Physikerboard.de :: Thema-Überblick - Herleitung Green-Funktion

Jayk · Verfasst am: 26. Jan 2015 16:31 Titel:

@TomS: Bei mir hat der Link noch funktioniert...

@Greenfunktion: Es gibt zwei ähnliche Formeln:

Plus entsprechende Regeln für die Rücktransformation! Ich kann mir die nicht merken und bin schneller, wenn ich mir das herleite.

Es gilt auch

, weshalb man für temperierte Distributionen einfach

definiert. Man sieht dann leicht, dass die Delta-Distribution die Fouriertransformierte 1 hat:

, was man häufig formal als

findet. Um die Greensfunktion für einen Differentialoperator

zu finden, muss man also in der Definitionsgleichung

eine Fouriertransformation machen:

also

und hat "nur noch" die Fourierrücktransformation zu machen.

Für

wählst du wählst du z.B.

für

und

für

.

TomS · Verfasst am: 26. Jan 2015 07:04 Titel:

Leider funktioniert der Link (momentan?) nicht.

Jayk hat schon recht: es wird nicht die Fouriertransformierte nach x abgeleitet, sondern es wird die Funktion nach x abgeleitet und anschließend fouriertransformiert.

Andersherum macht das auch wenig Sinn: die Fouriertransformierte ist eine Funkion von k; wie willst du die nach x ableiten.

Also die Fouriertransformierte von f' ist einfach ik * die Fouriertransformierte von f: F[f'] = ik F[f]

Greenfunktion · Verfasst am: 26. Jan 2015 04:09 Titel:

Schon einmal vielen Dank!

Aber ist es nicht genau andersherum, also:

.

Schließlich wird die Ableitung ja in den Integral reingezogen?

Jayk · Verfasst am: 26. Jan 2015 02:30 Titel:

Das ist ja gerade das Tolle an der Fouriertransformation, dass Ableitungen in Multiplikationen übergehen. Das macht sie so nützlich zur Bestimmung von Greensfunktionen.

Eindimensional:

,

wobei partielle Integration verwendet wurde (die Aussage gilt zum Beispiel für Schwartzfunktionen sowie auch für temperierte Distributionen)

Mehrdimensional:

für alle Multiindizes

.

Greenfunktion

Meine Frage:
Hi,

ist jemand von euch so nett, mir in diesem Skript

http://www.phys.ethz.ch/~mrg/QMII/Teil1+2.pdf

in Gleichung 1.1.9 auf Seite 5 die Umformung zu erklären?

Insbesondere geht es mir darum, warum der Laplace-Operator als -q^2 in das Integral hineingezogen werden darf.

Vielen Dank im Voraus

Meine Ideen:
Ich habe leider keine Ideen.