 Verfasst am: 17. Okt 2013 00:14 Titel: |
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| Okay das muss ich mir mal ein bisschen länger angucken. Wenn ich noch Fragen habe, melde ich mich.
Vielen Dank für die Hilfe. Grüße |
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| Verfasst am: 16. Okt 2013 22:27 Titel: |
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Hab' den Beitrag noch ergänzt.
Die SU(2) sowie die SU(3) existieren bereits klassisch als Matrixgruppen. Z.B. gilt für die 1/2-Darstellung der SU(2) wobei theta den drei Drehwinkeln entspricht. Die Algebra so(3) und su(2), d.h. die Kommutatoren sind identisch! Der Unterschied kommt erst auf Ebene der Gruppen zum tragen. Die Darstellungen der SO(3) lauten die der SU(2) Das hat also nichts mit QM zu tun.
Nein, die Darstellung ist nicht immer eindeutig. Zunächst mal muss man "eindeutig" definieren. Zwei Darstellungen heißen äquivalent, wenn man alle Matrizen (oder Operatoren) durch eine Transformation aufeinander abbilden kann. Für die SO(3) bzw. SU(2) kann man zeigen, dass verschiedene Darstellungen bis auf diese Trf. S eindeutig durch j definiert sind. Für die SU(3) u.a. gilt dies nicht. Es gibt z.B. zwei inäquivalente fundamentale Darstellungen der SU(3), d.h. es existiert keine o.g. Trf. S. Übrigens liegen Quarks und Antiquarks genau in diesen beiden inäquivalenten Darstellungen. Wenn ich mich recht erinnere hängt dies mit dem sog. Rang der Gruppe zusammen, genauso wie die Anzahl der unabhängigen Casimir-Operatoren.
Algebraisch formal. Die Darstellung der SO(3) ist durch j eindeutig festgelegt. Insofern ist es unerheblich, ob ich die Darstellung als 3-Vektor oder als Ket |jm> oder als Kugelflächenfunktionen betrachte (diese unterschiedlichen Räume sind nicht mit "Darstellungen" gemeint) |
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| Verfasst am: 16. Okt 2013 21:51 Titel: |
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Die zugehörige Gruppe ist hier die
Okay und wie ist das mit der Eindeutigkeit? Kann es z.B. meherer Systeme an 2x2 Matrizen geben, die die Algebra erfüllen oder ist das eindeutig, sprich wenn ich eine Darstellung habe, dann ist die die Einzige und somit wäre gerechtfertigt, dass gerade diese eine physikalische Interpretation hat.
Pro Raum oder abhängig vom Raum?
Ja die Sache mit den Casimir-Operatoren wollte ich mir auch nochmal angucken, das hab ich noch nicht verstanden. Danke |
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| Verfasst am: 16. Okt 2013 21:40 Titel: |
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| In der Physik reicht es häufig aus, die Algebra statt der Gruppe zu betrachten. Einfachstes Beispiel: Drehimpuls. Die Drehimpuls-Algebra lautet
Dabei ist es egal, um was für Objekte es sich da handelt. Nun können wir verschiedene Objekte konstruieren, die diese Eigenschaft erfüllen. Im Falle der Drehimpulsalgebra sind dies zunächst Matrizen (2*2: Pauli, 3*3, ...) die auf Vektoren (2-Spinoren, 3-Vektoren, ...) wirken. Diese "Konkretisierung" der abstrakten Algebra nennt man eine Darstellung. Je Algebra gibt es eine Liste derartiger Darstellungen. Diese haben eine physikalische Bedeutung. Im Falle der Drehimpulsalgebra klassifiziert man die Darstellungen anhand des (ersten) sogenannten Casimiroperators (bei der Lorentz-Algebra gibt es zwei derartiger Casimiroperatoren). Letzteres ist in jeder (!) Darstellung einfach eine Zahl mal der Einheitsmatrix. Die j-Darstellung ist durch eindeutig festgelegt. j ist der bekannte Drehimpuls. Dann brauchen wir die Dimension einer j-Darstellung. Im Falle des Drehimpuls ist dies entsprechend der 2j+1 Werte für bzw. Für die o.g. Matrizen und Vektoren bedeutet dies, dass man je j genau (2j+1)*(2j+1) Matrizen verwenden muss. Spin j=1/2 kann man ausschließlich mittels 2*2 Matrizen darstellen. Bisher war das alles Algebra. In der QM haben wir jedoch Wellenfunktionen oder allgemein Quantenzustände in einem Hilbertraum. D.h. statt der o.g. Matrizen haben wir Operatoren. Ein Beispiel: Der Bahndrehimpulsoperator mit entspricht genau der Algebra (den o.g. Matrizen) der 1-Darstellung, also j=1. Die abstrakten Zustände oder die konkreten Kugelflächenfunktionen entsprechen den o.g. Vektoren. Die Dimension "passt" weiterhin, denn die wird ja durch die erlaubten j_3 Werte festgelegt. |
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| Verfasst am: 16. Okt 2013 21:21 Titel: |
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| Ahhh, das heißt die Darstellungen der Elemente der Gruppe sind Operatoren deren Form davon abhängt in welchen Raum ich rechne?
Ist das denn eindeutig? Also wenn ich sage ich will eine Darstellung der Poincare-Gruppe in bspw. Grüße |
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| Verfasst am: 16. Okt 2013 21:14 Titel: |
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| Dass man bei 4er-Vektoren |
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| Verfasst am: 16. Okt 2013 21:01 Titel: |
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| Achso die Ist das so alles richtig? |
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| Verfasst am: 16. Okt 2013 20:51 Titel: |
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| Danke, das hilft schon mal ein kleines bisschen.Können wir das mal Anhand von Beispielen machen?
Also nehmen wir ein Element aus der Poincare-Gruppe Warum transformieren sich die Zustände jetzt mit Danke nochmal. |
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| Verfasst am: 16. Okt 2013 20:29 Titel: |
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| Grob:
Darstellung = Die Gruppenoperation wird auf Operatoren abgebildet, die auf Zustände wirken. Die Bedingung: Die Operatoren verhalten sich unter Verknüpfung genauso wie die zu ihnen gehörigen Gruppenelemente. Es gibt aber verschiedene Weisen wie dies realisiert werden kann, z.B kann jeder Zustand auf 1 abgebildet werden, d.h. Dein Zustand ändert sich nicht und die Gruppenoperation wird trivialerweise erhalten (bei Lorentztransformationnen wäre dies ein Skalar). |
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| Verfasst am: 16. Okt 2013 20:23 Titel: Darstellungen der Poincare-Gruppe und Teilchen |
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| Meine Frage: Hallo zusammen, Im vergangenen Semester hab ich Relativistische Quantenmechanik gehört und dieses Semester mache ich mit QFT weiter. Allerdings habe ich noch Verständnisschwierigkeiten was die Darstellungen der Poincare-Gruppe bzw. SL(2,C) angeht. Vielleicht fang ich mal ganz banal an und frage was überhaupt eine Darstellung ist. Damit meine ich nicht mathematisch, sondern anschaulich. Das rechnen ist kein Problem nur die Vorstellung, sprich warum spricht man über Darstellungen und nicht über Lorentz-Transformationen direkt? Vielleicht belasse ich erstmal damit und frage dann nochmal nach. Viele Grüße Meine Ideen: Ansätze hab ich nicht, da es sich hier nicht um eine konkrete Aufgabe handelt. Wie gesagt das Rechnen ist kein Problem. |
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