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TomS	Verfasst am: 30. Jul 2015 22:49    Titel: Gerne
gast454335	Verfasst am: 30. Jul 2015 22:40    Titel: alles klar, danke nochmal für deine Hilfe!
TomS	Verfasst am: 30. Jul 2015 18:00    Titel: gast454335 hat Folgendes geschrieben: wieso hat derjenige, der das Skript bei ( 8 ) so geschrieben, dass die exp-Fkt. in der ersten Komponente beim Spin steht? Das ist nur die Klammersetzung für eine kompakte Notation, mehr nicht.
gast454335	Verfasst am: 30. Jul 2015 15:15    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Nochwas: ich habe den Eindruck, dass du da über nicht-kommutierende Operatoren nachdenkst. Das ist nicht zutreffend, den letztlich passiert folgendes ja, mir geht es eben um die Kommutativität, genau, aber es ist jetzt viel klarer, nur noch eine Sache, und zwar meintest du, dass diese exp-Fkt. nur auf den Ortsanteil, nicht auf den Spin wirkt, wieso hat derjenige, der das Skript bei ( 8 ) so geschrieben, dass die exp-Fkt. in der ersten Komponente beim Spin steht? Davor hatte er es ja richtig vor dem Ortsvektor.
TomS	Verfasst am: 30. Jul 2015 14:56    Titel: gast454335 hat Folgendes geschrieben: willst du damit sagen, dass wenn ich den Impulsoperator in seiner Matrixdarstellung schreibe, das immer noch stimmt von der Rechnung her, Welche Matrixdarstellung? Der Impulsoperator lautet In dem Moment, wo da eine 2 * 2 Matrix steht, hast du bereits das Tensorprodukt gebildet, d.h. gast454335 hat Folgendes geschrieben: du hast doch die Vektoren vertauscht, ... die Farbe passt halt, aber z.B. war der Vektor |c> vorher in der Mitte ... Ja, das war Absicht. In dieser Notation wird die Buchhaltung halt nicht über die Reihenfolge sondern über die Farbe erledigt (was natürlich total unpraktisch ist). Wichtig ist nur, dass immer klar ist, welcher Operator auf welchen Ket wirkt. Und das ist klar. Nochwas: ich habe den Eindruck, dass du da über nicht-kommutierende Operatoren nachdenkst. Das ist nicht zutreffend, den letztlich passiert folgendes
gast454335	Verfasst am: 30. Jul 2015 12:36    Titel: willst du damit sagen, dass wenn ich den Impulsoperator in seiner Matrixdarstellung schreibe, das immer noch stimmt von der Rechnung her, die hast doch die Vektoren vertauscht, (A B C) (|b> |c> |a>) = C|c> A|a> B|b>? die Farbe passt halt, aber z.B. war der Vektor |c> vorher in der Mitte und jetzt am Anfang, ich dachte die Reihenfolge bleibt einfach fest, sorry, ich stell mich echt blöd an, aber das muss ich einfach verstehen
TomS	Verfasst am: 30. Jul 2015 11:53    Titel: Bingo! Du kannst dir das auch wie folgt überlegen: (A B C) (|b> |c> |a>) = C|c> A|a> B|b> Aber immer schön sortieren macht's halt leichter.
gast454335	Verfasst am: 30. Jul 2015 11:45    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Wenn dann mal ein einzelnen Operator dasteht, dann siehst du dem Typ des Operators an, auf welchen Teil des Zustandes er wirkt. ok, cool, danke, mein Problem war die ganze Zeit, dass ich den Impulsoperator als Matrix gesehen habe und wir quasi mit Matrizen "rumgeschoben" haben. wobei bei bei ( 8 ) der ja auch die e-Fkt. nach links getan hat, obwohl sie eigentlich nur auf den Ortsvektor wirkt und nicht auf den spin
TomS	Verfasst am: 30. Jul 2015 11:17    Titel: gast454335 hat Folgendes geschrieben: Nein, das darfst du nicht! Du machst es dir viel zu kompliziert. Was steht den letztlich da? Mit Wellenfunktione und einem einfachen Operator p sieht das wie folgt aus: Nun schauen wir uns die Operatoren mal genauer an: So einfach. Jetzt zurück zu deiner Zeile: ist sinnvoll, denn der erste Operator 1 wirkt auf den Spin, der zweite exp(-ipl) wirkt auf den Ort. ist nicht sinnvoll, denn wie soll exp(-ipl) auf den Spin wirken? Das passt nicht. Die einzige Problematik, die du hast, ist Buchhaltung und Reihenfolge. Für einen Produkthilbertraum mit Zuständen ist jeder Operator, den du darauf definierst, von exakt dieser Struktur, d.h. Die Wirkung des Operators auf Zustände lautet dann Wenn du immer darauf achtest, dass sowohl deine Operatoren als auch deine Kets gleich sortiert bleiben, dann hast du dieses Problem nie. In deinem Fall solltest du festlegen, dass der erste Faktor dem Spin und der zweite psi zugeordnet ist und diese Reihenfolge immer stur beibehalten. Wenn dann mal ein einzelnen Operator dasteht, dann siehst du dem Typ des Operators an, auf welchen Teil des Zustandes er wirkt. btw.: kein normaler Mensch würde in diesem speziellen Fall diese Notation verwenden; das ist einfach Käse, viel zu viel Schreibkram und einfach nur lästig; jeder weiß, dass die Ableitung auf x und die Matrix auf den Vektor wirkt; du schreibst ja auch nicht sondern
gast454335	Verfasst am: 30. Jul 2015 08:53    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: was ist denn dein "?" bzw. dieser gesuchte letzte Term? das heißt, was kommt da hin, hast du dir quasi ausgesucht, ob die Matrix auf die erste Komponente wirkt oder nicht aber ich darf auch nicht einfach diese beiden Matrizen vertauschen, iwie hab ich die mathem. Begründung noch nicht verstanden
TomS	Verfasst am: 30. Jul 2015 06:58    Titel: gast454335 hat Folgendes geschrieben: hmm, also warum genau folgt das jetzt, ... wie gesagt, weil exp(-ipl) als 1 auf den Spin wirkt gast454335 hat Folgendes geschrieben: ... warum sollte der letzt Term unsere Behauptung sein was ist denn dein "?" bzw. dieser gesuchte letzte Term? gast454335 hat Folgendes geschrieben: ist denn ganz allg Sicher nicht, weil A entweder auf den ersten oder den zweiten Hilbertraum wirkt. Schau mal ganz zu Beginn: Es geht doch in unserem Fall immer aus der Form des Operators hervor, auf welchen Hilbertraum er wirkt.
gast454335	Verfasst am: 29. Jul 2015 23:20    Titel: hmm, also warum genau folgt das jetzt, es ist warum sollte der letzt Term unsere Behauptung sein, ist denn ganz allg.
TomS	Verfasst am: 29. Jul 2015 14:18    Titel: Das ist trivial, da exp(-ipl) als 1 auf den Spinanteil wirkt:
gast454335	Verfasst am: 29. Jul 2015 12:16    Titel: cool, danke, also ich probiers zu erst mal direkt: dieses müsste ich iwie rüberkriegen, dann würde das Ergebnis schon dranstehen ich glaube, dass 2) nicht gehen würde, weil die Matrix immer nur auf die erste Komponente des Tensors wirkt und damit bleibt exp(..) immer in der zweiten Komponente
TomS	Verfasst am: 28. Jul 2015 23:09    Titel: Ich schau mir das vielleicht heute oder morgen an. Wichtig ist, dass wir verstanden haben, dass in (6), 2. Zeile einfach das "+" zwischen den Klammern fehlt. Als Tipps für (8) evtl. noch folgendes 1) Spin- und der Impuls-Anteil vertauschen immer 2) Evtl. mal folgendes ausprobieren (dabei verhält sich p wie eine Zahl) Die beiden Klammern kannst du separat berechnen
gast454335	Verfasst am: 28. Jul 2015 22:10    Titel: also A sollte eine allgemeine Matrix sein, in unserem Fall wäre es einfach und die v, w sind einfach beliebige Vektoren. Auf was ich hinaus will ist, dass wenn ich ausrechnen will, muss ich irgendwie dieses A auf die andere Seite bringen, was ich aber nicht darf, deswegen scheint mir auch ( 8 ) falsch zu sein.
TomS	Verfasst am: 28. Jul 2015 21:52    Titel: gast454335 hat Folgendes geschrieben: das vorherige ist ok, aber nur ( 8 ) fehlt mir noch, ich glaube, dass das auch falsch ist, weil im Allgemeinen nicht gilt: habs für beliebige 2x2 Matrizen probiert und da kommt was falsches raus. aber diese Gleichung hat er glaub ich benutzt was sind A, v, w? im vorliegenden Fall ist immer klar, welcher Operator auf welchen Hilbertraum wirkt; aber jetzt schiebst du A zwischen beiden hin und her.
gast454335	Verfasst am: 28. Jul 2015 20:09    Titel: gast454335 hat Folgendes geschrieben: Jetzt ist es fast geschafft, nur noch bei der ( 8 ) weiß ich nicht, wie er die exp(...) nach links vor dem Tensorprodukt rüberbringt. Weißt du wie er das geschafft hat. das vorherige ist ok, aber nur ( 8 ) fehlt mir noch, ich glaube, dass das auch falsch ist, weil im Allgemeinen nicht gilt: habs für beliebige 2x2 Matrizen probiert und da kommt was falsches raus. aber diese Gleichung hat er glaub ich benutzt
TomS	Verfasst am: 28. Jul 2015 14:16    Titel: gast454335 hat Folgendes geschrieben: meine Rechnung stimmt ja damit auch, dass ist nämlich genau bei dir die erste Gleichung. Bei dir steht: Das kann ich mit meinem Ausdruck nicht in Übereinstimmung bringen.
gast454335	Verfasst am: 28. Jul 2015 13:48    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: meine Rechnung stimmt ja damit auch, dass ist nämlich genau bei dir die erste Gleichung. dann steht das im Skript falsch drin, da kommt ein Plus statt ein Mal hin. Die Gleichung (7) stimmt damit auch, habe es gerade nachgeprüft. Jetzt ist es fast geschafft, nur noch bei der ( 8 ) weiß ich nicht, wie er die exp(...) nach links vor dem Tensorprodukt rüberbringt. Weißt du wie er das geschafft hat.
TomS	Verfasst am: 28. Jul 2015 13:17    Titel: Nee. Der letzte Term verschwindet, da das Produkt orthogonaler Projektoren gleich Null ist. Dann folgt Die beiden ersten Terme heben sich weg. Jetzt Umschreiben der Exponentialfunktion Damit folgt zuletzt Das passt zu meinem o.g. Ergebnis. Außerdem erscheint als Zwischenergebnis wohl die von dir oben gesuchte Formel:
gast454335	Verfasst am: 28. Jul 2015 11:55    Titel: sorry, hab mich verrechnet, ich komme nach dieser Tensorproduktregel von oben auf
TomS	Verfasst am: 28. Jul 2015 11:26    Titel: gast454335 hat Folgendes geschrieben: man kann doch dann gleich mit den obigen Formeln ausmultiplizieren, dann würde folgen: wie kommst du drauf?
gast454335	Verfasst am: 28. Jul 2015 09:58    Titel: ahh stimmt, die Einheitsmatrix vergessen, aber das Ergebnis sieht doch jetzt viel besser aus, man kann doch dann gleich mit den obigen Formeln ausmultiplizieren, dann würde folgen: Wenn ich jetzt den Vektor drauf anwende, komme ich auf Das wäre nun das neue, richtige (7) im Paper. Und dann noch einmal drehen mit der Rotationsmatrix R ergibt dann: passt das so?
TomS	Verfasst am: 28. Jul 2015 00:23    Titel: Nee, das stimmt so nicht. Zur Erinnerung: die BCH-Formel sagt, dass wobei das letzte Gleichheitszeichen für [X,Y] = 0 folgt. Oben habe ich einen Ausdruck für den Exponenten der Summe hergeleitet; im folgenden geht es um das Produkt der Exponenten. Zunächst ist Wegen muss nach BCH folgen, dass Zunächst ist Damit ist Nun multipliziert man aus, schreibt die e-Funktion mittels sin und cos um und fasst geeignet zusammen. Dann folgt wiederum die oben hergeleitete Darstellung für U, also q.e.d.
gast454335	Verfasst am: 27. Jul 2015 13:46    Titel: aber dann würde doch mit Baker folgen, dass und der erste Term ist dann und für den zweiten Term analog, das wäre dann das was dransteht, wobei ich auch nicht weiß, warum das jetzt nicht Null sein sollte
TomS	Verfasst am: 27. Jul 2015 12:58    Titel: gast454335 hat Folgendes geschrieben: ja, wobei p auch eine Matrix ist, ... p ist halt ein beliebiger Operator gast454335 hat Folgendes geschrieben: ... was aber hier ja nicht geht mit Tensoren ... warum soll Baker-Campbell-Hausdorff nicht funktionieren? gast454335 hat Folgendes geschrieben: Wenn man sich außerdem seine Lösung anschaut, dann müsste doch nach den Regeln oben 0 rauskommen, denn und AC = 0 ich sage ja, da ist irgendwo der Wurm drin
gast454335	Verfasst am: 27. Jul 2015 12:34    Titel: ja, wobei p auch eine Matrix ist, er hat ja geschrieben, dass die Baker Formel verwenden will (siehe (54)), was aber hier ja nicht geht mit Tensoren. Wenn man sich außerdem seine Lösung anschaut, dann müsste doch nach den Regeln oben 0 rauskommen, denn und AC = 0 Daher schaut mir deine Lösung vielversprechender. Angenommen wir rechnen falsch weiter, wie kommt er dann auf (7) und ( 8 )?
TomS	Verfasst am: 27. Jul 2015 12:05    Titel: irgendwie ist schon in (6) der Wurm drin ... mit d.h. man kann die Summe in gerade und ungerade Terme auseinanderziehen daraus folgt irgendwie ist die zweite Zeile in (6) für mich rätselhaft
gast454335	Verfasst am: 27. Jul 2015 10:53    Titel: in Nummerierung ( 8 )
gast454335	Verfasst am: 27. Jul 2015 10:52    Titel: danke erstmal, das steht aber auf dem Paper hier: http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0303081v1.pdf und zwar auf Seite 2 rechts unten bei Nummerierung (7) bei ihm kommt weder Null raus noch hat er die Klammern anders gesetzt, wobei man das , wie ich es hier genannt habe, einfach von rechts an die Exp.funktionen multipl. kann ("ausklammern"), dann hat man die Klammer weg und es macht wieder Sinn. Könntet ihr mir vll. auch sagen, ob es stimmt, dass für zwei Vektoren v, w und einer Matrix A gilt: Das hat er glaub ich beim nächsten Schritt in ( benutzt
TomS	Verfasst am: 27. Jul 2015 10:26    Titel: Wenn die Klammerung passt, dann hast du richtig argumentiert da für Projektoren gilt.
index_razor	Verfasst am: 27. Jul 2015 10:09    Titel: gast454335 hat Folgendes geschrieben: rauskommen sollte: Das ergibt keinen Sinn. Was soll das Tensorprodukt des Operators mit dem Vektor bedeuten? Hast du falsch geklammert? Hast du einen link zu der Aufgabe oder kannst den exakten Wortlaut hier posten?
gast454335	Verfasst am: 27. Jul 2015 09:08    Titel: ah super, danke, ich wollte das anwenden, aber es funktioniert iwie nicht und zwar habe ich die Matrix , wobei P eine Matrix ist. Das soll auf Dann komme ich (nicht korrekterweise) auf: , da PS: rauskommen sollte:
index_razor	Verfasst am: 27. Jul 2015 07:24    Titel: gast454335 hat Folgendes geschrieben: also meinst du jetzt: Ja, das stimmt. Das kannst du mit der Definition leicht beweisen. "Matrixmultiplikation" bedeutet einfach Hintereinanderausführung der beiden Operatoren und . Also gilt für jedes aus dem Tensorprodukt : und per linearer Fortsetzung gilt das dann für jedes Element aus , da das Tensorprodukt ja durch Basen der Form aufgespannt wird. Also gilt auch . Das war jetzt der "Physikerbeweis". Mathematiker beweisen die Existenz von und etc. basisunabhängig mit Hilfe universeller biliniearer Abbildungen. Danach ist eine bilineare Abbildungen auf , die ihren Bildbereich unter den Bildern aller bilinearen Abbildungen bis auf Isomorphie charakterisiert. Da man isomorphe Vektorräume sowieso nicht unterscheidet, ist das Tensorprodukt sozusagen die allgemeinste billineare Abbildung, die es auf geben kann. Die Existenz von Tensorprodukten von Operatoren mit der oben gezeigten Eigenschaft folgt dann ebenfalls.
TomS	Verfasst am: 27. Jul 2015 07:18    Titel: Ein Beispiel meinerseits:
TomS	Verfasst am: 27. Jul 2015 00:01    Titel: Schreib halt bitte mal den Zustand sowie die darauf wirkenden Operatoren konkret hin.
gast454335	Verfasst am: 26. Jul 2015 14:41    Titel: die in der mitte ist eine matrix multiplikation
Jayk	Verfasst am: 26. Jul 2015 14:33    Titel: index_razor hat Folgendes geschrieben: gast454335 hat Folgendes geschrieben: ahso, ok und wie sieht es für vier Matrizen aus: Dafür mußt du die Definition zweimal anwenden. Was soll das für eine Operation sein?
gast454335	Verfasst am: 26. Jul 2015 09:30    Titel: also meinst du jetzt:

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