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balance	Verfasst am: 01. März 2016 15:50    Titel: Okay, danke für die Antwort. Ich bin noch kein Profi im lösen von DGL, daher versuche ich alles möglichst detailreich zu rechnen. Zitat: und sind zu (1) äquivalente Lösungen. (Ich wusste nicht wie zitieren daher eine anderer griech. Buchstabe) Nun, ich seh schon ein, dass beide (und auch jede Linear-Kombination, wie du etwas oberhalb geschrieben hast) die DGL löst. Aber wenn ich doch ein Problem berechne, ein explizitest, dann ist es doch nicht unerheblich welches ich benutze. (was ich wohl meinte ist: Sobald man die (Start)-Bedingungen, also z.B. [latex]x(t_0)=A_0[latex] festgesetzt hat, kann man nicht mehr zwischen den Lösungen der DGL hin und her switchen, ohne den Phasenwinkel anzupassen.) Hoffe es ist klar was ich meinte. Denke jedenfalls, es wurde mir eben ein kleiner Denkfehler klar. Danke auch für die wunderschöne Herleitung der Kreisfrequenz. Die ist super. Ach und wegen der Reibung bzw. der char. Gl.: Ja, ich hab das ohne die Dämpfung berechnet. Werd es aber gleich für die Reibung wiederholen.
Äther	Verfasst am: 01. März 2016 13:58    Titel: Re: Formel der Harmonischen Schwingung herleiten Hi, balance hat Folgendes geschrieben: (4) Einschliesslich eines Dämpfungsterms und ganz allgemein lautet sie:(Wieso entspricht der Dämpfugnsterm genau, wieso kann die Dämpung nicht in einem anderen Term vorkommen?) Das ist die Gleichung des freien gedämpften harmonischen Oszillators. Eine noch allgemeinere Form wäre die Gleichung einer erzwungenen Schwingung: Man definiert in der Regel . Dass die dämpfende Kraft proportional zur Geschwindigkeit ist, ist eine Annahme. Man geht in der Regel von Stokesscher Reibung aus. Das deckt sich auch ganz gut mit Alltagserfahrungen. Wenn Du Deine Hand langsam durch Wasser gleiten lässt, gibt es kaum Widerstand. Machst Du das gleiche bei hoher Geschwindigkeit, musst Du deutlich mehr Kraft aufwenden. balance hat Folgendes geschrieben: (7) Mittels Euler-Ansatz bekommen wir die Char. Gl.: ( Die Allg. Lösung lautet somit: (9)ist nun eine komplexe und evtl. imaginäre Lösung. Wir müssen jedoch sicherstellen, dass diese Lösung reell ist. Es muss also gelten:(Rechts steht das komplex. konj.) Nein, bekommen wir nicht. Die charakteristische Gleichung ist: Was Du ausgerechnet hast gilt nur für den Fall vernachlässigbarer Reibung. balance hat Folgendes geschrieben: Die exp. Terme entsprechen Trigonometrischen Funktionen, somit müssen die Koeffizienten Null ergeben. (Aber auch weil Omega nie null sein kann, t variable ist und i auch nie null ist) Es gilt alsoundWir sehen, dass sogar giltund somit- kurzum: Sie sind reell und gleich. Wir definieren also:(Wobei dies eine korrekte Wahl vonundvoraussetzt) Wir kriegen also: (10) (11) Wir setztenund bekommen: Statt dieser aufwändigen Rechnerei kann man sich auch darauf berufen, dass sowol der Real- als auch der Imaginärteil linear unabhängige Lösungen der DGL sind. Deshalb ist eine allgemeine Lösung der DGL balance hat Folgendes geschrieben: Wir können nun natürlich noch einen Phasenwinkelhinzufügen, mit welchem wir die Startbedigungen beibeliebig varriieren können. Wir bekommen somit: In meinem Physik Skript wird übrigens delta'=delta+pi/2 gesetzt und vortan nur noch mit der Formel gerechne. Fällt euch ein Grund ein, wieso? Kann ich es als komischen Didaktischen "Trick" abtun? (Man zeichne ne Schwingung ja eher so dass x(t=0)=0 ist) - was ja der Sinus is. und sind zu (1) äquivalente Lösungen. Wie man den Phasenwinkel definiert ist vollkommen willkürlich. balance hat Folgendes geschrieben: Ach und zu guter Letzt: Mir ist die Definition von Omega nicht so klar. Wieso bei einem Federpendel die Kreisfrequenz gleich der Wurzel von der Federkonstante geteilt durch die Masse ist. Werds mir sicher noch herleiten - aber falls ihr gute Linsk etc kennt, immer her damit. Das ergibt sich aus der Rechnung. Wenn Du ohne diese Definition rechnest, bekommst Du als Lösung der DGL: Daraus ist ersichtlich, dass eine Schwingung nach einer Periodendauer von vollzogen ist. Die Kreisfrequenz ist definiert als damit ergibt sich: Oder etwas salopper formuliert: der Faktor vor der Zeitvariable t im Argument des Sinus/Kosinus entspricht der Kreisfrequenz.
balance	Verfasst am: 01. März 2016 12:59    Titel: Formel der Harmonischen Schwingung herleiten Hallo, Ich habe ein paar Fragen zur Herleitung der Formel der harmonischen Schwingung. Dazu habe ich sie selbst hergeleitet und die Fragen dementsprechend gestellt. Ich habs kommentiert und würde mir wünschen, wenn jemand darüber guckt. Herleitung: Harmonische Schwingung bzw. harmonischer Oszillator Wir beginnen mit dem Hook'schen-Gesetzt, da z.B eine Masse an einer Feder einer Schwingung entspricht. (1) Die Bewegungsgleichung wäre dann:(Falls das Feder-Masse-System vertikal hängt setzten wir einfach den Nullpunkt entsprechend.) (2) Weiter ist ja (3) (4) Einschliesslich eines Dämpfungsterms und ganz allgemein lautet sie:(Wieso entspricht der Dämpfugnsterm genau, wieso kann die Dämpung nicht in einem anderen Term vorkommen?) (5) Wir definieren (Dies machen wir, weil wir ein Federpendel anschauen.) (6) Wir bekommen also: (7) Mittels Euler-Ansatz bekommen wir die Char. Gl.: ( Die Allg. Lösung lautet somit: (9)ist nun eine komplexe und evtl. imaginäre Lösung. Wir müssen jedoch sicherstellen, dass diese Lösung reell ist. Es muss also gelten:(Rechts steht das komplex. konj.) Die exp. Terme entsprechen Trigonometrischen Funktionen, somit müssen die Koeffizienten Null ergeben. (Aber auch weil Omega nie null sein kann, t variable ist und i auch nie null ist) Es gilt alsoundWir sehen, dass sogar giltund somit- kurzum: Sie sind reell und gleich. Wir definieren also:(Wobei dies eine korrekte Wahl vonundvoraussetzt) Wir kriegen also: (10) (11) Wir setztenund bekommen: Wir können nun natürlich noch einen Phasenwinkelhinzufügen, mit welchem wir die Startbedigungen beibeliebig varriieren können. Wir bekommen somit: In meinem Physik Skript wird übrigens delta'=delta+pi/2 gesetzt und vortan nur noch mit der Formel gerechne. Fällt euch ein Grund ein, wieso? Kann ich es als komischen Didaktischen "Trick" abtun? (Man zeichne ne Schwingung ja eher so dass x(t=0)=0 ist) - was ja der Sinus is. Ach und zu guter Letzt: Mir ist die Definition von Omega nicht so klar. Wieso bei einem Federpendel die Kreisfrequenz gleich der Wurzel von der Federkonstante geteilt durch die Masse ist. Werds mir sicher noch herleiten - aber falls ihr gute Linsk etc kennt, immer her damit. Edit: Ich möchte hier Herleiten oder eher Erklären wieso Inuitiv versteht man, dass eine Masse an einem Federpendel eine trigonometrische Funktion zeichen. z.B. Sinus, Cosinus. Nun ist wohl de Zusammenhang zwischen Einheitskreis und einer Trigo. Funktion bekannt. Somit ist die Beziehung zwischen einer Kreisbewegung und der Trigo. Funktion bekannt. Man versteht also sofort, wenn man sagt: Die Änderung des Winkels ist das Ausführen einer Kreisbewegung. (Naja, das versteht man ja sowieso ) Wir haben also einen Zusammenhang zw. Kreisbewegung und Schwingung. Wir nehmen das Federpendel: wobei $x=t$ gesetzt wurde. Die Beschleunigung und somit die Positionsänderung der Masse ist also gleich Wie oben erklärt, lässt sich diese geradlinige (hoffe das ist der korrekte Term) auch als Welle denken. (Man befestige einen Stift an der Masse und zieht ein Blatt darüber.) Die Schwingung hingegen ist "verbunden" mit dem Kreis. Wir wissen: . Daraus leiten wir inutivi her: Es kann gern jemand ein wenig mathematischer Herleiten Man leist ausserdem aus der Formel raus: umso steifer die Feder, umso höher die Frequenz - umso schwerer die Feder, umso niedriger die Frequenz.

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