 Verfasst am: 15. Jan 2015 22:16 Titel: |
|
| Ja, es ist Und ja, L ist konstant. Und ja, ich muss mir den Zusammenhang zwischen E, p, m und L im Unendlichen nochmal anschauen. |
|
| Verfasst am: 15. Jan 2015 19:52 Titel: |
|||
Das mag sein. Es kommt darauf an, was die "rel. Gesamtenergie E" ist und welche Bedeutung Deine Symbolik hat. Ich gehe davon aus, dass E die Energie des bewegten Teilchens sein soll (und nicht die Gesamtenergie des Systems aus Teilchen und Zentralmasse). Dann sollte im Unendlichen gelten. Um auf zu kommen, habe ich L' durch E' dividiert: So ganz geheuer ist mir das allerdings nicht. Die Drehimpulserhaltung sagt, dass L' konstant ist. Du schreibst aber, dass L ebenfalls konstant ist. Das würde aber bedeuten, dass auch E' und somit auch p' konstant sein muss, was mir nicht sonderlich sinnvoll erscheint. |
|||
| Verfasst am: 15. Jan 2015 18:37 Titel: |
|
| Ich verstehe nicht, wie du das b anstelle von L in die Gleichungen bekommst; ich denke nicht, dass man das i.A. so machen darf. | |
| Verfasst am: 15. Jan 2015 18:30 Titel: |
|
| Google mal nach "schwarzschild photon orbit" - Bilder | |
| Verfasst am: 15. Jan 2015 17:47 Titel: |
|||||||||||
Ja, es waren meine gemeint. Newtonsche Näherungen sind schlechter bis unbrauchbar, und das Paper ist m.E. nicht relevant.
Wie so oft in der RT: c = 1 setzen. Und für Teilchen mit Masse m entspricht mein E wohl Energie / m.
Schaut ganz vernünftig aus; die 27 kenne ich irgendwoher ;-) Aber Vorsicht, für kleine b gibt es diese aus der Newtonschen Mechanik bekannten "Reflexion" am abstoßenden effektiven Potential nicht. Massebehaftete Teilchen fallen ins SL; masselose spiralisieren beliebjg oft, ... Ich habe nicnt mehr alle qualitativ verschiedenen Lösungen präsent und muss das erst wieder ausrechnen bzw. nachsehen. Eigtl. müsste es dazu Literatur geben; oder ich plotte das mal. |
|||||||||||
| Verfasst am: 15. Jan 2015 17:24 Titel: |
|||||
Dann waren mit den "oben verwendeten Näherungen" also nur Deine gemeint? In dem Fall hast Du Recht, aber das war für mich so nicht erkennbar. Für meine Näherungen gilt das, was ich geschrieben habe.
Da habe ich Probleme mit den Dimensionen. Du schreibst den Drehimpuls als aber eigentlich müsste doch gelten. Für den Drehimpuls und die Energie verwende ich hier gestrichene Symbole, um sie von Deiner Notation zu unterscheiden. Denn auch die Energie ist bei Dir offenbar anders definiert als Für mich sieht es so aus, als ob für die Energie bei Dir einfach gelten würde, aber sicher bin ich mir nicht. Es funktioniert zumindest für masselose Teilchen. Da ginge über in In der Periapsis wird das Null, so dass für Stoßparameter und Periapsis-Distanz folgt. Das Minimum liegt erwartungsgemäß bei und demzufolge Bis dahin scheine ich Dich also nicht völlig falsch verstanden zu haben, aber ganz schlau werde ich aus Deinen Gleichungen nicht. |
|||||
| Verfasst am: 14. Jan 2015 19:59 Titel: |
|||||||||||||||||||
Ich habe von Anfang an geschrieben, dass die von mir benutzten (nach wie vor relativistischen) Näherungen für kleine b nicht gelten. Du schreibst dann irgendwas über Newtonsche Rechnungen, die völlig irrelevant sind und sicher nicht gelten. Du kannst nicht mit einer unzutreffenden (Newtonschen) Argumentation argumentieren, dass eine andere (relativistische) Näherung unzutreffend ist; das ist logisch falsch, selbst wenn das Ergebnis deiner Aussage stimmt; nur darauf habe ich hingewiesen.
Ja, ich finde deine Argumentation widersprüchlich.
Mag ja sein; ich tue das zunächst nicht, erst bei der Näherung zur Berechnung der Integrale. Ich verstehe nicht, wozu dieser Artikel in dem Zusammenhang gut sein soll. Ich habe schon länger darauf hingewiesen, dass es bessere Argumentationen gibt:
Ich habe meine Rechnungen aus alten Skripten. Du findest das aber sicher auch bei MTW, Weinberg oder Wald.
Sag mal, liest du eigentlich, was hier in diesem Thread steht? Das habe ich hier aufgeschrieben:
|
|||||||||||||||||||
| Verfasst am: 14. Jan 2015 19:18 Titel: |
|||||||
Nicht wirklich. Zu meiner Aussage, dass die Näherungen ganz sicher nicht gelten, schreibst Du, dass sie so nicht stimmen kann, um dann im selben Atemzug zu schreiben, dass die Näherungen nicht gelten. Findest Du das nicht selbst etwas widersprüchlich?
Das ist nur eines der Probleme. Bei der Herleitung des relativistischen Korrekturfaktors beschränken sich Olson und Guarino nicht nur auf Ablenkungen bis 90°, sondern auch auf das Fernfeld. Sie betonen, dass die Bahn dem Ereignishorizont nicht zu nahe kommen darf. Die Differenz zwischen dem zu erwartenden Korrekturfaktor 2 und der tatsächlichen Abweichung um den Faktor 3 von der klassischen Fallbeschleunigung deutet darauf hin, dass auch die verwendete Näherung für das Gravitationspotential nicht mehr stimmt. Damit wären die Gleichungen auch dann falsch, wenn wir keine hyperbolischen Bahnen voraussetzen, sondern auch Ellipsen, Kreise und sonstige gebundene Zustände zulassen.
Was meinst Du hier mit dem "effektiven Potential"? |
|||||||
| Verfasst am: 14. Jan 2015 18:24 Titel: |
|||||||||
Habe ich schon längst getan und auch immer so geschrieben: alle bisher diskutierten relativistischen Gleichungen für den Ablenkwinkel gelten nicht für kleine b (die Formel für das effektive Potential ist dagegen exakt). Das kannst du übrigens trivialerweise einsehen, wenn du mal meine Aussage bzgl. mehrfacher Umläufe (siehe auch den obigen Link) und die Formel in Abhängigkeit von b betrachtest: die Gültigkeit von b endet sicher (!) am Schwarzschildradius; da ist der Winkel dann nach oben begrenzt. Mit wachsender Zahl der Umläufe ist der Winkel jedoch sicher nicht nach oben beschränkt, d.h. die Formel kann dann nicht mehr gültig sein. |
|||||||||
| Verfasst am: 14. Jan 2015 18:19 Titel: |
|||||||||
Ja was denn nun? Sind sie gültig oder nicht? Du musst Dich schon entscheiden.
Nahe am Ereignishorizont ist Newton nicht nur für masselose Objekte falsch. |
|||||||||
| Verfasst am: 14. Jan 2015 16:52 Titel: |
|||
Nicht unbedingt, wenn du in der Lage bist, eine Näherung anzugeben, in der a) die Effekte additiv sind, und wobei b) die einzelnen Effekte separat und mittels unterschiedlicher Theorien berechenbar sind Die Periheldrehung des Merkur aufgrund der ART ist vergleichsweise groß (verglichen mit der Periheldrehungen anderer Planeten aufgrund des selben Effektes); Gründe sind 1) der schnelle Umlauf des Merkur um die Sonne, d.h. ein größerer Effekt je Zeit ; 2) dass der Effekt für sonnennahe Planeten aufgrund der Form des ART-Korrekturterms größer ist; 3) die große Masse der Sonne. Ich bin hier kein Spezialist, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass folgendes gilt: der Anteil der Periheldrehung des Merkur aufgrund anderer Planeten kann rein nicht-relativistisch gerechnet werden, da die Gründe 1 - 3) dafür nicht zutreffen. |
|||
| Verfasst am: 14. Jan 2015 14:20 Titel: |
|
| Wenn man einen für eine Theorie schlüssigen Gesamtwert eines Effektes berechnen will, muss man dann nicht alle einzelnen Anteile, aus denen sich der Gesamtwert zusammen setzt, einheitlich auf der Basis ein und derselben Theorie berechnen? | |
| Verfasst am: 14. Jan 2015 00:25 Titel: |
|||||||||||||||
Gut, aber darum geht es nicht.
weiß ich, aber auch diese Formel ist für kleine Stoßparameter, also solche, die nahe an der Photonsphäre liegen, nicht mehr gültig. Deine Aussage
kann m.E. so nicht stimmen; wir haben bisher keine relativistische Gleichung diskutiert, die hier noch gültig wäre, denn ...
Deine Argumentation mit a = ... = 3g folgt der Newtonschen Idee, und die ist für masselose Objekte sowie nahe am Horizont sowieso falsch. http://www.spacetimetravel.org/expeditionsl/erklaerung2.html Ich bin noch auf der Suche nach einer kompakten Darstellung des Ablenkwinkels als Funktion des Stoßparameters, die auch nahe 3GM nich gültig ist. |
|||||||||||||||
| Verfasst am: 13. Jan 2015 23:11 Titel: |
|||||
Den Wert, den die klassische Mechanik liefert. Bei hat die klassische Fallbeschleunigung den Wert Aus dem tatsächlichen Bahnradius ergibt sich aber die Zentripetalbeschleunigung sowie eine entsprechend stärkere Krümmung der Bahn.
Ist nicht klassisch, sondern relativistisch und gilt nicht für Kreisbahnen, sondern für hyperbolische Bahnen mit kleinem Ablenkungswinkel. |
|||||
| Verfasst am: 13. Jan 2015 22:47 Titel: |
|
| Was meinst du jetzt mit "dem klassischen Wert"? Die o.g. Formel liefert auf der Photonensphäre |
|
| Verfasst am: 13. Jan 2015 22:37 Titel: |
|||||
http://en.wikipedia.org/wiki/Photon_sphere
Ich meinte tatsächlich die Kugel (also die Oberfläche) und nicht den entsprechenden Ball. |
|||||
| Verfasst am: 13. Jan 2015 22:11 Titel: |
|||
Was meinst mit "in der Photonensphäre"? Innerhalb kann doch die Ablenkung (der Ablenkeinkel) mit beliebig häufigem Umlauf um das Zentrum beliebig wachsen. In einem 1/r Potential bleibt dieser immer endlich. |
|||
| Verfasst am: 13. Jan 2015 19:50 Titel: |
|||
Ganz sicher sogar. In der Photonensphäre ist die Ablenkung des Lichts nicht mehr doppelt, sondern dreimal so groß wie der klassische Wert. |
|||
| Verfasst am: 13. Jan 2015 17:13 Titel: |
|
| du meinst, die obige Formel für alle Planeten und ihre gravitative Wirkung ansetzen? weiß ich nicht | |
| Verfasst am: 13. Jan 2015 09:01 Titel: |
|
| Der berechnete Gesamtwert für die Periheldrehung des Merkur setzt sich aus einem klassisch-mechanisch und einem relativistisch berechneten Teil zusammen. Hat sich schon einmal jemand die Mühe gemacht, den Gesamtwert relativistisch zu berechnen? | |
| Verfasst am: 13. Jan 2015 00:14 Titel: |
|||
außerdem gelten da wohl einige der oben verwendeten Näherungen nicht mehr; für zu kleine Stoßparameter b existieren Orbits, die mehrfach um die Zentralmasse oder sogar ins Zentrum (des SLs) laufen; um diese Effekte habe ich mich bei der Berechnung der Ablenkwinkel nicht gekümmert |
|||
| Verfasst am: 12. Jan 2015 23:46 Titel: |
|||||
Ja, diese Rechnung liefert nur die Korrektur von ca 43'' / Jh. Der Newtonsche Anteil liefert eine perfekte Ellipse, also 0''; der wesentlich größere Anteil geht auf andere, externe Einflüsse zurück, insbs. durch andere Planeten.
Ja, prinzipiell schon. Aber es gibt da kleine Unterschiede in der näherungsweisen Berechnung der Integrale. Zum einen sind die Integrale für massebehaftete sowie masselose Objekte unterschiedlich zu lösen, auch wenn im Grenzfall v = c übereinstimmende Ergebnisse resultieren. Zum anderen habe ich bei meinen Rechnungen immer ungebundene, also näherungsweise hyperbolische Bahnen angenommen und damit Streu- bzw. Ablenkwinkel für die Bahn des Objektes jeweils im Unendlichen berechnet, während die Periheldrehung ja für gebundene, also näherungsweise elliptische Bahnen gilt, und nicht der Ablenkwinkel für die Bahn selbst sondern der Drehwinkel für die große Halbachse gesucht ist. (ich wollte ja im wesentlichen sowohl ultra-relativistische Objekte sowie massebehaftete und masselose Objekte vergleichen, und dazu kann ich keine gebundene Bahnen benutzen; Ausnahme Photonenorbit u.ä., aber da sind wir weit weg von realistischen Phänomenen in unserem Planetensystem) |
|||||
| Verfasst am: 12. Jan 2015 19:24 Titel: |
|
| Ist der Anteil an der Perihelbewegung der Planeten, der durch das Gravitationsfeld der Sonne verursacht wird und den Einstein für den Merkur nach der ART berechnet, mit der Ablenkung vergleichbar, über die wir hier reden? | |
| Verfasst am: 12. Jan 2015 19:09 Titel: |
|||
Nein, die Gleichung steht oben in den letzten Beiträgen von mir und TomS. Setzt doch einfach mal verschiedene Werte für v ein und beobachte, was mit der Ablenkung passiert. |
|||
| Verfasst am: 12. Jan 2015 18:49 Titel: |
|
| Quatsch, war alles richtig. Wenn ich die Gleichung mit Go nehme, dann müsste doch bei kleinerer Geschwindigkeit v auch die Ablenkung kleiner werden. | |
| Verfasst am: 12. Jan 2015 18:40 Titel: |
|
| Sorry - natürlich hatte ich mich verschrieben - wollte schreiben: "... um so g r ö ß e r wird ...". |
|
| Verfasst am: 12. Jan 2015 18:21 Titel: |
|||||
Nein. Der Ablenkungswinkel wird mit steigender Geschwindikgkeit kleiner. Im Gültigkeitsbereich der klassischen Mechanik gilt und unter relativistischen Bedingungen (Das hat TomS oben auch schon gepostet). In beiden Fällen führt eine Erhöhung der Geschwindigkeit zu einer Verringerung der Ablenkung und das passt ja auch zu unserer Erfahrung.
Ja. Bei Lichtgeschwindigkeit folgt aus der Gleichung beispielsweise und das liefert genau die Lichtblenkung, die man am Sonnenrand gemessen hat. |
|||||
| Verfasst am: 12. Jan 2015 14:45 Titel: |
|
| @DrStupid. Bedeutet das jetzt, dass der Ablenkwinkel um so kleiner wird, je geringer die Bahngeschwindigkeit v des Messobjektes ist. Wäre der nach der Gleichung unter Berücksichtigung von Go berechnete Wert dann auch tatsächlich bei einem Experiment als Messergebnis zu erwarten? | |
| Verfasst am: 12. Jan 2015 14:06 Titel: |
|
| @TomS. Erklären die relativistischen Korrekturen nicht nur den weitaus geringeren Teil der Periheldrehung der Planeten? Beim Merkur sind das doch nur die 43 Bogensekungen im Jahrhundert, die Einstein berechnet hat, im Vergleich zu den 532 Bogensekunden im Jahrhundert, die bereits klassisch-mechanisch als Störungen durch die anderen Planeten berechnet worden waren. | |
| Verfasst am: 11. Jan 2015 19:04 Titel: |
|||||
Das ist ein ART-Term. Die SRT-Effekte sind hier so klein, dass man sie vernachlässigen kann.
Da der Korrekturterm aus der ART hergeleitet wurde, ist das auch nicht anders zu erwarten. Natürlich kann man das Ganze auch komplett innerhalb der ART berechnen, aber das ist viel komplizierter als die Verwendung der relativistisch korrigierten klassischen Lösung und im Fernfeld nur unwesentlich genauer. |
|||||
| Verfasst am: 11. Jan 2015 14:20 Titel: |
|
| Nochmal ein Vergleich von massebehafteten und masselosen Teilchen; für erstere gilt Für masselose Teilchen folgt mittels der qualitativ unterschiedlichen Geodäten direkt Die Grenzwerte stimmen offensichtlich überein Man beachte, dass die Newtonsche Theorie hier eine explizit falsche Vorhersage macht. Auch interessant ist der Vergleich mit der relativistischen Berechnung zur Coulombstreuung; dort folgt nämlich d.h. die klassisch identischen 1/r Potentiale von Newton und Coulomb liefern relativistisch völlig unterschiedliches Verhalten der gestreuten Objekte. |
|
| Verfasst am: 11. Jan 2015 11:37 Titel: |
|
| Das verlinkte Paper zeigt nicht die Standardvorgehensweise zur Berechnung der Streuwinkel. Im folgenden eine kurze Zusammenfassung. Man kann ausgehend von der Schwarzschildlösung für sphärisch symmetrische, statische Massenverteilungen die Bewegungsgleichungen für Testkörper im Gravitationsfeld aufstellen. Diese können in eine Form gebracht werden, die ähnlich wie in der nicht-rel. Mechanik ein Potential enthält; dieses enthält jedoch zum einen relativistische Korrekturterme, die z.B. die Periheldrehung von Planeten erklären, und zum anderen hat dieses effektive Potential eine strukturell andere Form für lichtartige Geodäten, wodurch die qualitativen Unterschiede für die Lichtablenkung (im Vergleich zu einer Berechnung gemäß der Newtonschen Mechanik) klar werden. Zunächst führe ich die Radial- sowie die Winkelkoordinaten r und phi, die Geschwindigkeit v im Unendlichen, den erhaltenen Drehimpuls L sowie die rel. Gesamtenergie E ein. Es gilt Außerdem unterscheide ich zeitartige Geodäten und lichtartige Geodäten mittels eines Parameters epsilon, der entweder gleich -1 oder gleich 0 ist. Das Potential lautet Die Bewegungsgleichung für r lautet Daraus kann man eine Bewegungsgleichungen für r in Abhängigkeit von phi ableiten und mittels Trennung der Variablen integrieren: Das Integral läuft dabei vom maximalen zum minimalen Radius, im Falle des Streuproblems also von unendlich bis zum Umkehrpunkt und wird dann mit zwei multipliziert. Diese Darstellung des Streuwinkels (der Ablenkwinkel Theta folgt trivial) ist identisch zur Newtonschen Mechanik! Die Untschiede stecken einzig und allein im Potential sowie der relativistischen Energie. Mittels des Schwarzschildradus und einigen algebraischen Umformungen findet man Diese Gleichung ist exakt! Nun kann man verschiedene Grenzfälle betrachten: Kleine Geschwindigkeiten für massebehaftete Teilchen Daraus folgt die bekannte Darstellung der nicht-rel. Theorie, allerdings mit einem dem Zusatzterm ~ r^-3; letzterer ist für die Periheldrehung verantwortlich. Lichtartige Geodäten Daraus folgt ein strukturell anderes Integral: Man beachte, dass für massebehaftete Teilchen das Newtonsche Potential dominiert und der relativistische Korrekturterm nur einen kleinen Effekt bewirkt, während für masselose Teilchen das Newtonsche Potential exakt Nul ist und ausschließlich die relativistische "Korrektur" existiert! |
|
| Verfasst am: 11. Jan 2015 10:38 Titel: |
|
| Wie auch immer, wenn du die von Soldner aus den klassischen Bewegungsgleichungen hergeleitete Gleichung um Go = 1 + v²/c² (Go der Einfachheit halber, weil dieser SRT-Term noch öfter gebraucht wird) erweiterst, dann erhälst du nach der Gleichung für den Ablenkwinkel = Go 2gr/c² denselben Wert, den Einstein 1916 nach der ART hergeleitet hat - rein formal. |
|
| Verfasst am: 11. Jan 2015 02:13 Titel: |
|||
Aus Sicht des bewegten Masseobjektes gibt es dafür durchaus einen Grund. Du kannst natürlich auch die bewegte Masse selbst entsprechend ändern. Dank der Kommutativität der Multiplikation ist das kein Problem und bei mehreren Objekten auf hyperbolischan Bahnen sogar sinnvoll. |
|||
| Verfasst am: 10. Jan 2015 23:18 Titel: |
|
| Bei dem von mir geschilderten Beispiel sehe ich keinen Grund dafür an der Masse M etwas zu verändern nur weil ein Messobjekt mit einer Geschwindigkeit v am Rande vorbei geht. | |
| Verfasst am: 10. Jan 2015 23:12 Titel: |
|||||
Das wird in der von mir verlinkten Publikation erklärt.
Ockhams Rasiermesser mag keine zusätzlichen Parameter, die das Ergebnis nicht verbessern. |
|||||
| Verfasst am: 10. Jan 2015 21:53 Titel: |
|
| Warum soll die Zentralmasse M mit diesem Term multipliziert werden? Ist es nicht naheliegender diesen Term als zusätzlichen dimensionslosen Proportionalitätsfaktor Go = 1+v²/c² einzufügen und dann die am betreffenden Ort wirkende Gravitationsfeldstärke g mit Go zu multiplizieren. Zumindest für Ablenkung eines Lichtstrahls am Rande der Sonne erhält man dann rein formal dieselbe Gleichung, die Einstein nach der ART hergeleitet hat. | |
| Verfasst am: 10. Jan 2015 20:44 Titel: |
|||
Wenn Dir eine Näherung für das Fernfeld genügt, dann kannst Du gemäß https://home.comcast.net/~peter.m.brown/ref/mass_articles/Olson_Guarino_1985.pdf die Zentralmasse mit dem Faktor 1+v²/c² multipilieren und ansonsten klassisch rechnen. |
|||
| Verfasst am: 10. Jan 2015 16:59 Titel: |
|
| Dann haben wir zusätzlich eine Abhängigkeit von der Geschwindigkeit, so wie nicht-rel. auch. Eine einfache Formel für Theta kann ich (noch) nicht herleiten. | |
| Verfasst am: 10. Jan 2015 16:28 Titel: |
|
| So ist es. Und nehmen wir einmal an, dass ein Messobjekt mit der halben Lichtgeschwindigkeit (v = 0,5 c) am Rande von M vorbei saust. Wie ist es dann? | |