yellowfur |
Verfasst am: 29. Jun 2015 22:14 Titel: |
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Hi! Welche Formeln und welches Buch du gerade hast, weiß ich nicht, das darfst du aber gerne hier hinschreiben. Wenn du einen Einzelspalt mit einer monochromatischen ebenen Welle beleuchtest, dann bekommst du eine Sinc-Funktion auf dem Beobachtungsschirm. Normalerweise ist dann die Koordinate entweder als x-Position auf dem Schirm gegeben oder du gibst den Winkel zur Symmetrieachse an: wobei oft gerne sin(z)/z = sinc(z) geschrieben wird. b ist die Spaltbreite, k = 2*pi/lambda die Wellenzahl und I0 die Einstrahlintensität. Entweder wählst du also als Koordinate Sinus alpha oder nimmst den Versatz x zur Symmetrieachse: wenn d der (Fernfeld-)abstand zwischen Spalt und Schirm ist. Vielleicht hat dein Buch da schlecht erklärt, was die genau machen. Mit gleichen Koordinaten darfst du dann die Schaubilder übereinander legen. Beim Doppelspalt interferieren die beiden Einzelspalte noch zusätzlich miteinander, das heißt, was sich ändert, ist, dass die ursprüngliche Einzelspaltfunktion noch mit einem Kosinus moduliert wird: Hier ist a noch der Spaltabstand. Durch Modulieren des Sinus mit dem Kosinusterm werden die Beugungsbilder beim Doppelspalt zwar schmaler, aber die Position ändert sich nicht. Dein Hauptmaximum bleibt in der Mitte. Das kann sich bei höheren Ordnungen (noch mehr Spalte, Gitter) ändern. Da der Einzelspalt schon eine bestimmte Intensitätsverteilung hat, kann der Doppelspalt nicht plötzlich mehr Intensität zeigen, wenn das Licht divergent von den Spalten wegläuft. Deswegen ist es intuitiv, dass die Funktion des Einzelspaltes die Einhüllende ist und darunter, moduliert vom Kosinus, die Interferenz der beiden Spaltsignale miteinander als schmalere Intensitätsmaxima auftritt. Wenn a << lambda, beziehungsweise a und k sehr klein, dann siehst du in dem Kosinus, dass du im Grenzwert cos(0) = 1 hast. Dann verschwindet der Beitrag der Interferenzen des Doppelspaltes und du hast noch den Einzelspalt übrig. Setzt du b -> 0, verschwindet das Signal, weil der Spalt so klein wird, dass kein Licht mehr durchkommt. Aber nimmst du an, dass er nur sehr sehr klein wird, dann siehst du mathematisch am Grenzwert (Satz von L'Hopital, Grenzwertbildung von sin(z)/z, z->0), dass die Sincfunktion 1 wird und nur der reine Doppelspalt übrigbleibt. Wenn du in die letzte Formel alpha gegen 0 gehen lässt, was bekommst du dann raus? Das ist dein Signal am Schirm auf der Symmetrieachse. |
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