt genau das sicher. |
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| Verfasst am: 12. März 2017 12:40 Titel: |
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Das glaube ich nicht. Ich kann das auch für mikroskopische Systeme umformulieren: Angenommen, ein Proton befindet sich bei x=0 und y=0, und ein Elektron fliege von -x in Richtung +x, mit minimalem +y, damit es nicht durch das Zentrum des Protons fliegt. Dann wird das Elektron bei geringer Geschwindigkeit durch ein näherungsweise kugelförmiges Potential abgelenkt, und bei hohen Geschwindigkeiten durch ein pancakeförmiges Potential. Hier hat also die Lorentztransformation Einfluss auf die Stärke der Ablenkung, die man bei irgend einem x>0 mit einem Detektor messen kann. Bis hierhin entspricht das Deinen Formeln von oben. Jetzt nehmen wir weiter an, der Detektor wird durch Teilchen ersetzt, die z.B. bei x=10 mit relativistischer Geschwindigkeit von -y- in +y-Richtung fliegen. D.h. das System Proton+Elektron wird in y-Richtung Lorentzkontrahiert. Wenn man das Problem klassisch betrachtet, kann man zwei Lorentztransformationen anwenden; gleiches gilt, wenn man den ganzen Versuch in einerseits Proton+Elektron und später Elektron+Detektorteilchen aufteilt. Beschreibt man aber das ganze System als einen Zustand |Proton, Elektron, Detektorteilchen>, dann sehe ich nur die Möglichkeit, die letztere Lorentztransformation anzuwenden. Dann wäre soweit ich das jetzt sehe, das Proton nicht in x-Richtung gestaucht, sondern lediglich das System Proton+Elektron in y-Richtung kontrahiert. - Man hat ja nur eine Wellenfunktion. Wo liegt mein Denkfehler? |
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| Verfasst am: 12. März 2017 12:12 Titel: |
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Du verwechselst quantenmechanische Systeme und Bezugsysteme. Erstere werden durch die beteiligten Quantenobjekte definiert, letztere sind rein kinematische Konfentionen. Wenn eine Messung einer Kollision stattfindet, dann besteht das Quantensystem genau aus den beiden beteiligten Teilchen. Alles weitere (Detektor, Physiker, ...) sind klassische Zutaten. Dass du diesen Schnitt so legen darfst ist einerseits Konvention gemäß den Axiomen nach von Neumann, andererseits begründbar durch Dekohärenz. Aus welchen Bezugsystem du das betrachtest ist irrelevant, da alle derartigen Schlussfolgerungen lorentzkovariant sein müssen. D.h. wenn aus Sicht eines Koordinatensystems S Dekohärenz bzgl. des quantenmechanischen System und des Beobachter A gilt, dann gilt dies auch bzgl. S', S'', ... Weitere "kinematisch gedachten Beobachter" in S', S'', ... sind keine weiteren "quantenmechanischen Beobachter" A', A'', ... Die beiden "Beobachtertypen" haben nichts miteinander zu tun. |
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| Verfasst am: 12. März 2017 11:35 Titel: |
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| Du setzst doch aber hier voraus, dass man die beiden Systeme getrennt beschreibt, also System A bildet ein quantenmechanisches System, und dessen Messergebnis und Berechnung verwendet man in einem anderen quantenmechanischen System B. Müsste für eine vollständige Beschreibung nicht in Wirklichkeit alles (A und B) durch einen einzigen umfassenden Zustand beschrieben werden, wobei wir als Beobachter jedoch nur eine einzige Lorentztransformation anwenden können? Der Physiker im System A muss ja unabhängig von System B den pancake-Effekt messen, und uns dieses Ergebnis z.B. zufunken können. Damit er das mit korrektem Ergebnis tun kann, müsste "im" von B betrachteten Gesamtzustand eine Lorentztransformation von A erfolgen. Aber das geht ja gerade nicht, weil die Zustände keine Lorentztransformation enthalten. |
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| Verfasst am: 12. März 2017 11:01 Titel: |
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| So, und jetzt willst du das gesamte Labor mit Physiker, Beschleuniger, Teilchen, ... aus einem bewegten Bezugsystem betrachten. Dazu musst du alles einer entsprechenden zweiten Lorentztransformation unterwerfen. Jetzt schauen wir uns mal an, was es bedeutet, den Pancake-Effekt zu messen. Betrachten wir dazu die Streuung des o.g. bewegten Protons an einem ruhenden Target. Aus Sicht des bewegten Bezugsystems musst du alle Größen der zweiten Lorentztransformation unterwerfen, also ... Damit erhältst du zwei überlagerte Effekte, nämlich zunächst den "dynamischen" Pancake-Effekt aus dem unsymmetrischen Anwenden von U zur Erzeugung von |E,p> auf |m,0>, zum zweiten die rein kinematische Transformation des Matrixelementes durch Anwenden von U_2. |
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| Verfasst am: 12. März 2017 10:49 Titel: |
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Ja! |
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| Verfasst am: 12. März 2017 10:26 Titel: |
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| Du hast zwei Systeme, nämlich das Laborsystem und das Ruhesystem des Protons = das mitbewegte System. Im Laborsystem hast du den Protonzustand im mitbewegte System Der Pancake-Effekt stammt sozusagen aus dem Lorentzboost vom Laborsystem ins mitbewegte System. Soweit klar? |
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| Verfasst am: 11. März 2017 23:03 Titel: |
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| Gut, so weit habe ich das wohl verstanden, Danke! Dennoch bleibt mir eine Verständnislücke. Ich versuche es mit einem Beispiel zu erklären: Nehmen wir an, wir hätten einen Teilchenbeschleuniger A. Dieser kann in einem Experiment den pancake-Effekt der Lorentzkontraktion messen. Der experimentierende Physiker kann die Längenkontraktion mit obigen Formeln berechnen. Wenn wir jetzt aber das ganze Labor mit dem Teilchenbeschleuniger A in einen riesigen Teilchenbeschleuniger B packen, und das ganze System A darin beschleunigen, dann ist mir unklar, wie der pancake-Effekt im Teilchenbeschleuniger A weiterhin von dem Physiker im System A gemessen werden kann - man beschreibt doch dann das ganze System B+A mit nicht-lorentztransformierten Wellenfunktionen, und wendet erst im System B die Lorentztransformation an. Dann wird, so wie ich das jetzt sehe, nur System B zu einem pancake. Bestimmt sehe ich das nur falsch, aber ich weiss nicht was und wie. Es geht mir eben darum, dass jedes System die relativistischen Effekte "spüren" muss, und nicht nur wir, wenn wir einen Messwert ermitteln. |
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| Verfasst am: 11. März 2017 20:55 Titel: |
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| In der QFT beschreiben diese Gleichungen (Dirac, Maxwell, ...) auch nicht die Lösungen. Aus ihrer Lagrangedichte folgt der Hamiltonoperator, dessen Eigenzustände man konstruiert. Und Eigenzustände zu Energie und Impuls (oder Energie und Drehimpuls) mit unterschiedlichen Impulsen (Drehimpulsen) sind mittels Lorentztransformationen verbunden. Erst wenn man diese Zustände ineinander überführt, kommt wieder der o.g. Operator U ins Spiel, und zwar im Wesentlichen so wir oben. Man kann die Eigenzustände zu fester Energie und unterschiedlichen Impulsen auf zweierlei Weise finden i) direkte Konstruktion aller Lösung der Gleichungen ii) direkte Konstruktion einer Lösung und Anwendung von Lorentztransformationen U für die anderen Lösungen U steckt nie schon in diesen Gleichungen drin; die Anwendung erfolgt wie oben sozusagen zusätzlich. Und U hat nichts mit Wechselwirkungen zu tun. Die "n Teilchen" stecken in den Zuständen, und die Wechselwirkungen in Operatoren wie (hier am Beispiel der Dirac-Gleichung mit Elektron-Photon-Wechselwirkung) |
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| Verfasst am: 11. März 2017 17:47 Titel: |
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Ja, Du hast Recht. Er schreibt an einer Stelle: "The whole group of transformations T(Lambda, a) is properly known as the inhomogeneous Lorentz group, or Poincare group." Das hatte ich überlesen.
Dem kann ich folgen. Demnach ist das für die Lorentztransformation ebenso zu machen, und für einzelne Teilchen ausreichend, um relativistisch korrekt ins Laborsystem zu transformieren. Wenn man aber n Teilchen hat, die miteinander wechselwirken... Die Dirac-Gleichung und die (ich weiss nicht, wie man dazu korrekterweise sagt) "quantisierten Maxwellgleichungen" enthalten ja nur die relativistische Energie-Impuls-Beziehung, sind aber ansonsten lokal definiert. Ich kann darin nichts zur Lorentzkontraktion oder Zeitdilatation finden. Für eine korrekte Wechselwirkung müsste U doch auch darin stecken; vermutlich sogar für jeden Punkt. Wie muss ich mir das vorstellen? |
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| Verfasst am: 11. März 2017 17:04 Titel: |
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| Dann meint Weinberg mit U eine Transformation der Poincaregruppe, denn Translationen gehören nicht zur Lorentzgruppe. Zu den Zuständen. Wenn z.B. ein Drehimpuls-Eigenzustand gegeben ist dann wirkt eine Rotation als Dieser neue Zustand ist wiederum ein Drehimpuls-Eigenzustand, allerdings zu einem anderen Drehimpulsoperator. Dazu berechnet man Also d.h. mit identischem m jedoch rotiertem |
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| Verfasst am: 11. März 2017 16:53 Titel: |
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Weinberg schreibt den Operator für die Lorentztransformation
Die Eigenwertgleichungen zur Lösung eines Problems, also in dieser Art erweitert, um Messwerte im Laborsystem zu erhalten: U(L,a) H |psi> = E |psi> U(L,a) J² |psi> = j² + j |psi> ... Es ging ja Anfangs darum, wie Messungen und Zustände die Lorentztransformation berücksichtigen. |
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| Verfasst am: 11. März 2017 16:43 Titel: |
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| Der Weg über die Symmetrien ist einfach, wenn diese bekannt sind und wenn es sich um bekannte Liegruppen handelt. Was meinst du mit U(Lambda, a), unsns was meinst du in diesem Zusammenhang mit Eigenwertgleichungen? |
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| Verfasst am: 11. März 2017 16:28 Titel: |
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| Vielen Dank! Dann bin ich wieder ein Stückchen weiter. Wenn der Weg über die Symmetrien nicht so einfach ist, was macht man dann mit U(Lambda, a)? Setzt man ihn einfach in den Eigenwertgleichungen vor jede Observable? |
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| Verfasst am: 11. März 2017 16:14 Titel: |
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| Bei all diesen Symmetrien geht es nie darum, dass diese tatsächlich etwas rotieren oder boosten. Es geht immer nur darum, wie ein Objekt sich ändert, wenn es einer Transformation unterworfen würde. Insofern sind derartige Drehungen der SU(N) nicht abstrakter als solche der SO(N). Mit der Quantenmechanik, Wellenfunktionen u.ä. hat das zunächst nichts zu tun. Die Überlegung ist bereits rein klassisch im Phasenraum und mittels kanonischer Transformationen möglich. |
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| Verfasst am: 11. März 2017 16:05 Titel: |
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Muss man solche Drehungen, bei denen x und p ineinander übergehen, nicht genau genommen als rein mathematisches Phänomen bezeichnen? - Wenn ich das richtig sehe, existiert diese Symmetrie nur, weil man es in der QM mit Wellen zu tun hat, und man diese durch Phasenverschiebung und Veränderung der Krümmung passend machen kann.
OK. Es lässt sich also nicht so einfach herausfinden, welche Grössen ineinander transformiert werden dürfen, und damit auch nicht, welche Operatoren man braucht, um über den Weg der Symmetrien hin zu einem vollständigen Satz kommutierender Observablen zu kommen. |
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| Verfasst am: 11. März 2017 14:30 Titel: |
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| Was du zur Idee des Auffindens der Symmetrien schreibst ist alles richtig! Ich hatte dich aber auch bewusst in die Falle gelockt. Die beiden Fälle für r^2 und 1/r sind Spezialfälle. 1/r funktioniert nur für den 3-dim. Raum, r^2 für N-dim. Räume. Zu letzterem: man betrachtet nicht den 3-dim. reellen Ortsraum, sondern den 3-dim. komplexen Phasenraum mit Vektoren z = x+ip; x steht für die Ortskoordinaten mit n = 1,2,...,N; p steht analog für die Impulskoordinaten. Damit liegt keine reelle Rotation der SO(N), sondern eine komplexe Rotation der SU(N) vor. Der Hamiltonoperator des N-dim. harmonischen Oszillators ist gerade das Betragsquadrat in diesem N-dim. Raum. Damit sind Drehungen dieses Raumes Symmetrien des Hamiltonoperators. Drehungen des Vektors z mischen i.A. x und p. Spezielle Drehungen der SU(N) tun dies nicht; dies entspricht dann Drehungen der SO(N) von x und p separat. Statt eines Drehimulsoperators L^2 erhält man N-1 derartige Operatoren. Dies sind die Casimir-Operatoren. Der erste entspricht genau dem L^2; der zweite ist kubisch. Deren Eigenwerte klassifizieren dann die Darstellungen, so wie l = 0,1,2,... für den Drehimpuls L^2. Für jede Darstellung findet man weitere Quantenzahlen entsprechend der N-1 diagonale Generatoren mit Eigenwerten, so wie m = -l, ..., +l beim Drehimpuls. Ein Zustand der SU(N) ist dann soetwas wie wobei die Indizes bei l und m nicht andeuten, dass genau ein m zu genau einem l gehört. Sowas klappt für alle endlich-dimensionalen Lie-Algebren. Für unendlich-dimensionale Kac-Moody-Algebren wird's komplizierter ... |
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| Verfasst am: 11. März 2017 14:06 Titel: |
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Ja, die Zahlen, die Du als offensichtlich bezeichnest, hätte ich, wenn es nur um Rotationssymmetrie und nur den Raum geht, auch gezählt. Die von Dir als tatsächlich angegebenen erscheinen dagegen völlig willkürlich. Gerade der Unterschied zwischen dreidimensionalem harmonischen Oszillator und 1/r-Potential ist verblüffend. Ich kann mir jetzt auch gar nichts darunter vorstellen, weil eine Rotationssymmetrie immer eine Achse benötigt, und beispielsweise im ersten Fall stellt sich mir natürlich gleich die Frage: Wie sollte seine solche Achse orientiert sein, wenn nicht senkrecht zur Ebene? Und dann wären alle drei Achsen gleich... - Bei den anderen beiden Beispielen natürlich analog.
Vom Prinzip her in die, wie Du das oben geschrieben hast, also, ohne dass ich die Mathematik verstehen würde. Ich dachte, man hat erst einmal den Hamiltonoperator, und normalerweise nimmt man dazu noch in der nicht-relativistischen QM weitere Operatoren, mit denen man einen vollständigen Satz kommutierender Observabler bildet. Dann dachte ich, man könnte P, L oder für was man sich entscheidet weg lassen, und nur H verwenden. D.h. man hätte dadurch die möglichen Lösungen für die Wellenfunktion noch nicht ausreichend eingeschränkt; vor allem enthält dieser Zustandsraum noch alle ineinander lorentztransformierbaren Wellenfunktionen, die jedoch H erfüllen, also nimmt man die Lortenzttransformation mit zu H, und dann auch noch z.B. die Rotationssymmetrien, und macht aus diesen und der Lorentztransformation Operatoren. Das Ergebnis sollte ein Zustandsraum sein, der nicht auf bestimmte Relativgeschwindigkeiten beschränkt ist, sondern alle Relativgeschwindigkeiten aller denkbaren Wellenfunktionen im Rahmen von H und was man sonst noch durch Symmetrien festgelegt hat, enthält. Weiter ging meine Vermutung einfach dahin, dass man einen Zustand als Parameter definiert, und der Zustandsvektor sollte dann unter Zeitentwicklung in diesem Zustandsraum je nach Beschleunigung zwischen den verschieden "schnellen"/lorentztransformierten Zuständen wechseln. |
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| Verfasst am: 11. März 2017 13:03 Titel: |
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Es geht erst mal nur um den Ortsraum, d.h. ich betrachte noch keine Wellenfunktion. Und ich betrachte nur kontinuierliche Symmetrien, d.h. keine Spiegelung. Schau dir die Probleme an, zähle die unabhängig möglichen Rotationen, und stelle fest, dass die von mir angegebene Zahlen 3, 8, 6 die zunächst offensichtlichen Zahlen 1, 3, 3 übersteigen. Das deutet an, dass das Finden von Symmetrien schwieriger ist als gedacht.
Der Knackpunkt ist wieder, die vollständige Liegruppe zu kennen um daraus die Casimir-Operatoren sowie die gleichzeitig diagonalisierbaren Generatoren abzuleiten. Im Falle des 3-dim. harmonischen Oszillators erwartet man SO(3), d.h. Rang eins, also ein Casimir-Operator, drei Generatoren, davon einer diagonalisierbar. Es liegt jedoch eine SU(3) vor, also Rang zwei, zwei Casimir-Operator, acht Generatoren, davon zwei gleichzeitig diagonalisierbar.
In welche? |
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| Verfasst am: 11. März 2017 12:06 Titel: |
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Möglicherweise hat mich mein spontaner Eindruck getäuscht. Wenn das nicht bzw. nicht exakt der Ansatzpunkt ist, was dann? - Weinberg schreibt ja sinngemäss, dass QFT so sind wie sie sind, weil eine Vereinigung von SRT und QM auf keine andere Weise möglich sei. Er konstruiert eine Transformation T(Lambda, a), und damit U(Lambda, a). Das ist ja im Prinzip das gleiche, was Du oben mit der Translation gezeigt hast, nur dass er die Lorentztransformation verwendet. Daraus konstruiert er dann die "One-Particle States", wo ich eigentlich sofort den Faden verliere.
Bei Deinen Beispielen hätte ich jetzt noch Symmetrien wegen der komplexwertigen Wellenfunktion und der Spiegelung vermutet. Das wären aber keine "recht abstrakte" Symmetrien.
Das war die Richtung, in die ich dachte.
Demnach habe ich doch irgendwie in die falsche Richtung gedacht. |
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| Verfasst am: 11. März 2017 01:14 Titel: |
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Ich bin mir nicht sicher, ob du das präzise verstanden hast; dein Sprachgebrauch ist etwas irritierend. Zu deiner Frage: das weiß man prinzipiell nie, zumindest nicht im Falle komplizierterer Systeme. Einfaches Beispiel: Schau dir die Symmetrie des 2-dim. harmonischen Oszillators an; es liegt offensichtlich Rotationssymmetrie in einer Ebene vor. Wieviele unabhängige Rotationswinkel für diese Symmetrie siehst du? Einen um genau eine Achse? Es sind drei. Zweites Beispiel: Schau dir die Symmetrie des 3-dim. harmonischen Oszillators an; es liegt offensichtlich Rotationssymmetrie im 3-dim. Raum vor. Wieviele unabhängige Rotationswinkel für diese Symmetrie siehst du? Drei, also die Eulerwinkel? Es sind 8. Dritte Beispiel: Das 1/r-Potential: wieder liegt Rotationssymmetrie im 3-dim. Raum vor. Wieviele unabhängige "Rotationswinkel" für diese Symmetrie siehst du? Drei, also die Eulerwinkel? Jetzt sind es 3+3 = 6. https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Runge-Lenz-Vektor Fakt ist, dass hier (zunächst verborgene) recht abstrakte Symmetrien in höherdimensionalen Räumen vorliegen. Es gibt kein abgeschlossenes oder algorithmisches Verfahren, um diese sicher vollständig zu identifizieren. Noch schlimmer: praktisch alle relevanten Systeme der Quantenfeldtheorie haben unendlich viele unabhängige Symmetrietransformationen. Eine Eichtheorie zeichnet sich dadurch aus, dass jede (ordentlich definierte) Funktion f(x) eine solche Symmetrietransformation definiert. Es existieren jedoch unendlich viele zulässige Funktionen. Während im Rahmen der Quantenfeldtheorie diese unendlich vielen unabhängigen Symmetrietransformationen auf einen endlichen Satz von sogenannten Generatoren zurückgeführt werden kann (letztlich denen des harmonischen Oszillators, für die QCD mit der SU(3) sind es 3²-1 = 8), findet man im Rahmen der der Supergravitations- oder der Stringtheorie Symmetrietransformationen, die auf unendlich vielen Generatoren basieren. Deren algebraische Struktur ist noch weitgehend unverstanden. Noch ein anderer Aspekt: In der Quantenmechanik (und der Quantenfeldtheorie) benötigt man einen sogenannten Satz kommutierender Observablen, um einen Zustand vollständig zu beschreiben. Wenn eine der o.g. Symmetrien vorliegt, kann man daraus sogenannte Casimir-Operatoren sowie gleichzeitig diagonalisierbare Generatoren bestimmen, die auf diesen Satz führen. Für das Wasserstoffatom, hat Pauli dies mittels der o.g. 3+3 = 6 erledigt (bereits vor der Lösung von Schrödinger); der Satz kommutierender Observablen führt auf die drei Quantenzahlen n,l,m. Diese Vorgehensweise ist bis auf den Fall für SUGRA und Strings vollständig verstanden. Allerdings gibt es (komplexe) Systeme mit kommutierenden Observablen, die nicht aus einer derartigen Symmetrie folgen, sondern quasi unsymmetrisch und irgendwie zufällig sind. Das wäre so, wie wenn du beim Wasserstoffatom nicht wüsstest, woher l und m stammen und welche Werte sie annehmen können. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%E2%80%93Runge%E2%80%93Lenz_vector#Quantum_mechanics_of_the_hydrogen_atom EDIT: im Falle der ART muss man sog. Dirac-Observablen bzgl. der Diffeomorphismeninvarianz konstruieren; m.W.n. ist das ebenfalls nicht vollständig verstanden. Das bedeutet letztlich, dass keine Methode bekannt ist, Quantenzustände des Gravitationsfeldes bzgl. derartiger Observablen zu klassifizieren. |
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| Verfasst am: 10. März 2017 14:41 Titel: |
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Ja, eine Wechselwirkung.
OK.
Jetzt hat es bei mir Klick gemacht. Dann offenbart die Lorentztransformation nur, welche Funktionen bei welcher Relativgeschwindigkeit relevant sind. Aus dieser Perspektive wäre es am sinnvollsten, gleich mit einem Satz Operatoren für alle Symmetrien, die Lorentztransformation und die Welleneigenschaft zu beginnen. - Das macht dann wohl Weinberg, nur woher weiss man, wann dieser Satz vollständig ist? |
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| Verfasst am: 10. März 2017 14:18 Titel: |
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Was meinst du mit "aufeinander wirken"? Meinst du eine Wechselwirkung? Dazu werden weitere mathematsiche Objekte benötigt, und für die funktioniert das auch. Aber soweit sind wir noch nicht.
Der Hilbertraum enthält beliebige, quadratintegrable Wellenfunktionen. Mit jeder Wellenfunktion u(x) sind alle Wellenfunktionen, die durch die o.g. Lorenzttransformationen aus u(x) hervorgehen, ebenfalls Elemente des Hilbertraumes. Mathematisch ist eine unitäre Tranformation U[L] ein Automorphismus, speziell eine bijektive Abbildung des Hilbertraumes auf sich selbst. Ein physikalischer Zustand u steht zum einen für eine ganz bestimmte Wellenfunktion u(x), z.B. für ein Proton mitz einem ganz bestimmten Impuls. Zum anderen kann man aber bestimmte Wellenfunktionen bzw. Zustände als physikalisch äquivalent ~ betrachten, weil sie durch Symmetrietransformationen verbunden sind. Ein [Proton] entspräche dann der Äquivalenzklasse [u] aller Wellenfunktionen, die irgendwie geartete = bewegte Protonen mit irgendwelchen Impulsen beinhalten. Zwei Systeme mit einem ruhenden bzw. einem bewegten Proton wären in diesem Sinne äquivalent. Ein Deuteron, das zusätzlich noch ein Neutron enthält, wäre dagegen nicht äquivalent, da keine Lorentztransformation existiert die aus einem Proton ein Deuteron macht. Eine Symmetriegruppe wie die Lorenzgruppe "zerlegt" den Hilbertraum also in disjunkte Äquivalenzklassen. Die erste wäre das Vakuum, die zweite enthält alle Zustände mit einem Proton, die dritte alle mit zwei Protonen, ... (ich bin mir nicht mal sicher, wie man beweist, dass es abzählbar viele sind). Der Hilbertraum einer bestimmten Theorie enthält tatsächlich in diesem Sinne Alles (was in einer bestimmten Theorie mathematisch zu beschreiben ist; der Hilbertraum der QCD enthält z.B. kein Neutrino). |
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| Verfasst am: 10. März 2017 12:11 Titel: |
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So meinte ich das nicht. Es geht mir nicht darum, dass das Gehirn auf Grundlage physikalischer Prozesse funktioniert, sondern dass seine Evolution in eben dieser zu durchschauenden physikalischen Umgebung stattgefunden hat. Natürlich hast Du damit Recht, dass für uns nicht jeder Energiebereich etc. relevant ist bzw. zumindest nicht eine gleich grosse Relevanz besitzt, und das deshalb nicht unbedingt dazu geführt haben muss, dass unsere Gehirne dazu in der Lage sind, die Natur vollständig zu begreifen. Allerdings will ich das nicht vollkommen ausschliessen; schliesslich kennen wir heute weder die Natur noch die Prinzipien hinter unserem Denken in ausreichend gutem Mass, um so etwas abschliessend beurteilen zu können.
Das sehe ich anders. Unser Denken ist nicht nur Verarbeitung, sondern auch Wissen. Um das Denken zu verstehen, kann man den Wissensteil ganz dramatisch reduzieren, und ich glaube, dass die Verarbeitung nur ein ganz kleiner Teil des ganzen ist.
Danke, dem kann ich folgen.
Hmm, OK. Das erklärt, wie man z.B. eine ebene Welle ins Laborsystem transformiert. Aber erklärt das auch, wie zwei Wellen relativistisch aufeinander wirken, bevor man das Ergebnis daraus ins Laborsystem transformiert? - Der Hilbertraum müsste doch, wenn ich Deine Formeln richtig interpretiere, soz. nur Wellenfunktions"rohlinge", also nicht lorentztransformierte Zustände beinhalten. |
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