HerrDauer |
Verfasst am: 22. Okt 2006 15:21 Titel: |
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Nachtrag : Tetraederkoordinaten gibt es doch - der berühmte Herman Weyl hat sie vor etwa 100 Jahren benützt. Ich glaube, daß man sie für die moderne Teilchenphysik anwenden kann. wenn f1' = 0 1 0 -1 0 -1 0 1 0 und f1' = Transl ( 2 )( f1') und f1 + Transl ( -2 )( - f2 ) = 0 1 2 3 0 -1 -2 -1 0 dann kreiert f ( f1 , f2 ) 2d Orbitale, in dem Fall 4 Rechtecke neben 0 und 4 diagonale Quadrate um 0. [wortwörtliche zitate sollten gekennzeichnet werden!, para]
de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder hat Folgendes geschrieben: | Die Einbettung des Tetraeders in einen Würfel bietet eine einfache Möglichkeit, ein regelmäßiges Tetraeder zu konstruieren. Bezeichnen wir die Eckpunkte des Würfels an der Basis mit A, B, C und D sowie die darüberliegenden Eckpunkte mit E, F, G und H, so bilden A, C, F und H sowie B, D, E und G jeweils die Ecken eines Tetraeders. Betrachtet man z.B. in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem den Würfel, dessen Ecken die Koordinaten +1 und -1 haben, so erhält man für das erste Tetraeder die Ecken A(1,1,-1), C(-1,-1,-1), F(-1,1,1) und H(1,-1,1). Die Kanten sind: AC, AF, AH, CF, CH und FH. Die Seitenflächen sind die Dreiecke ACF, ACH, AFH und CFH. Das zweite Tetraeder hat die Ecken B(-1,1,-1), D(1,-1,-1), E(1,1,1) und G(-1,-1,1). Der Durchschnitt dieser beiden Tetraeder ist das von den Punkten (1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0) (0,-1,0), (0,0,1) und (0,0,-1) bestimmte Oktaeder. Ihre Vereinigung ist ein Sternkörper mit 8 Spitzen (in jeder Ecke des Würfels eine). Seine konvexe Hülle ist daher der Würfel. [Bearbeiten] Formeln Formeln zum regelmäßigen Tetraeder Volumen Oberflächeninhalt Umkugelradius Inkugelradius Höhe Volumenanteil an der Umkugel (UK) a ist die Länge der Seitenkanten. [Bearbeiten] Anwendungen Obwohl das Tetraeder nicht Stein einer Parkettierung des Raumes ist, tritt es (siehe oben) im kubischen Kristallsystem auf. In der Chemie spielt das Tetraeder bei der räumlichen Anordnung von Atomen in Verbindungen eine große Rolle. So sind beispielsweise die Kohlenstoffatome im Diamantgitter tetraedisch angeordnet, jedes Atom ist von vier weiteren Atomen umgeben. Auch das Methan bildet, aufgrund der sp3-Hybridisierung des Kohlenstoff-Atoms, ein Tetraeder. Auch die Form der Tetrapoden, die an Küsten als Wellenbrecher eingesetzt werden, leitet sich vom Tetraeder ab. [Bearbeiten] Allgemeines Tetraeder (dreidimensionaler Simplex) Ein Tetraeder im allgemeinen Sinn, also ein Körper mit vier Seitenflächen, ist immer eine dreiseitige Pyramide, also mit einem Dreieck als Grundfläche und drei Dreiecken als Seitenflächen, und hat daher auch vier Ecken sowie sechs Kanten. Da er die für einen Körper im Raum kleinste mögliche Zahl von Ecken und Seiten hat, wird er in der Fachsprache (dreidimensionaler) Simplex genannt. Die zweidimensionalen Simplizes sind die Dreiecke. Jeder Simplex besitzt eine Umkugel und eine Inkugel. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Verbindungsstrecken zwischen den Ecken und den Schwerpunkten der gegenüberliegenden Dreiecke und teilt diese im Verhältnis 3:1. Jeder Simplex ist die konvexe Hülle seiner vier Ecken. [Bearbeiten] Analogien in höheren Dimensionen Die Analoga des Tetraeders in beliebiger Dimension n werden als (n-dimensionale) gleichseitige Simplizes bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Der n-dimensionale Simplex hat n + 1 Ecken und wird von n + 1 (n-1)-dimensionalen Simplizes (als Facetten) begrenzt. Der vierdimensionale Simplex hat 5 Ecken, 10 gleichlange Kanten, 10 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen und 5 dreidimensionale Tetraeder als Facetten. Der eindimensionale Simplex ist eine Strecke, der zweidimensionale Simplex ist das gleichseitige Dreieck. In Koordinaten kann man ein reguläres n-Simplex beispielsweise durch beschreiben. Beispielsweise ergibt sich für n = 2 das gleichseitige Dreieck, das von den Punkten (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) im dreidimensionalen Raum aufgespannt wird. |
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