Physikerboard.de :: Thema-Überblick - Koordinatendarstellung Darstellungstheorie

TomS · Verfasst am: 22. Feb 2015 09:25 Titel:

Q ist ein Operator, also keine Matrix, sondern ein Skalar.

Allerdings nicht im Sinne deiner Gleichung, also kein Sandwichen zwischen Zuständen.

Was genau ergibt denn keinen Sinn?

Vektorling · Verfasst am: 22. Feb 2015 02:31 Titel:

Also was ich nicht verstehe, wenn T^{a} eine Matrix ist, wie kann dann Q^{a} eine Matrix sein?
Die Gleichung:

ist doch eine Gleichung der Form
<a|M|b> und das ergibt doch ein Skalar. Das macht keinen Sinn.

TomS · Verfasst am: 19. Feb 2015 21:43 Titel:

Z.B. stattdessen die SU(2) nehmen und die konkrete Matrixdarstellung für die Pauli-Matrizen verwenden?

Vektorling · Verfasst am: 19. Feb 2015 21:30 Titel:

Könntest du vielleicht noch ein Beispiel mit zahlen irgendwie geben?

Vektorling · Verfasst am: 19. Feb 2015 21:17 Titel:

Ah ja stimmt, weil man die q und p auch als Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren sehen kann. Aber so klar ist mir das noch nicht was da abgeht. DANKE

TomS · Verfasst am: 19. Feb 2015 20:41 Titel:

Also dann rate ich mal.

Nehmen wir eine Liealgebra, z.B. die U(3) = U(1)*SU(3) des 3-dim. harmonischen Oszillators mit ihren Generatoren - als quantenmechanische Operatoren.

Die T^a sind die Generatoren der SU(3) - als 3*3-Matrizen; vgl. die Pauli-Matrizen der SU(2).

Wir haben also zwei Klassen von Objekten, die die selbe Algebra erfüllen, nämlich einmal

sowie die T^a, die identische(!) Kommutatorrelationen aufweisen. Weil das so ist kann man die Q^a wie oben aus den T^a konstruieren (Beweis ist recht einfach).

Wir haben also die T-Darstellung auf einem 3-dim. komplexen Vektorraum, und wir haben die Q-Darstellung auf einem unendlich-dimensionalen Hilbertraum.

Nun kannst du die (unendlich vielen) Eigenzustände |nx,ny,nz> entsprechend der Casimiroperatoren der SU(3) klassifizieren. Du erhältst Multipletts, sowie Auf- und Absteiger innerhalb dieser Multipletts, ähnlich wie beim Drehimpuls.

Man kann zeigen, dass alle Q mit N und damit mit H vertauschen, d.h. alle Q^a entsprechen erhaltenen Ladungen (was sehr spaßig ist, da man damit das Spektrum von H vollständig bestimmen kann, ohne die DGLs zu lösen - rein mit Gruppentheorie).

Mich erinnert dein G-Dach an mein Q, und dein G_ij an mein (T^a)_mn.

Ist es sowas in der Art?

Vektorling · Verfasst am: 19. Feb 2015 19:59 Titel:

Keine Ahnung, ich schätze von einer endlichdimensionalen Darstellung, es geht darum das man neue Darstellungen von alten bekommt.

TomS · Verfasst am: 19. Feb 2015 19:33 Titel:

Ja und von was ist G die Matrixdarstellung?

Vektorling · Verfasst am: 19. Feb 2015 19:26 Titel:

hi, q und p sind die koordinaten und de konjungierte Impuls. G_i ist eine Matrixdarstellung.

TomS · Verfasst am: 19. Feb 2015 18:15 Titel:

Was sollen p,q und G sein?

Vektorling

Moin

ich lerne grade quantenfeldtheorie und im Kapitel zu Darstellungen steht das man eine Koordinatendarstellung durch eine Matrizendarstellung bekommt durch diese Formel mit Indizes:

(p und q sind die Koordinaten und ihr konjugierter Impuls)

ist die Matrixdarstellung. Kann mir jemand ein Beispiel geben? Wie soll ich diese Formel verstehen? Etwa als

Also so ne Art inneres Produkt?