Physikerboard.de :: Thema-Überblick - Aus Ladungsverteilung auf E-Feld und Potential kommen?

Sunny94 · Verfasst am: 08. Nov 2013 15:25 Titel:

So, nun hab ich es doch noch hinbekommen. Dank für eure Hilfe...

Sunny94 · Verfasst am: 01. Nov 2013 17:37 Titel:

Irgendwie bekomme ich die Integration nicht hin…
Ich habe immer irgendwo noch ein dr drinnen und bekomme es nicht weg. Könnte jemand von euch mir noch mal helfen?

Er könnte bei dem Ansetzten, was ich bereits berechnet habe 2 Posts drüber.
Da wäre mir echt total geholfen...

Sunny94 · Verfasst am: 01. Nov 2013 12:23 Titel:

ja, du hast recht. Beim Umstellen habe ich das durch r teilen der Interationskonstanten vergessen.

Was meinst du mit dem Edit?

pressure · Verfasst am: 01. Nov 2013 12:09 Titel:

Auch die Integrationskonstante aus der ersten Integration, der ich eine Variable geben würde z.B.

, musst du durch

teilen und integrieren.

Dein Endergebnis beinhaltetet dann zwei Integrationskonstanten, welche du durch die Forderung von Randbedingungen anschließend ermitteln kannst.

EDIT: Ich glaube es ist geschickter, die folgende Darstellung des radialen Anteil des Laplaceoperators zu verwenden:

Sunny94 · Verfasst am: 01. Nov 2013 11:52 Titel:

Vielen Dank. Hatte nur noch die Trennung der Variablen auf dem Schirm…

zur Lösung:

Nach Bronstein.
Nun sieht die Gleichung so aus:

Integrieren und Umstellen:

Ist das alles so richtig? Wie gehe ich jetzt mit den Konstanten aus der Integration um? Welche Grenzen nehme ich für meine Integrale? Oder nehme ich gar keine expliziten Grenzen?

pressure · Verfasst am: 31. Okt 2013 18:18 Titel:

Jetzt integrieren wir diese Gleichung auf beiden Seiten:

Und die linke Seite liefert bis auf eine Integrationskonstante gemäß dem Hauptsatz der Integralrechung:

Die rechte Seite musst du nun selbst integrieren und anschließend das gleiche Spiel wiederholen um letztlich an das Potential zu kommen.

Sunny94 · Verfasst am: 31. Okt 2013 18:03 Titel:

Aber so, wie ich das jetzt umgestellt habe, habe ich ja auf der rechten Seid noch ein d und vor dem Potential noch eine Ableitung nach r stehen.

Ich weiß nicht, wie ich das umformen kann, dass ich etwas stehen habe wie:
xyzxyz dr = abcabc dr

Du sagtest ja, ich habe auf beiden Seiten eine dr-Integration, also muss ich ja so etwas wie xyzxyz dr = abcabc dr stehen haben im Integral...

pressure · Verfasst am: 31. Okt 2013 17:47 Titel:

Das ist keine partielle DGL mehr sondern eine gewöhnliche und die kannst du lösen wie du es bei den "Normalen" gemacht hast.

Sunny94 · Verfasst am: 31. Okt 2013 17:39 Titel:

HI,
dass ich meine Ladungsverteilung einsetzte ist mir klar. Mein Problem ist eher die linke Seite. Ich habe noch nie eine partielle DGL gelöst.
Bei den "Normalen" aus der Mechanik musste ich immer nur 1 mal integrieren. Außerdem habe ich da dann das dr auf die andere Seite geholt….

Stimmt: ein Phi zuviel
dann steht da noch:

Aber wie soll ich das integrieren?

jh8979 · Verfasst am: 31. Okt 2013 17:29 Titel:

pressure · Verfasst am: 31. Okt 2013 17:22 Titel:

Du setzt deine gegebene Ladungsverteilung ein und integrierst beide Seite über r und nimmst zur Vollständigkeit noch eine Integrationskonstante mit.

Sunny94 · Verfasst am: 31. Okt 2013 17:18 Titel:

Danke für die Antwort. Ich würde dann tatsächlich gerne beide Wege rechnen. Die Klausur kommt auch bald, daher schadet es nichts.

Beginnen machte ich der Poisson-Gleichung:

Da steht doch dann, da die Winkelableitungen 0 sind:

Kann ich jetzt einfach folgendes machen?

Und nun weiß ich nicht, wie ich da anzufangen habe zu integrieren?

Grüße
Sunny

pressure · Verfasst am: 31. Okt 2013 17:08 Titel:

Damit meine ich, dass du annehmen darfst, dass das Potential ebenfalls rotationssymmetrisch ist, also nur von r, nicht aber von den Winkeln abhängig ist. Damit vereinfacht sich die Poisson-Gleichung erheblich und du kannst das Potential durch zweifache Integration (mit passenden Rangbedingung) bestimmen.

Sunny94 · Verfasst am: 31. Okt 2013 17:06 Titel:

Ok, die Poisson-Gleichung kenne ich:

Nun müsste ich also den Laplace in Kugelkoordinaten schreiben und integrieren,oder?
Aber wie muss ich das da genau machen? Wie fange ich da denn an?

Was meinst du mit Radialsymmetrie?

Grüße
Sunny

jh8979 · Verfasst am: 31. Okt 2013 17:04 Titel:

Wegen der hohen Symmetrie ist es (imho) am einfachsten als erstes das E-Feld mit dem Gauss'schen Satz auszurechnen.

In jedem Fall: alle Wege sind äquivalent und es ist lehrreich alle mal auszuprobieren smile

pressure · Verfasst am: 31. Okt 2013 16:32 Titel:

An deiner Stelle würde ich zunächst das Potential berechnen. Entweder über Integration mit Hilfe des Poisson-Kerns (schwierig) oder durch lösen der Poisson-Gleichung unter der Annahme einer radialen Symmetrie (einfacher).

Namenloser324 · Verfasst am: 31. Okt 2013 16:25 Titel:

Offenkundig kugelsymetrisch (wegen der radiusabhängigkeit).
r' ist der ortsvektor der Ladungsverteilung über die du integrieren musst.
r ist ein Vektor irgendwo im Raum. (Nach der Integration bleibt dann nur r übrig und du kannst damit für jeden Punkt des Raumes das E-Feld angeben.

Sunny94

Hallo,

ich habe da ein kleines Problem:

Für die Rotationssymmetrische Ladungsverteilung

mit a und C Konstanten mit Dimension soll berechnet werden:
1. E-Feld und Potential
2. Energiedichte und Gesamtenergie (bezogen auf das E-Feld)

Heißt Rotationssysmmetrisch nun Kugel- oder Zylinderkoordinaten? Das muss ich ja wissen, wegen dem Volumenelement.

Ich kenne die Formel für das E-Feld für Ladungsverteilungen, jedoch weiß ich nicht, was jetzt mein r und das r' ist. Das brauche ich aber um integrieren zu können.

Könnten wir die Aufgabe Schritt für Schritt zusammen rechnen?

Grüße
Sunny