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jh8979 |
Verfasst am: 15. Feb 2015 19:57 Titel: |
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Ok. Hab mir das nochmal genauer angeguckt. Der von mir oben beschriebene Weg funktioniert (ausser, dass das was ich da b nenne nur die Phase, der Wurzel des Komplexkonjugierten von a ist). Es gilt Fuer alle komplexen a mit Re(a)>=0. 1. Die Bedingung ist nicht so überraschend, da der Integrand für Re(a)<0 exponentiell wächst. 2. Es kommt genau das raus, was man aus der realen Formel erhält, wenn man einfach einen komplexen Parameter einsetzt. Der Grund ist, dass dies Integral analytisch in dem Parameter a ist und dass analytische Fortsetzungen eindeutig sind (Darüber könnte man dem Integral dann sogar einen Wert zuschreiben für Re(a)<0, wenn man wollte). |
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jh8979 |
Verfasst am: 15. Feb 2015 17:19 Titel: |
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Ich bin mir im Moment allerdings nicht so sicher, dass der Kreisbogen wirklich verschwindet (zumindest nicht für beliebiges a. |
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jh8979 |
Verfasst am: 15. Feb 2015 17:04 Titel: |
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Richtig, also mit dem Faktor Und jetzt wählst du so dass reell und positiv ist, dann kannst Du das rechte Integral ganz normal im reellen lösen. |
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schnudl |
Verfasst am: 15. Feb 2015 16:47 Titel: |
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Hm, ich verstehe nun eigentlich nicht: wenn ich entlang der blauen Kontur integriere, habe ich und das rechte ist ja bis auf den Faktor genau mein gesuchtes Integral...Ich verstehe nicht was du meinst. Ich werde einmal darüber schlafen, da ich schon betriebsblind zu sein scheine... |
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jh8979 |
Verfasst am: 15. Feb 2015 15:25 Titel: |
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Die Kontour ist nicht richtig bei Dir. Um e^{-a*z^2} zu integrieren, nimmst Du die reale Achse (startend bei 0) einen Kreisbogen zum schliessen (ich hab nicht gecheckt ob der verschwindet, aber sollte er wohl) und eine gerade Linie z=b*t, und was so dass: a*b^2 >0. D.h. b ist die Wurzel aus dem Komplexkonjugierten von a. (Diese gerade Linie ist dann ein helles Gauchos Integral, welches Dir den Wert liefert.) |
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schnudl |
Verfasst am: 15. Feb 2015 15:13 Titel: |
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Wenn ich die Argumentation richtig verstanden habe wäre dann , wenn ich als Kontur mit komplexem setze das Integral über entlang dieser Kontur und dieses somit gleich dem Integral entlang der x Achse Letzteres ist das halbe Gauss-Integral; die Gleichsetzung und Verdopplung ergibt Das wäre dann auch das Ergebnis mit "naiver " Substitution - ist das nicht komisch? Es hieße, dass man den Vorfaktor im Gauss-Integral ruhig als komplex annehmen darf. |
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schnudl |
Verfasst am: 15. Feb 2015 14:08 Titel: |
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danke |
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jh8979 |
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schnudl |
Verfasst am: 15. Feb 2015 11:47 Titel: |
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Sollte ich nur ein Brett vor dem Kopf haben, bitte ich um einen dezenten Hinweis |
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schnudl |
Verfasst am: 15. Feb 2015 11:24 Titel: |
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Danke für die Antwort - leider sehe ich, dass ich einen Fehler gemacht habe. Es handelt sich um ein Integral der Art wobei a und b (endliche) komplexe Faktoren sind (ich habe bereits eine quadratische Ergänzung gemacht...) Mit der Substitution bzw. komme ich dann auf was ich zwar wie gestern vorgeschlagen mittels Cauchy auf bringen kann, jedoch ist das a immer noch komplex und ich kann das Gauss-Integral daher nicht anwenden. Gestern hatte ich den Faktor a komplett übersehen... Wie mache ich hier weiter? Vielen Dank ! |
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jh8979 |
Verfasst am: 14. Feb 2015 18:06 Titel: |
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Was Du machst ist korrekt. PS: Schön zu sehen, dass jemand diese Fouriertransformation mal korrekt macht und nicht falsch |
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schnudl |
Verfasst am: 14. Feb 2015 17:45 Titel: Integration im Komplexen |
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Ich brauche für eine Fouriertransformation im Bereich der digitalen Signalverarbeitung den Ausdruck Die Integration verläuft also auf einer Geraden im (endlichen) Abstand zur rellen Achse. Um das Integral auf die reelle Achse zu transferieren, könnte ich eine Kontur C wie folgt wählen (die Funktion ist ja in C analytisch): Ich neige nun zu der Aussage, dass im Limes die vertikalen Integrationen wegfallen, da und der Integrand Null wird. Genauso müsste das für das zweite vertikale Integral zutreffen, was heißt, dass man die Integration auf die reelle Achse bringen kann. Sind diese Überlegungen richtig? Ich bin mir nämlich wegen des Grenzübergangs nicht 100% sicher und das Ergebnis erscheint mir auch als zu "billig". Vielleicht kann sich jemand anschauen ob ich hier einem Fehlschluss aufsetze - solche Integrale sind ja in der theoretischen Physik durchaus üblich (deshalb hier und nicht im Mathe-Board, wo ich die Antworten mit meiner Ingenieursmathematik sowieso nicht verstehen würde...) |
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