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TomS	Verfasst am: 14. Jan 2015 16:39    Titel: aavi hat Folgendes geschrieben: Ich habe es so verstanden, dass man nur gemeinsame Eigenfunktionen haben kann, wenn der Kommutator verschwindet. Beim Wasserstoff Problem mit einfachem Coulomb Potential stehen Impuls und reziproker Ort im Hamilton Operator. So wie ich das verstanden habe dürfte es keine Eigenfunktion geben, die beide Operatoren zugeordnet sind. So ist das (genauer: das Quadrat des Impulses) aavi hat Folgendes geschrieben: Die Lösung besteht ja aus der Radialwellenfunktion multipliziert mit den Kugelflächenfunktionen. Die Kugelflächenfunktionen lösen den Winkelanteil. Auch richtig aavi hat Folgendes geschrieben: Die Gesamtwellenfunktion ist insgesamt die Eigenfunktion von p und 1/r. Nein, wie kommst du drauf? Was bedeutet es, dass eine Wellenfunktion psi Eigenfunktion zu einem Operator ist? Zunächst mal für die Operatoren H sowie L² im Ortsraum, angewandt auf eine Eigenfunktion des Wasserstoffatoms: E ist der Eigenwert (der wg. Entartung nicht von allen Indizes abhängt, aber das ist hier egal). Wäre dieses psi auch Eigenfunktion zum Operator r, so müsste doch ein Eigenwert lambda existieren, so dass gilt: Aber ein derartiges lambda existiert nicht. Und damit ist die Wellenfunktion auch keine Eigenfunktion zu r (oder 1/r).
aavi	Verfasst am: 14. Jan 2015 15:23    Titel: Ok, ich probiere es Mal. Stimmt was du sagst. Nicht nur im Allgemeinen sondern immer kann man p und r aufgrund der Unschärfe nicht gleichzeitig bestimmen. Hier nochmal eine genauere Fragestellung: Ich habe es so verstanden, dass man nur gemeinsame Eigenfunktionen haben kann, wenn der Kommutator verschwindet. Beim Wasserstoff Problem mit einfachem Coulomb Potential stehen Impuls und reziproker Ort im Hamilton Operator. So wie ich das verstanden habe dürfte es keine geschlossene Eigenfunktion geben, die beide Operatoren zugeordnet sind. Die Lösung besteht ja aus der Radialwellenfunktion multipliziert mit den Kugelflächenfunktionen. Die Kugelflächenfunktionen lösen den Winkelanteil. Die Gesamtwellenfunktion ist insgesamt die Eigenfunktion von p und 1/r. Das heißt doch p und 1/r kommutieren. Oder nicht?
jh8979	Verfasst am: 14. Jan 2015 15:13    Titel: Re: Wasserstoff. Wieso kommutieren p und r? aavi hat Folgendes geschrieben: Im Allgemeinen kommutieren Ort und Impuls ja nicht (siehe Unschärferelation). Sie haben daher auch keine gemeinsamen Eigenfunktionen. Wieso kommutieren sie beim Wasserstoff-Atom trotzdem? Nicht nur im Allgemeinen, sie kommutieren nicht, auch nicht beim Wasserstoffatom. Ich denke hier geht es um andere Operatoren. Du solltest die Frage ein wenig präzisieren.
aavi	Verfasst am: 14. Jan 2015 15:09    Titel: Wasserstoff. Wieso kommutieren p und r? Meine Frage: Hallo, ich bereite mich gerade auf die Hauptprüfung in theoretischer Physik vor und bin bei Prüfungsprotokollen auf diese Frage gestoßen: Im Allgemeinen kommutieren Ort und Impuls ja nicht (siehe Unschärferelation). Sie haben daher auch keine gemeinsamen Eigenfunktionen. Wieso kommutieren sie beim Wasserstoff-Atom trotzdem? Meine Ideen: Hat es vielleicht etwas damit zu tun, dass man das Problem in Schwerpunkt und Relativkoordinaten separiert und dann nur mit dem Relativproblem weiterrechnet?

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